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Arithmétique au Paradis

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Academic year: 2022

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Arithmétique au Paradis

Problème A459 de Diophante

Au Paradis, Diophante et Saint Pierre ont le dialogue suivant:

- D : Je viens de croiser trois belles âmes qui sont arrivées au Paradis, il y a respectivement a, b et c années. Les trois entiers (a, b, c) forment un triplet

pythagoricien primitif (a, b et c sont premiers entre eux et a2 + b2 = c2). Pouvez-vous me donner les trois entiers a, b et c ?

- P : Depuis que j'ai les clés du Paradis, j'ai observé un bien grand nombre de triplets pythagoriciens primitifs. Il me faudrait des heures et des heures pour les énumérer tous.

- D : Si j'ajoute le même chiffre x devant chacun des trois nombres a, b et c, j'obtiens trois entiers qui constituent un autre triplet pythagoricien primitif. Pouvez-vous, me donner x, a, b et c ?

- P : Cette fois-ci, je sais répondre et la solution est unique.

Trouver x, a, b et c et justifier l'unicité de la solution.

Solution

D’une part a, b et c n’ont certainement pas le même nombre de chiffres et, d’autre part, de manière intuitive, le chiffre à ajouter en tête doit être petit.

Au premier essai, sur ces critères, apparaît la solution 13, 12, 5 puisqu’on a, à la fois : 132 = 122 + 52.et 1132 = 1122 + 152.

Unicité de cette solution ?

Références

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