Systèmes d'impliations

Une des représentations possibles pour un système de fermeture est une base

d'im-pliations. Nous allons voir dans ette setion les diérentes notations et dénitions sur

lesbases d'impliationsainsi que lesrelationsexistantes entre les notionsde systèmes de

fermetureet de bases d'impliations.

Impliations

Dénition 12 Soit

G

^{un ensemble} d'éléments. Un ouple

(X, Y ) ∈ 2 ^G × 2 ^G

^{, noté}

X → Y

^{est dit une impliation sur}

G

^.

X

^{est appelé la prémisse de} l'impliation (ou enore l'antéédent), et

Y

^{laonlusion.On notera}

Σ

^{une famille} d'impliations sur

G

^.

Dénition 13 Soient

X → Y

^{une impliation et}

F

^un sous-ensemble de

G

^{. On dit que}

l'impliation

X → Y

^{estsatisfaitepour}

F

^(ouenoreque

F

^satisfaitl'impliation

X → Y

⁾

siet seulement si :

X ⊆ F ⇒ Y ⊆ F

Plus généralement, on dira qu'une famille d'impliations est satisfaite pour un ensemble

F ⊆ G

^{si et seulement si}

F

^{satisfait toutes les} impliations de

Σ

^.

Dans leas où un ensemble

F

^{satisfait lafamille} d'impliations

Σ

^{, ondira que}

F

^{est un}

ensemble

Σ

^{-fermé. Dans le as où}

F

^{ne satisfait pas la famille} d'impliations

Σ

^{, le plus}

petit ensemble

Σ

^{-fermé ontenant}

F

^{est appelé lafermeture de}

F

^par

Σ

^{, notée}

F ^Σ

^.

Étantdonnéun ensemble

F

^{,ilexiste des}algorithmespermettantde alulersafermeture en temps linéairepar rapport à la taillede

Σ

^{[9, 71℄. La taille d'une base} d'impliations est dénie par

|Σ|

^{qui orrespond au nombre} d'impliationsdans

Σ

^.

Soit

Σ

^{un ensemble}d'impliationssur

G

^{.Lafamilledes ensembles}

Σ

^{-fermés onstitueun}

système de fermeture, noté

F Σ = {F ^Σ | F ⊆ G}

^.

Dansleasoùplusieurssystèmesdefermetures

F

^,

F ^′

^,

F ^′′

^{sontmanipulésenmêmetemps,}

onnotera

Σ F

^,

Σ F ^′

^,

Σ F ^′′

^{les familles}d'impliationsvériéesorrespondantes.

Propriété 1 Soient

Σ

^{une famille} d'impliations sur

G

^et

X → Y

^une impliation. On dira que

X → Y

^{dérive de}

Σ

^{(ou, de façon} équivalente, que

Σ

^infère

X → Y

^{, ou enore}

que

Σ

^{implique logiquement}

X → Y

^{),si et seulement si}

Y ⊆ X ^Σ

^.

On notera

Σ ⊢ X → Y

l'impliationlogique de

X → Y

^par

Σ

^.

De la même façon qu'une impliation dérive d'une famille d'impliations

Σ

^{, on}

dira qu'une famille d'impliations

Σ ^′

^{dérive de}

Σ

^(noté

Σ ⊢ Σ ^′

^{) si et seulement si, pour}

tout

X → Y ∈ Σ ^′

^,

Σ ⊢ X → Y

^.

Dénition 14 Deux famillesd'impliations

Σ

^et

Σ ^′

^sontéquivalentessiet seulement si:

Σ ^′ ⊢ Σ

^et

Σ ⊢ Σ ^′

ou

F Σ = F Σ ^′

Aunsystèmed'impliations,onpeutassoierdefaçonuniqueunsystèmedefermeture.En

revanhe, un système de fermeture peut orrespondre à plusieursfamillesd'impliations.

Dans e as, es famillesd'impliationssont toutes équivalentes.

Base d'impliations

Dénition 15 Soit

F

^{un système de fermeture. On dira que}

Σ

^{est une base}

d'implia-tions pour

F

^ssi

F = F Σ

^{. On note par}

ϕ Σ

l'opérateur de fermeture assoiéà

F Σ

^.

