Nom : Prénom : Classe : Date : 1Composition de 4° - Juin 2009 Commentaires :...................................................................................................................................................................................

Commentaires :...

...

...

Partie numérique : ( 20 points)

Exercice 1 : Pour chaque question, indiquer LA bonne réponse dans la dernière colonne du tableau. (

Le barème est le suivant : + 0,5 point par bonne réponse, - 0,25 point par mauvaise réponse, 0 point si pas de réponse !)

/2,5

A B C Rép.

1. L’inverse de -3

x

est … 3

x

-

x

3 - 1

3

x

2. Le double de

a

-

b

est … 2

a

- 2

b

2a - b 2 +

a

-

b

3.

x

désigne un nombre

relatif négatif et différent de 0.

A = -

x

- 2 . Alors …

A est négatif A est positif

le signe de A dépend des valeurs données

à

x

4. L’inverse de 0,2 est … - 0,2 0,5 5

5. Pour

x

= - 5, A = - 3

x

_{+ 7}

est égal à … - 5 - 8 22

Exercice 2 : Effectuer les calculs suivants.

/2,5 A = [(28 – 3) × 2 + 1] × 3 – 15 + 2 × (10 – (- 7))

………

………

………

………

………

………

B = [- 5,3 – 3,7] ÷ [5 × 1,5 + (- 1) × (- 2,5)]

………

………

………

………

………

L’emploi des calculatrices n’est pas autorisé.

Le sujet doit être traité directement sur le polycopié.

Nom : Prénom : Classe : Date :

Exercice 3 : Calculer les expressions suivantes sous forme de fraction irréductible.

/2 C = - 3

7 + 3 7 ÷ 5

3

………

………

………

………

………

………

………

D = 3 4 + 1

2 ×

  

 

2



3 - 1

………

………

………

………

………

………

………

Exercice 4 : Développer, puis réduire les expressions suivantes.

/4,5 E = 7 + 2(3

x

– 4)

………

………

………

………

F = (3

x

– 5)(- 2

x

+ 4)

………...

………...

………...

………...

G = (4

x

_{– 6)(2}

x

+ 8) – 3(6

x

_{– 2)}

………...

………

………...

………

Exercice 5 :

1. Effectuer le programme de calcul suivant en prenant 2, puis 5, comme nombre de départ :

« Choisir un nombre, lui ajouter 6, multiplier le résultat par 4 et retrancher 24 au nombre obtenu. » Que constate-t-on ?

/4

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………...

2. Choisir un nombre non nul au hasard et faire le programme de calcul. Que constate-t-on ?

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

3. Ecrire le programme en appelant

x

le nombre de départ, développer et réduire l’expression obtenue puis expliquer les résultats précédents.

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Nom : Prénom : Classe : Date :

Exercice 6 : Résoudre les équations suivantes.

/2,5 5

x

– 3 = 2

x

+ 6

………

………

………

………

………

………

………

………

3(- 5

x

+ 9) + 7

x

= - 3

x

+ 2

………

………

………

………

………

………

………

………

Exercice 7 : /7 On donne la figure codée ci-dessous.

1. Exprimer le périmètre du triangle 2. Exprimer le périmètre du rectangle ABCD équilatéral IJK en fonction de

x

en fonction de

x

_.

...

...

...

...

...

...

3. Déterminer

x

pour que le périmètre du triangle équilatéral IJK soit égal au périmètre du rectangle ABCD.

………

………

………

………

………

………

Partie géométrique : ( 20 points)

Exercice 1 : Soit C un point du cercle ( C ) de diamètre [AB].

On donne AB = 10 cm et AC = 8 cm

a) Quelle est la nature de ABC ?

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………..

b) Calculer BC.

………

………

………

………

………

………

………

………

………...

...

Soit D le point de [AB] tel que AD = 2 cm.

La perpendiculaire à (AC) passant par D coupe (AC) en E.

c) Démontrer que (BC) // (DE).

………

………

………

………

………

……….

2

2

1,5

Nom : Prénom : Classe : Date :

d) Déterminer AE.

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………....

Exercice 2 : FGHI est un rectangle de centre O et J le symétrique de I par rapport à F.

On donne FH = 5 cm.

a) Compléter et coder la figure puis calculer FO.

