A546. Tours babéliennes
L’entier T(k,n) = n^n^n^...^n, n apparaissant k fois dans la tour des exposants, est appelé par convention « tour babélienne de k étages et de n appartements par étage ». On rappelle qu’en l’absence de parenthèses dans l’expression de T(k,n),les exposants sont toujours pris du haut vers le bas. C’est ainsi que T(3,3) = 3^3^3 est égal à 3^(3^3) = 3^27= 7 625 597 484 987 et non pas à (3^3)^3 = 27^3 = 19683 avec les exposants pris de bas en haut.
Pb n°1 On considère la séquence des restes de la division par 2011 des tours babéliennes de 1,2,3,...,k,... étages et de 2 appartements par étage. Démontrer qu’à partir d’un certain rang les termes de la séquence sont
constants.
Pb n°2 Trouver la plus petite tour babélienne de k étages telle que la différence T(k+1,n) – T(k,n) avec la tour qui a un étage de plus et le même nombre n d’appartements par étage est divisible par 2011 quel que soit l’entier n.
Réponse de Maurice Bauval au problème n°1.
Pb1 : Pour x > 0 2^(x+2010) = 2^x mod 2011 Pour x > 1 2^(x+ 132) = 2^x mod 2010 Pour x > 2 2^(x+ 10) = 2^x mod 132 Pour x > 1 2^(x+ 8) = 2^x mod 10 Pour x > 3 2^x = 0 mod 8
Pour tout n supérieur ou égal à 3 on a modulo 8 T(n,2) = T(3,2) = 0 Puis modulo 10 T(4,2) = 2^T(3,2) = 2^8 = 256 = 6
Puis modulo 132 T(5,2) = 2^T(4,2) = 2^6 = 64
Puis modulo 2010 T(6,2) = 2^T(5,2) = 2^64 = (2^16)^4 = 65536^4 = 1216^4 = 1306^2 = 1156 Puis modulo 2011 T(7,2) = 2^T(6,2) = 2^1156 après encore quelques calculs T(7,2) = 1222 Pour n > 7 la séquence des restes de la division par 2011 de T(n,2) est constante et égale à 1222
