Cinq points pour un ratio minimum
Problème D241 de Diophante
Soit E un ensemble de cinq points du plan tels que trois d'entre eux ne sont jamais sur une même droite. Soient S(E) et s(E) la plus grande surface et la plus petite surface des triangles déterminés par trois points quelconques de E.
Quelle est la valeur minimale du rapport S(E) / s(E) ?
Source : présélection pour les Olympiades internationales de mathématiques.
Solution
Intuitivement, les cinq points jouant le même rôle, le pentagone régulier P apporte une solution (ainsi que toute image de P par une transformation affine).
La valeur correspondante est alors le nombre d’or : 1,618 … .
Intuition mise à part, considérons cinq points : O, I, J, A1, A2 tels que l’aire du triangle OIJ soit inférieure ou égale aux aires des autres triangles considérés.
O I
J A1 x1
{
y1 A2 x2{
y2Prenons pour repère affine (O, OI, OJ) et pour unité d’aire celle du triangle OIJ ; alors l’aire d’un triangle S1 S2 S3 de coordonnées (u1, v1) (u2, v2) (u3, v3) est :
| u1.v2 + u2.v3 + u3.v1 – u2.v1 - u3.v2 - u1.v3 | Ainsi, les aires des dix triangles possibles sont respectivement :
O I J 1 O A1 A2 | x1.y2 – x2.y1 |
O I A1 | y1 | I J A1 | x1 + y1 – 1 | O I A2 | y2 | I J A2 | x2 + y2 – 1 |
O J A1 | x1 | I A1 A2 | y1 – y2 + x1.y2 - x2.y1 | O J A2 | x2 | J A1 A2 | x2 – x1 + x1.y2 - x2.y1 |
Pour ne pas traîner des valeurs absolues, plaçons nous dans le cas de la figure ci-dessus. Alors, il apparaît les neuf contraintes : x1, x2, y1, y2 ≥ 1 ; x1.y2 – x2.y1 ≥ 1 ;
x1 + y1 ≥ 2 ; x2 +y2 ≥ 2 ; y1 – y2 + x1.y2 - x2.y1 ≥ 1 ; x2 – x1 + x1.y2 - x2.y1 ≥ 1, où la sixième et la septième sont conséquences des quatre premières.
Notons m le rapport S(E) / s(E), en fait la valeur de S(E) puisque nous avons choisi s(E) = 1. Il s’agit de trouver des valeurs de x1, x2, y1, y2 toutes inférieures ou égales à m, qui satisfassent les contraintes ci-dessus.
Prenons x1 = y2 = m et x2 = y1 = 1, pour minimiser l’aire de O A1 A2. Il reste à satisfaire m2 – 1 ≥ 1 et 1 – m + m2 –1 ≥ 1. Du fait que m est supérieur à 1, il reste la seule condition : m2 ≥ m + 1.
Cette condition est réalisée, a minima, lorsque m est le nombre d’or.
Le pentagone est alors une image, par une transformation affine , d’un pentagone régulier.
