D174. Aux habitu´ es du grand froid
Prouvons d’abord que l’axe radical deΓ1et Γ2 passe par P.
Soit H le milieu de BC.
Puissance de P /Γ2
=P M2−M D2
=P H2+HM2−M D2
=P H2+ (HM +M D)×(HM −M D)
=P H2+HD×HE
=P H2+HB2 (B, C et D, E forment une division harmonique)
=P B2
Par construction, Q est aussi sur l’axe radical deΓ1 etΓ2.
Le titre de l’exercice indique qu’il faut chercher les pˆoles et les polaires. En cons´equence, puisque QD est tangent `a Γ2 en D, la polaire de Q par rapport
`
a Γ2 est DF o`u F est la 2`eme intersection de Γ2 et de Γ3 (de centre Q et de rayon QD).
Γ1etΓ2se coupent `a angle droit (parce queM A2=M D2 =M B×M C);
Γ1etΓ3se coupent aussi `a angle droit. Donc O a mˆeme puissance par rapport
`
a Γ2et Γ3 (=OA2).
⇒O est sur l’axe radical DF de Γ1 etΓ3.
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Soit F’ l’intersection de PE et deΓ2. On a: P E×P F0 =P B2=P H×P O (surΓ4 cercle de diam`etre BO):
EF\0D=EHO\ = π2
E, F’, H et O sont cocycliques sur le cercle de diam`etre EO. Il en r´esulte que F’, D et O sont align´es et donc que F et F’ sont confondus.
Finalement, EP et MQ sont parall`eles et MQ est la m´ediatrice de DF: elle partage DP en 2 segments ´egaux DX et XP.
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