Modèles aratéristiques et éléments inf-irrédutibles

Dénition 31 Un modèle

v

^{d'une théorie de Horn}

T

^{est appelé modèle} aratéristique si

v 6∈ Cl ∧ (T \{v })

^.

Nous appeleronsl'ensembledes modèles aratéristiques de

T

^l'ensemble aratéristique de

T

^{que nous noterons}

C ^∗ (T )

^{. Nous pouvons noter que haque théorie de Horn admet}

un seul et unique ensemble de modèles aratéristiques et que les éléments maximaux

d'une théorieappartiennent à son ensemble de modèles aratéristiques.

Remarque : Il existe diérentes appellations de es modèles dans la littérature.

Nous avons vu la notion de aratèristique qui a été introduite dans [58℄ par Kautz,

Kearn et Selman en 1993, mais il existe aussi le terme extrème introduit dans [31℄ par

Dehter et Pear en 1992. Dans la suite de e manusrit, nous utiliserons seulement la

première notationan d'évitertoute onfusion.

Exemple 9 Considérons les théories suivantes :

T 1 = {(000), (010), (001), (110), (101)}

^et

T 2 = {(000), (010), (001), (110), (101), (100)}

^.

Si nous onsidérons

v = (110)

^et

w = (101)

^{, nous avons}

v

^et

w

^qui appartiennent à

T 1

^{tandis que}

v ∧ w = (100)

ⁿ'appartient pas à

T 1

^{. Cela signie don que}

T 1

^{n'est pas de}

Horn.

En revanhe,nous avons

Cl ∧ (T 2 ) = T 2

^{, e qui signie que}

T 2

^{est une théorie de Horn.}

Les modèles aratéristiques de

T 2

^{sont les suivants :}

C ^∗ (T 2 ) = {(010), (001), (110), (101)}

Si nous onsidérons ainsi les ensembles fermés du système de fermeture

F

orrespon-dants aux modèles aratèristiques de

T

^{, ela signie que es ensembles ne peuvent pas}

être obtenus par intersetion d'autres fermés de

F

^{. Ces ensembles fermés} orrespondent don aux élémentsinf-irrédutibles du système de fermeture

F

^{plus G.}

La table 2.1 présente les diérentes équivalenes entre les notions sur les systèmes de

fermeture etelles sur les théoriesde Horn.

Théoriede Hornstrite Système de fermeture

FNC de Horn Based'impliations

Modèles aratéristiques Elémentsinf-irrédutibles +G

Modèles Ensembles fermés

Tab. 2.1 Equivalenes entre notions sur les systèmes de fermeture et les théories de

Horn.

Diérentes opérations sur les systèmes

de fermeture

Les langages logiques sont souvent utilisés pour représenter la onnaissane dans les

bases de onnaissanes. La onnaissane peut être ainsi onsultée à l'aide de requêtes e

quise traduirapar une ompilationde onnaissane.

La ompilation de onnaissane (tradution littérale de Knowledge ompilation) a

pour but de mettre en évidene les inférenes d'une manière plus eae. La majorité

des travaux qui ont été menés dans e domaine se sont restreints à une representation

propositionnelle an d'exprimer la onnaissane de manière onsise. Plus réemment,

des travaux ont onsidéré une représentation basée sur des modèles an, dans e as là,

d'exprimerlaonnaissanedemanièreplus eae.Sinousonsidérons leproblème

d'in-férene propositionnelle, il onsiste àvérier si ouiou non

Σ ⊢ α

^où

Σ

^et

α

représentent des fontions propositionnelles et

⊢

^{représente l'inférene logique.} Malheureusement, dans leadre de fontions propositionnelles quelonques, e problème est o-NP-omplet

etpar onséquent non résolvable en temps polynomial hormis siP = NP. Cependant, e

mêmeproblèmepeut êtrerésolu en tempspolynomialsi nousonsidérons quelafontion

propositionnelle

Σ

^{est une fontion de Horn.}

Une question en a ainsi déoulé : Est-il possible de aluler une fontion de Horn

Σ ^′

^à

partird'une fontion propositionnellequelonque

Σ

^{telque laplupart des inférenes que}

l'on peut obtenir à partir de

Σ

^{puissent être obtenues en temps polynomial à partir de}

Σ ^′

^?

