−5 est solution de l’´equation : a.ex=−5 b.elnx=−5 c

TES Mercredi 01/04/2009 dur´ee 3 h

Exercice 1 ( 4 points )

Une seule des r´eponses propos´ees est correcte.

Une bonne r´eponse rapporte 1 point. Une r´eponse fausse enl`eve 0,5 point. L’abscence de r´eponse ne rapporte ni n’enl`eve aucun point. Si le total des points est n´egatif, la note attribu´ee `a cet exercice est ramen´ee `a 0. Aucune justification n’est demand´ee.

1. −5 est solution de l’´equation :

a.e^x=−5 b.e^lnx=−5 c. lnx=−ln5 d.ln(e^x) =−5 2. R3

4

3 + 1 x−2

dxest ´egale `a :

a. 3 +ln2 b. −3−ln2 c.−3 +ln(2))

3. La valeur moyenne de la fonctionf d´efinie par f(x) =e^2x+1 sur [−1

2; 0] est : a. 1 +e

2 b. 1−e c. e−1

4. f etg sont deux fonctions d´efinie sur [0; 1] par f(x) =e^x etg(x) =e^x2. a.R1

0 f(x)dx≤R1

0 g(x)dx b. R1

0 f(x)dx≥R1

0 g(x)dx c.R1

0 f(x)dx=R1

0 g(x)dx

Exercice 2 ( 5 points )

Lors d’une enquˆete r´ealis´ee aupr`es de familles d’une r´egion, concernant leur habitation principale, on apprend que 55 % des familles interrog´ees sont propri´etaires de leur logement, 40 % en sont locataires et enfin 5 % occupent leur logement gratuitement (ces familles seront appel´ees dans la suite de l’exercice«occupant `a titre gratuit».)

Toutes les familles interrog´ees habitent soit une maison individuelle , soit un appartement ; toute habitation ne contient qu’une seule famille.

60 % des propri´etaires habitent une maison individuelle, 80 % des locataires habitent un appartement et enfin 10 % des occupants `a titre gratuit habitent une maison individuelle.

On interroge au hasard une famille de la r´egion et on note : A l’´ev´enement :«la famille habite un appartement»; L l’´ev´enement :«la famille est locataire»;

P l’´ev´enement :«la famille est propri´etaire»;

G l’´ev´enement :«la famille est occupant `a titre gratuit».

On noterap(E) la probabilit´e de l’´ev´enement E. L’´ev´enement contraire de E sera not´e E.

p(E/F) d´esignera la probabilit´e conditionnelle de l’´ev´enement E sachant que l’´ev´enement F est r´ealis´e.

On donnera, si n´ecessaire, les r´esultats arrondis aux mili`emes.

1. (a) Pr´eciser `a l’aide de l’´enonc´e les probabilit´es suivantes :p A/P

, p(A/L) etp A/G . (b) Construire un arbre pond´er´e r´esumant la situation.

2. Calculer la probabilit´e de l’´ev´enement :«la famille est propri´etaire et habite un appartement».

3. Montrer que la probabilit´e de l’´ev´enement A est ´egale `a 0,585

4. On interroge au hasard une famille habitant un appartement. Calculer la probabilit´e pour qu’elle en soit le propri´etaire.

5. On interroge trois familles de la r´egion, le choix de ces familles se faisant al´eatoirement et de mani`ere ind´ependante.

(a) Calculer la probabilit´e d’interroger trois familles habitant un appartement.

(b) Calculer la probabilit´e d’interroger au moins une famille habitant une maison individuelle.

Exercice 3 ( 6 points ) Partie A

Le plan est muni d’un rep`ere orthogonal (O;~i;~j).

On d´esigne par f la fonction d´efinie sur Rdont on donne la courbe repr´esentative not´eeC ci-dessous.

La droite d est la tangente `a C au point de coordonn´ees (0;−3) et la tangente `a C au point d’abscisse 3 est parall`ele `a l’axe des abscisses.

1. Lire sur le graphiquef(0), f⁰(0) et f⁰(3).

2. Parmi les quatre courbes ci-dessous, se trouve celle repr´esentant la fonctionf⁰.

La retrouver en justifiant la r´eponse.

3. On admet que la fonctionf est d´efinie par f(x) = (x²+a)e^bx o`u aetbsont deux r´eels.

(a) Exprimer f⁰(x) en fonction de aetb.

(b) A l’aide des valeurs de f(0) et f⁰(0) obtenues `a la question 1., calculeraetb.

Partie B

Dans la suite de l’exercice, on admet quef est d´efinie surRpar f(x) = x²−3 e^−x 1. D´eterminer la limite de f en −∞.

2. On admet que lim

x→+∞

e^x

x² = +∞

En remarquant quef(x) = x² e^x − 3

e^x, d´eterminer la limite def en +∞.

Interpr´eter graphiquement ce r´esultat.

3. Justifier que le signe de f⁰(x) est donn´e par celui de l’expression −x²+ 2x+ 3.

4. D´eterminer le signe de f⁰(x) puis dresser le tableau de variations complet def.

5. L’´etude des variations def r´ealis´ee dans la question 4. permet d’affirmer que l’´equation f(x) = 2 admet une solution unique not´eeα.

(a) D´eterminer un encadrement d’amplitude 10⁻2 de α.(on ne demande pas de justifier l’existence et l’unicit´e de cette solution)

(b) Prouver que le r´eel α est ´egalement solution de l’´equation ln

x²−3 2

=xsur ]− ∞;√ 3[.

Exercice 4 ( 5 points ) Soit la fonctionf d´efinie sur l’ensemble Rdes nombres r´eels par

f(x) = (1−x)e^x.

On note C la courbe repr´esentative de f dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthonormal (figure ci-dessous).

Partie A

1. Calculer la limite de f en −∞(on admet que lim

x→−∞xe^x= 0).

Interpr´eter graphiquement le r´esultat.

2. Calculer la limite de f en +∞.

3. D´eterminer le signe de f(x) selon les valeurs du r´eel x.

Partie B

Soit F la fonction d´efinie pour tout r´eelx par F(x) = (−x+ 2)e^x.

1. D´emontrer que F est une primitive def sur R.

2. On appelle A l’aire de la partie du plan d´elimit´ee par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’´equationx=−1 et x= 0.

(a) Justifier l’´egalit´e : A= Z 0

−1

f(x) dx.

(b) `A l’aide du graphique ci-dessus, justifier que : 3 4 <

Z 0

−1

f(x) dx <1.

(c) D´eterminer, en unit´es d’aire, la valeur exacte deApuis sa valeur d´ecimale arrondie au centi`eme.