Solution du Problème D161
Atchoum (A), Prof (P), Dormeur (D), Grincheux (G) et Joyeux (J) se placent dans cet ordre sur la circonférence d'un cercle. Simplet (S) et Timide (T) se placent respectivement à l'intersection des deux droites AD et PG et à l'intersection des deux droites AD et PJ. Blanche-Neige constate que les distances AT, TS et SD sont respecti- vement égales à 40, 20 et 10 mètres. Atchoum (A), Dormeur (D), Grincheux (G) et Joyeux (J) ne bougent pas.
Simplet (S) prend la place de Timide (T). Prof (P) va alors se placer à l'intersection de GS et du cercle tandis que Timide (T) se place à nouveau à l'intersection de AD et de PJ. Quelles sont les nouvelles distances AT et TS mesurées par Blanche-Neige ?
Solution. Il s’agit d’un problème ―homographique‖, on peut raisonner sans faire beaucoup de calculs :
— lorsque P parcourt le cercle, les droites GP et JP tournent d’un même angle autour de G et J [théo- rème de l’angle inscrit]. La pente de JP est donc une fonction homographique de celle de GP.
— L’abscisse du point P sur la droite AD s’obtient aussi comme une fonction homographique de l’abscisse de S.
— cette fonction est déterminée par l’image de trois points de la droite AD, or nous connaissons les images de D, de S et de A qui sont D, T et A.
— Introduisant les abscisses à partir de A vers D sur la droite AD ; on peut alors procéder de deux façons :
a) ƒ étant de la forme (ax+b)/(cx+d) et vérifiant : ƒ(0) = 0 ; ƒ(70) = 70 ; ƒ(60) = 40 , l’on en tire aisément ƒ(x) = 20x / (90 – x) et, par suite : ƒ(40) = 16 .
b) ƒ conservant les birapports on a : f (t) f (d)
f (t) f (a). f (s) f (a) f ( s) f ( d)
t d t a.s a
s d ; identité qui donne : t’ 70
t’ . 40 40 70
40 70 40 . 60
60 70, puis t’ = ƒ(40) = 16 .
— Finalement, les nouvelles distances AT’, T’S’ et S’D sont : 16, 24, 30 .
Remarque : Une variante intéressante de l’exercice consiste à choisir initialement T au milieu de AD : en effet, si t = 35 dans la relation du b), il vient
t' 70 t' . 35
35 70
35 70 35 . s
s 70, et donc
t' 70 t'
s
s 70 . Relation dont il est facile de déduire que T est — quel que soit le point S — le milieu de T’S … C’est un résultat connu sous le nom de ―théorème du papillon‖. A propos de ce théorème, on trouvera sur le site de Monsieur Baptiste Gorin
http://pagesperso-orange.fr/baptiste.gorin/
un lien vers un article qui en donne plusieurs démonstrations [suivre ―documents‖…] et il est intéressant d’essayer d’appliquer chacune de ces méthodes au présent exercice…
T’ D
A
P’
S T
S’
P
J
G