Cette question revient don à savoir s'il est possible de faire une approximation d'une

fontion propositionnelle quelonque

Σ

^{par une fontion de Horn}

Σ ^′

^{et ainsi, permettre}

une aéleration du proessus de vériation des inférenes. Selman et Kautz ont ainsi

étudié dans [91℄ ette question et proposent une méthode de résolution qu'ils appellent

approximation de Horn (tradution littérale de Horn approximation). Cette méthode

onsiste à aluler deux fontions de Horn enadrant la fontion propositionnelle de

départ. La première fontion représente ainsi une fontion de Horn minimale

Σ lub

^tel

que l'ensemble des modèles de

Σ

^{soit inlus dans l'ensemble des modèles de}

Σ lub

^{. On}

l'appelle, dans la littérature, laplus petite borne supèrieure de Hornou bien l'enveloppe

de Horn. A l'inverse, la deuxième fontion représente ainsi une fontion maximale

Σ glb

tel que l'ensemble des modèles de

Σ glb

^{soit inlus dans l'ensembledes modéles de}

Σ

^{. On}

l'appelle,danslalittérature,laplusgrandeborneinférieuredeHornoulenoyaude Horn.

Nouspouvons voirsur lagure 1une représentation shématiquede es approximations.

Malheureusement, le alul de es deux fontions d'approximation restent diiles

puisqu'il est NP-diile dans les deux as. Divers travaux ont ainsi été menés sur e

sujet [32, 21℄.

Fig. 1 Représentation du noyau etde l'enveloppede Hornd'une théorie

Σ

représentée par ses modèles

Deefait,d'autresapprohesontainsiété étudiéesenonsidérantdesas partiuliers.

Eiter etal.[41℄ontainsi étudiélaméthode d'approximationutilisantlesenveloppes etles

noyaux de Horn sur la disjontion de théories de Horn. La nééssité de l'approximation

vient du fait que la disjontion de théories de Hornn'est pas forément de Horn. Ils ont

ainsi onsidéré le as où les théories de Horn sont représentées sous leur forme

proposi-tionnelle,'estàdire sous formede FNC de Horn.Ils ontpar lamêmeoasiononsidéré

le as où les théories de Horn sont représentées par leurs modèles aratéristiques.

Cette approhe peut ainsi avoir des appliations dans la ompilationde onnaissane. Si

nous onsidérons que nous avons plusieurs théories de Horn représentants des bases de

onnaissanes, il est ainsi plus eae de tester si une fontion

ϕ

^{est inférée à partir de}

ladisjontionde es théoriesplutotque de testerette inférenesur haune d'entre elle.

d'approximationssur ladiérenede deux théories de Horn.

D'autre part, une étude a été menée dans [42℄ sur l'intersetion de théorie de Horn. Ce

travail a été réalisé en onsidérant la représentation de la théorie de Horn basée sur les

modèlesaratéristiques.

Nous avons vu dans la partie préédente la relation très forte qu'il existe entre les

fontions de Horn pures et les systèmes de fermeture. Ainsi, les diérentes operations

évoquées préédemmentsur lesthéoriesde Hornpeuventêtre vues ommedesopérations

ensemblistes sur les systèmes de fermeture. Le alul d'une enveloppe de Horn de la

disjontionde théoriesdeHornorrespondraaualulde labornesupérieurede systèmes

de fermeture. De la même manière, le alul de l'intersetion de théories de Horn

orrespondra au alul de la borne inférieure de systèmes de fermeture. Conernant la

diérenede deux théories de Horn, elle n'a pas d'équivalene propre dans la littérature

sur les systèmes de fermeture, nous onsidérerons juste don qu'elle représente la

diérenede deux systèmes de fermeture.

