A546. Tours babéliennes
L’entier , apparaissant fois dans la tour des exposants, est appelé par convention « tour babélienne de étages et de appartements par étage ». On rappelle qu’en l’absence de parenthèses dans
l’expression de , les exposants sont toujours pris du haut vers le bas. C’est ainsi que est égal à et non pas à avec les exposants pris de bas en haut.
Pb n°1. On considère la séquence des restes de la division par des tours babéliennes de étages et de appartements par étage. Démontrer qu’à partir d’un certain rang les termes de la séquence sont constants.
Pb n°2. Trouver la plus petite tour babélienne de étages telle que la différence – avec la tour qui a un étage de plus et le même nombre d’appartements par étage est divisible par quel que soit l’entier .
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Préambule
Prenons n quelconque. On établit alors que pour tout ,
où si ou sinon d'après le petit théorème de Fermat où si ou sinon d'après le petit théorème de Fermat
où si ou sinon d'après le théorème d’Euler avec où si ou sinon d'après le petit théorème de Fermat
où si ou sinon d'après le petit théorème de Fermat
où si ou sinon d'après le petit théorème de Fermat ]
où si ou sinon d'après Fermat On conclut donc que quelque soit et pour tout , est constant modulo .
Problème 1
Les premières valeurs de , ainsi que leurs restes modulo , se calculent directement :
; ; ; ;
En appliquant le résultat du préambule au cas particulier , on a pour tout ,
On conclut que modulo 2011 est constant à partir du rang 6 (mais pas avant).
Problème 2
Les résultats numériques du problème 1 permettent d’affirmer que pour tout , – . On conclut donc que s’il existe k vérifiant les conditions du problème 2, alors nécessairement .
D’après le résultat du préambule, on sait que pour tout n, – . On conclut donc que est le plus petit entier vérifiant les conditions du problème 2.