Les bases d'impliationspour un système de fermeturepeuvent être de taille

expone-nielleparrapportàlareprésentationquenousavonsdusystèmedefermetureauquelnous

pouvons l'assoier(parexemplelesélémentsinf-irrédutiblesde esystèmedefermeture).

Il est alors plus intéressant de se foaliser sur les plus petites d'entre elles en terme de

nombre d'impliationsouelles quiont de bonnespropriétés.

Dénition 16 Soient

F

^{un système de fermeture et}

Σ

^{une base} d'impliations de

F

^{. On}

dira que

Σ

^est

1. Non redondante, si pour tout

X → Y ∈ Σ

^,

Σ \ {X → Y } 6⊢ X → Y

^.

2. Minimum, si pour tout

Σ ^′

^{une base} équivalente à

Σ

^{, on a}

|Σ ^′ | ≥ |Σ|

^{, où}

|Σ|

^{est le}

ardinalde

Σ

De la dénition i-dessus, on déduit qu'une base minimum est une base non

redon-dante, mais une base non redondante n'est pas forément minimum.

Propriété 2 Axiomes d'Armstrong

Unebased'impliationsomplètesassoiéeàunsystèmedefermeturesurGestunsystème

d'impliations qui vérie les axiomes suivants :

1.

∀ A, B, C ⊆

^G,

A → B

^et

B → C

^impliquent

A → C

(transitivité)

2.

∀ A, B, Z ⊆

^G,

A → B

^implique

AZ → BZ

(augmentation) 3.

∀ A, B ⊆

^G,

A ⊆ B

^implique

B → A

^. (réexivité)

Les axiomes d'Armstrong [5℄ permettent ainsi de dériver toutes les impliations qui

sont satisfaites par un système de fermeture

F

^{à partir d'une base} d'impliations de e système de fermeture.

Parmi lesdiérentes basesd'impliationsonnues, nousnous intéressons plus

partiu-lièrementàtrois bases d'impliationsquesont labase des générateursminimauxou base

générique[85℄,labasedesprémisses propres[101℄etlabaseanoniqueplusommunément

appelée la base de Guigues Duquenne [38℄ ou bien enore la "stem base" dans [54℄. Les

deux premières bases d'impliations évoquées sont des bases d'impliationsdiretes. On

diraqu'unebased'impliationsestdiretesipourtoutensembleA

⊆

^{G,ilsutd'unseul}

passage de

Σ

^{pour obtenir}

ϕ Σ (A)

^{. La base des} générateurs minimaux est ainsi une base d'impliationsdirete et la base des prémisses propres a la partiularité d'être une base

direteminimale.

Base des générateurs minimaux (générique)

Labase desgénérateurs minimauxest onstruite àpartird'ensembles partiuliersque

sont lesgénérateurs minimaux.Elleest uniquementdénie mais n'a pas de propriété sur

sataille. De plus, ette base d'impliationspeut être redondante.

Dénition 17 Soit

F

^{un système de fermeture sur G. On appelle B un générateur}

mi-nimal d'un ensemble fermé F

∈ F

^si

6 ∃

^B'

⊂

^{F tel que}

ϕ F

^{(B') = F.}

Théorème 1 Soit

F

^{un système de fermeture sur G. Alors}

Σ F

^{= {B}

→

^F

\

^B

|

^B

⊂

^G

|

B est un générateurminimal} est une base d'impliations pour

F

^.

Exemple 3 Si nous onsidérons le système de fermeture de l'exemple 2, la base des

gé-nérateurs minimaux assoiée à e système de fermeture est lasuivante :

Σ F

^{= { d}

→

^{a, bd}

→

^{a, a}

→

^{be, b}

→

^{ae, ae}

→

^{b, be}

→

^a,e

→

^ab,d

→

^abe,de

→

^ab}

Nous pouvons voir dans l'exemple 3,que ette base d'impliations est redondante. Si

nous onsidérons les régles d

→

^{a et bd}

→

^{a, nous remarquons que bd}

→

^{a est redondante}

par rapport àd

→

^{a.En général,ette base n'est don pas forément minimum.}

Bases des prémisses propres [101℄

Cette base d'impliations est basée sur des éléments partiuliers appelés "prémisses

propres". Nous verrons que ette base est dénie de manière unique et peut être

redon-dante.