Le but de ette partie est don d'étudier es diérentes opérations sur les systèmes

de fermeture en onsidérant les diérentes représentations de eux-i vus dans la partie

préédente. Nous onsidérerons ii que le nombre de systèmes de fermeture onsidérés

pour les opérations de borne supérieure et de borne inférieure est ni et borné par une

onstantek onnue.

Pour illustrer es diérentes opérations relatives aux représentations onsidérées,

nous exploiterons dans la suite de ette partie l'exemple 10. Dans et exemple nous

onsidérons seulement deux systèmes de fermeture

F 1

^et

F 2

^{qui sont ii} représentés par leur diagramme de Hasse. Lesélémentsentourés de haque système de fermeture

orres-pondent aux éléments inf-irrédutibles de haun d'entre eux. Les bases d'impliations

présentes sous les deux diagrammesorrespondentainsi auxbases de Guigues Duquenne

Σ _{F 1}

^and

Σ _{F 2}

^{respetives pour}

F 1

^et

F 2

^.

Exemple 10

F 1 F 2

Σ F 1

^{={ a}

→

^{, e}

→

^d}

Σ F 2

^{={ b}

→

^{d, de}

→

^}

La suite de ette partie sera organisée de lamanièresuivante :

Dans lehapitre3, nous nous intéressons à laborne inférieurede systèmesde fermeture.

Nous verrons omment se aratérise ette opération selon les trois représentations que

sont la base d'impliations, l'ensemble des inf-irrédutibles et l'opérateur de fermeture.

Nous verrons en partiulier qu'il est possible de dénir un opérateur de fermeture pour

la borne inférieure de systèmes de fermeture uniquement à partir des opérateurs de

fermeture de haun d'entre eux.

Dans le hapitre 4, nous eetuons le même travail pour la borne supérieure de

systèmes de fermeture. Nous nous intéressons plus partiulièrement à la représentation

sous forme de base d'impliations. Dans le as général, il n'existe pas d'algorithme

polynomial permettant de générer une base d'impliations orrespondant au système

de fermeture résultant de la borne supérieure de systèmes de fermeture si eux-i sont

représentés par des bases d'impliations. Nous montrons ii qu'il existe un algorithme

polynomial permettant ette génération lorsque les bases d'impliations des systèmes de

fermeture onsidérés sontdiretes.

Enn, dans le hapitre 5, nous exposons les résultats sur le alul de la fermeture

de la diérenede deux systèmes de fermetureselon leur représentation. Cette opération

n'est pas dénie sur les systèmes de fermeture. Nous retransrivons ainsi les résultats

onlusion générale sur l'ensemble des opérations étudiées dans ette partie ainsi qu'un

bilansur lesdiérentes omplexités de es opérations.

Borne inférieure de systèmes de

fermeture

Sommaire

3.1 Eléments inf-irrédutibles . . . 43

3.2 Base d'impliations . . . 46

3.3 Opérateur de fermeture . . . 48

3.4 Conlusion . . . 49

Nous allons voir dans ette setion la diulté du alul de la borne inférieure de

systèmesde fermetureselon lareprésentationque nous onsidéronsen donnée de départ.

La gure 3.1 représente ii le système de fermeture obtenu par la borne inférieure des

systèmes de fermeture

F 1

^et

F 2

^{de l'exemple10.}

3.1 Eléments inf-irrédutibles

Nous voulons voir ii omment trouver l'ensemble des éléments inf-irrédutibles du

système de fermeture déni par la borne inférieure de systèmes de fermeturereprésentés

par leurs ensembles d'éléments inf-irrédutiblesrespetifs.

Il aété montré dans [42℄ que leproblème de générationde l'ensembledes modèles

ara-téristiquesde l'intersetionde théoriesde Hornreprésentées par leursmodèles

aratéris-tiquesest NP-diile.Ce problèmeest équivalentauproblèmeBORNE INF:INFsinous

leonsidérons sur les systèmes de fermeture :

bcd

abcde

c d e

cde bcde abcd acde

acd

ac bd cd

Fig.3.1 Système de fermeture assoiéà

F 1 ∧ F 2

^{de l'exemple10.}

Problème 1 :BORNE INF :INF

Données : Ensembles d'éléments inf-irrédutibles

M(F i )

^{des systèmes de fermeture}

F i

pour

i ∈ {1, .., k}

^.

