Brevet des coll`eges
Epreuve de math´ematiques ´
Dur´ee 2 hLes calculatrices sont autoris´ees ainsi que les instruments usuels de dessin.
Pr´esentation, orthographe et r´edaction: 4 points.
Activit´es num´eriques (12 points)
Exercice 1 (3 points) On consid`ere les nombres :
A=1 3+2
3×2 5 B= (5√
2−7)(5√ 2+7)
En faisant apparaˆıtre les diff´erentes ´etapes des calculs : 1. ´EcrireAsous la forme d’une fraction irr´eductible.
2. ´EcrireBsous la forme d’un nombre entier.
Exercice 2 (3 points)
On donne :D= (2x−3)(5x+4) + (2x−3)2.
1. Montrer, en d´etaillant les calculs, queDpeut s’´ecrire :D= (2x−3)(7x+1).
2. R´esoudre l’´equation :(2x−3)(7x+1) =0.
Exercice 3 (6 points) Voici un probl`eme :
Une salle de spectacles propose des spectacles pour un tarif A et des spectacles pour un tarif B.
Laura r´eserve 1 spectacle au tarif A et 3 spectacles au tarif B. Elle paie 480 F.
Michel r´eserve 2 spectacles au tarif A et 1 spectacle au tarif B. Il paie 410 F.
On cherche `a calculer le prix d’un spectacle au tarif A et le prix d’un spectacle au tarif B.
Pour faire ces calculs, ton professeur te propose de r´esoudre le syst`eme suivant : x+3y=480
2x+y=410
1. Que repr´esentent dans le syst`eme ci-dessus les lettresxety?
2. Quelle information donn´ee par l’´enonc´e est traduite par l’´equationx+3y=480? 3. Quelle information donn´ee par l’´enonc´e est traduite par l’´equation2x+y=410? 4. R´esoudre le syst`eme.
Session 2 000
Acad´emie de Montpellier
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Epreuve de math´ematiques ´
Dur´ee 2 hActivit´es g´eom´etriques (12 points)
Exercice 1 (6 points)
La figure ci-dessous est donn´ee `a titre d’exemple pour pr´eciser la disposition des points. Ce n’est pas une figure en vraie grandeur.
On donne :
– les pointsK,O,Lsont align´es;Oest entreKetL;OK=2cm;OL=3,6cm;
– les pointsJ,O,Nsont align´es;Oest entreJetN;OJ=3cm;ON=5,4cm;
– le triangleOKJest rectangle enK.
1. Calculer l’angle OJKd (on donnera l’arrondi au degr´e pr`es).
2. D´emontrer que les droites (JK)et (LN) sont pa- rall`eles.
3. D´eduire de la question2, sans effectuer de calculs, que les anglesOJKd etONLd sont ´egaux.
L
O
K
N
3,6 cm
2 cm 5,4 cm
J 3 cm
Exercice 2 (6 points)
Un plan coupe une sph`ere de centreOet de rayon 10 cm selon un cercle(C)de centreH.
La distanceOHdu centre de la sph`ere `a ce planP vaut 6 cm.
La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur.
Cette figure ci-dessous repr´esente la sph`ere et le cercle(C). Le point A est un point du cercle(C).
1. En utilisant uniquement les donn´ees de l’´enonc´e, tracer en vraie grandeur le triangleOHA, rectangle enH. On laissera les traits de constructions appa- rents.
2. Calculer le rayon du cercle(C).
H
A O
(C)
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Epreuve de math´ematiques ´
Dur´ee 2 hProbl`eme (12 points)
Dans ce probl`eme, l’unit´e de longueur est le centim`etre et l’unit´e d’aire est le cm2
La figure ci-dessous est donn´ee `a titre d’exemple pour pr´eciser la disposition des points. Ce n’est pas une figure en vraie grandeur.
– ABC est un triangle rectangle tel que : AC=20 cm; BC=16 cm; AB=12 cm;
– F est un point du segment[BC];
– la perpendiculaire `a la droite (BC)passant par F coupe[CA]en E.
On a repr´esent´e sur la figure le segment[BE].
F E
C B
A
Partie 1 (3,5 points)
1. D´emontrer que le triangleABCest rectangle enB.
2. Calculer l’aire du triangleABC.
3. D´emontrer, en s’aidant de la question1que la droite(EF) est parall`ele `a la droite(AB).
Partie 2 (4 points)
On se place dans le cas o`u CF=4 cm.
1. D´emontrer queEF=3cm.
2. Calculer l’aire du triangleEBC.
Partie 3 (4,5 points)
On se place dans le cas o`u F est un point quelconque du segment[BC], distinct de B et de C.
Dans cette partie, on pose CF=x (x ´etant un nombre tel que : 0<x<16).
1. Montrer que la longueurEF, exprim´ee en cm, est ´egale `a : 3 4x.
2. Montrer que l’aire du triangleEBC, exprim´ee en cm2, est ´egale `a6x.
3. Pour quelle valeur dexl’aire du triangleEBC, exprim´ee en cm2, est-elle ´egale `a 33 ?
4. Exprimer en fonction dexl’aire du triangleEAB. Pour quelle valeur exacte dexl’aire du triangleEABest-elle
´egale au double de l’aire du triangleEBC?
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