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………..

b) En déduire JG.

………

………

………

………

………

………

……….

3

2

2

Exercice 3 : On donne : OKL isocèle en K, K est le milieu de [LM] et P est le milieu de [ON].

a) Quel est le centre du cercle circonscrit à LMN ?

………

………

………

………

………

………

………

………

b) En déduire KN = KO.

………

………

………

………

………

………...

c) Que peut-on dire de la droite (PK) par rapport au segment [ON] ?

………

………

………

……….

Exercice 4 : Soit un triangle ABC tel que : AB = 5 cm, BC = 4 cm et AC = 3 cm.

ABC est-il rectangle ?

………

………

………...

………

………

2

2

1,5

2

CORRECTION Partie numérique : ( 20 points)

Exercice 1 : Pour chaque question, indiquer LA bonne réponse dans la dernière colonne du tableau. (

Le barème est le suivant : + 0,5 point par bonne réponse, - 0,25 point par mauvaise réponse, 0 point si pas de réponse !)

/2,5

A B C Rép.

1. L’inverse de -3

x

est … 3

x

-

x

3 - 1

3

x

^C

2. Le double de

a

-

b

est … 2

a

- 2

b

2a - b 2 +

a

-

b

A 3.

x

désigne un nombre

relatif négatif et différent de 0.

A = -

x

- 2 . Alors …

A est négatif A est positif

le signe de A dépend des valeurs données

à

x

A

4. L’inverse de 0,2 est … - 0,2 0,5 5 C

5. Pour

x

= - 5, A = - 3

x

+ 7

est égal à … - 5 - 8 22 C

Exercice 2 : Effectuer les calculs suivants.

/2,5 A = [(28 – 3) × 2 + 1] × 3 – 15 + 2 × (10 – (- 7))

A = (25×2+1)×3 – 15 + 2×17 A = (50+1)×3 – 15 + 34 A = 51×3 + 19

A = 153 + 19 A = 172

B = [- 5,3 – 3,7] ÷ [5 × 1,5 + (- 1) × (- 2,5)]

B = (-9) ÷ (7,5 + 2,5) B = (-9) ÷ (10) B = -0,9

Exercice 3 : Calculer les expressions suivantes sous forme de fraction irréductible.

/2 C = - 3

7 + 3 7 ÷ 5

3

C = - 3 7 + 3

7×3 5

C = - 3×5 7×5 + 9

35

C = -15 + 9 35

C = - 6 35

D = 3 4 + 1

2 ×

  

 

2



3 - 1

D = 3 4 + 1

2 ×

  

 

2



3 – 3

3 D = 3

4 - 1 6 D = 3×3 - 1×2

12 D = 7

12

Exercice 4 : Développer, puis réduire les expressions suivantes.

/4,5 E = 7 + 2(3

x

– 4)

E = 7 + 2×3x - 2×4 E = 6x - 1

F = (3

x

– 5)(- 2

x

+ 4)

F = 3x×(-2x) + 3x×4 - 5×(-2x) - 5×4 F = -6x² + 12x + 10x - 20

F = -6x² + 22x – 20 G = (4

x

– 6)(2

x

+ 8) – 3(6

x

– 2)

G = 4x×2

×

+ 4x×8 - 6×2x - 6×8 - 3×6x - 3×(-2) G = 8x² + 32x – 12x – 48 – 18x + 6

G = 8x² + 2x - 42

CORRECTION

Exercice 5 :

1. Effectuer le programme de calcul suivant en prenant 2, puis 5, comme nombre de départ :

« Choisir un nombre, lui ajouter 6, multiplier le résultat par 4 et retrancher 24 au nombre obtenu. » Que constate-t-on ?

/4 2 + 6 = 8

8×4 = 32 32 – 24 = 8

5 + 6 = 11 11×4 = 44 44 – 24 = 20 On obtient le quadruple du nombre de départ.

2. Choisir un nombre non nul au hasard et faire le programme de calcul. Que constate-t-on ?

10 + 6 = 16 16×4 = 64 64 – 24 = 40

On obtient encore le quadruple du nombre de départ.