Résultats : L'ensemble des éléments inf-irrédutiblesde

F

⁼

V k i =1 F i

^.

L'exemple qui suit montre qu'il n'existe pas d'algorithme en temps polynomial pour

le problème BORNE INF :INF. Cette exemple est tiré de [42℄ et retransrit sur les

systèmes de fermeture.

Exemple 11 Soit G ={

x 1 , ..., x 4n

^{} un ensemble ni d'éléments de taille}

4n

^{où n est un}

entier.

Nous onsidérons quatre ensembles d'éléments de G :

V 0 V 1 V 2 V 3

{x 1 ....x n } {x n+1 ...x 2n } {x 2n+1 ...x 3n } {x 3n+1 ...x 4n }

Nous onsidérons deux systèmes de fermeture

F 1

^et

F 2

^{dont les ensembles d'éléments}

inf-irrédutibles

M(F 1 )

^et

M(F 2 )

^{sont dénis à partir des ensembles préédents :}

M(F 1 )

^={

G\(V 2 ∪ {x j , x 3n+j }), 1 ≤ j ≤ n

^}

∪

^{

G\(V 2 ∪ {x n+j , x 3n+j }), 1 ≤ j ≤ n

^}

M(F 2 )

^={

G\(V 3 ∪ {x j , x 2n+j }), 1 ≤ j ≤ n

^}

∪

^{

G\(V 3 ∪ {x n+j , x 2n+j }), 1 ≤ j ≤ n

^}

Notons qu'il n'y a pas d'élément inf-irrédutible dans

M(F 1 )

^{qui inlut l'ensemble V}

2

ⁿⁱ

d'élément inf-irredutible dans

M(F 2 )

^{qui inlut l'ensemble V}

3

^.

Nous pouvons en déduire que pour tout ensemble F appartenant à

F 1 ∧ F 2

^{, F est inlus}

dans V

0 ∪

^V

1

^.

L'ensembledes éléments inf-irrédutibles de

F 1 ∧ F 2

^{est dénit omme suit :}

M(F 1 ∧ F 2

^{) ={M}

|

^M

⊆ V 0 ∪ V 1

^{, tel que}

x j ∈ M

^ssi

x n + j 6∈ M, 1 ≤ j ≤ n

^}

Nous pouvonsvoir que

M(F 1 ∧ F 2

⁾

⊆ F 1 ∧ F 2

^{et qu'il n'existe auun autre élément}

inf-irrédutible du fait qu'il n'existe pas d'ensemble fermé ontenant à la fois x

j

^{et x}

n + j

^que

se soit dans

F 1

^{omme dans}

F 2

^{. Cette dédution est obtenue à partir de la dénition de}

M(F 1 )

^et

M(F 2 )

^.

Ainsi, la taille de

M(F 1 ∧ F 2

^{) est egale à 2}

n

alors que les tailles de

M(F 1 )

^et

M(F 2 )

sont égales à 2n.

Considéronsà présent leproblème de déisionassoié auproblème BORNE INF :INF.

Problème 2 :DECISION BORNE INF :INF

Données : Ensembles d'éléments inf-irrédutibles

M(F i )

^{des systèmes de fermeture}

F i

pour

i ∈ {1, .., k}

^{et une familled'ensemble}

S ⊆ M( V k

i =1 F i )

^.

Résultats :

M( V k

i =1 F i ) \ S 6= ∅

Théorème 6 [42℄ Le problème DECISION BORNE INF :INF est NP-omplet.

Preuve. Leproblème équivalentsur lesthéories de Hornaété démontré NP-omplet

[42℄.

Du théorème , ondéduit lerésultat suivant:

Théorème 7 AmoinsqueP=NP,iln'existepasd'algorithmeentempstotalpolynomial

pour le problème BORNE INF même si nous onsidérons seulement deux systèmes de

fermeture.

Preuve.Leproblèmeéquivalentsur lesthéoriesde Hornaétédémontré NP-diile[42℄.

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