Dénition 18 Soit un ensemble A

⊆

^{G, on note par :}

A

•

=

ϕ

^(A)

\

^(A

∪ S

x∈A

ϕ

^(A

\

^{x}))

l'ensemble des éléments de

ϕ(A)

^qui n'appartiennent ni à A ni à la fermeture d'auun sous ensemble propre de A. On appelle A une prémisse propre si

A ^• 6= ∅

^{, 'est à dire :}

ϕ(A) 6=

^A

∪ S

x∈A

ϕ

^(A

\

^{x})

En partiulier,

∅

^{est une prémissepropre si}

ϕ(∅) 6= ∅

^.

Théorème 2 Soit

F

^{un système de fermeture sur G. Alors}

Σ F

^={A

→ A ^• |

^{A est une}

prémisse propre} est une base d'impliations pour

F

^.

Exemple 4 Si nous onsidérons le système de fermeture de l'exemple 2, labase des

pré-misses propres assoiée à e système de fermeture est lasuivante :

Σ ^F

^{= { d}

→

^{a, a}

→

^{be, b}

→

^{ae, ae}

→

^{b, be}

→

^{a, e}

→

^ab,d

→

^be,de

→

^b}

Nous pouvons voir dans et exemple que l'ensemble des premisses propres de ette base

d'impliations est un sous-ensemble de l'ensemble des générateurs minimaux assoié au

même système de fermeture.

Base de Guigues Duquenne [38℄

La base de Guigues Duquenne [38℄ est onstruite sur des éléments partiuliers

appe-lés ensembles pseudo-fermés qui sont basés sur la dénition des ensembles quasi-fermés.

Elle est uniquement dénie et a la propriété d'être minimum. En revanhe, il n'est pas

toujours possiblede alulerlafermetured'un ensemble en un seul passagede ette base

d'impliations.

Dénition 19 Unensemble

Q ⊆ G

^{estun ensemble} quasi-fermé sietseulementsi

F ∪Q

est un système de fermeture.

Propriété 3 [38℄ Soit un ensemble

Q ⊂ G

^{. Q est} quasi-fermé ssi pour tout

A ⊂ Q

^,

A ^{Σ F} = Q ^{Σ F}

^ou

A ^{Σ F} ⊂ Q

^.

Enn, à partir de la dénition d'ensemble quasi-fermé, on peut donner la dénition

d'ensemble pseudo-fermé.

Dénition 20 Unensemblequasi-fermé

P

^{estun ensemble} pseudo-fermés'iln'existepas d'ensemblequasi-fermé

Q

^ave

Q ⊂ P

^et

Q ^{Σ F} = P ^{Σ F}

^.

Exemple 5 Si nous onsidérons le système de fermeture de l'exemple 2, la base de

Guigues Duquenne assoiée à e système de fermeture est lasuivante :

Σ ^F

^={d

→

^{a, ae}

→

^b,be

→

^{a, e}

→

^{ab, a}

→

^{be, b}

→

^ae}.

L'ensemble des pseudo-fermés permet ainsi de dénir la base d'impliations de Guigues

Duquenne.

Théorème 3 Base minimum de Guigues-Duquenne[38℄.

Soit

F

^{unsystèmede fermeture,l'ensemble}

Σ ^F = {P → P ^{Σ F} | P

^{estun ensemble}

pseudo-fermé

}

^{est une base} d'impliations minimum pour

F

^.

Deplus,àpartird'unebased'impliationsquelonque,ilexisteunalgorithmepermettant

de trouver la base de Guigues Duquenne assoiée. Cet algorithme a été déouvert par

Mayerpuis Shok l'asimplié[92℄.

Algorithme 1 : MINIMUM

(Σ)

Données :

Σ

^{une base} d'impliations de

F

Résultat:

Σ min

^{une base minimum} d'impliationsde

F

début

pour haque

X → Y ∈ Σ

^faire

Remplaer

X → Y

^par

X → X ^Σ

^;

pour haque

X → X ^Σ ∈ Σ

^faire

si

X ^{Σ F \{X →X Σ F }} ∈ F

^alors

Σ \ {X → Y } → Σ

n

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