3. Ecrire le programme en appelant

x

le nombre de départ, développer et réduire l’expression obtenue puis expliquer les résultats précédents.

x + 6

(x + 6)×4 = 4x + 24 4x + 24 – 24 = 4x

On obtient bien le quadruple du nombre de départ.

Exercice 6 : (pas au programme de la compo de Juin 2010) Résoudre les équations suivantes.

/2,5 5

x

_{– 3 = 2}

x

_{+ 6}

5x – 2x = 6 + 3 3x = 9

x= 9 3 x = 3

3(- 5

x

_{+ 9) + 7}

x

_{= - 3}

x

_{+ 2}

-15x + 27 + 7x = -3x + 2 -8x + 3x = 2 – 27

-5x = -25 x =-25

-5 x = 5

Exercice 7 : /7 On donne la figure codée ci-dessous.

1. Exprimer le périmètre du triangle 2. Exprimer le périmètre du rectangle ABCD équilatéral IJK en fonction de

x

en fonction de

x

.

PIJK = 3×KJ = 3x PABCD = 2×(AB + AD) = 2×(x + 20)

3. Déterminer

x

pour que le périmètre du triangle équilatéral IJK soit égal au périmètre du rectangle ABCD.

(pas au programme de la compo de Juin 2010)

PIJK = PABCD 3x = 2(x + 20) 3x = 2x + 40 3x – 2x = 40 x = 40 Les deux périmètres sont égaux pour x = 40.

Partie géométrique : ( 20 points)

Exercice 1 : Soit C un point du cercle ( C ) de diamètre [AB].

On donne AB = 10 cm et AC = 8 cm

a) Quelle est la nature de ABC ? Le triangle ABC étant inscrit dans le cercle de diamètre [AB] est donc rectangle en C.

b) Calculer BC.

2

CORRECTION

Le triangle ABC étant rectangle en C, on peut appliquer le théorème de Pythagore : AB² = BC² + AC²

BC² = AB² - AC² = 100 – 64 =36 = 6² Donc BC = 6 cm

Soit D le point de [AB] tel que AD = 2 cm.

La perpendiculaire à (AC) passant par D coupe (AC) en E.

c) Démontrer que (BC) // (DE).

Données : (BC) ⊥ (AC) (car le triangle ABC est rectangle en C) (DE) ⊥ (AC) (par codage de la figure)

Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles.

Conclusion : (BC) // (DE)

d) Déterminer AE.

Les droites (BC) et (DE) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles ADE et ABC :

AD AB = AE

AC = DE BC

Soit : 2 10 = AE

8 D’où : AE = 1,6 cm

Exercice 2 : FGHI est un rectangle de centre O et J le symétrique de I par rapport à F.

On donne FH = 5 cm.

a) Compléter et coder la figure puis calculer FO.

Les diagonales du rectangle FGHI se coupent en leur milieu.

Donc : OF = FH

2 = 2,5 cm

.

1,5

2

O

b) En déduire JG.

Données : F est le milieu de [IJ].

O est le milieu de [IG].

Propriété : la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

Conclusion : JG = 2×FO = 5 cm

Exercice 3 : On donne : OKL isocèle en K, K est le milieu de [LM] et P est le milieu de [ON].

a) Quel est le centre du cercle circonscrit à LMN ?

Le triangle LMN étant rectangle en N est inscrit dans le cercle de diamètre [LM].

Donc le centre du cercle circonscrit à LMN est le milieu de [LM] : c'est-à- dire le point K.

2

2

CORRECTION

b) En déduire KN = KO.

On a donc : KL = KN = KM (puisque K les centre du cercle circonscrit au triangle LMN).

Le triangle OKL étant isocèle en O, on a : KL = KO Donc KN = KO

c) Que peut-on dire de la droite (PK) par rapport au segment [ON] ? OP = NP donc P appartient à la médiatrice de [ON].

OK = NK dont K appartient à la médiatrice de [ON].

Donc (PK) est la médiatrice du segment [ON].

Exercice 4 : Soit un triangle ABC tel que : AB = 5 cm, BC = 4 cm et AC = 3 cm.

ABC est-il rectangle ?

[AB] est le plus grand côté du triangle ABC.

AB² = 25

BC² + AC² = 16 + 9 = 25 On a donc AB² = BC² + AC²

Donc selon la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC est rectangle en C.

2

1,5

2