Paris 7 DEUG SSM QA 215-216
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EXAMEN D’ELECTROMAGNETISME t0= Jeudi 21 juin, 13h.
∆t= 3h., sans documents
I. Induction ; principe d’une pince amp`erem´etrique(5 points)
Le tore `a section rectangulaire dessin´e ci-contre a ´et´e form´e en enroulant r´eguli`erementN tours d’un fil conducteur.
1)(1,5 pt) Apr`es mod´elisation, d´eterminer la valeur de la “self”Lde ce circuit torique.
2)(1 pt) D´eterminer la valeur du coefficient d’induction mutuel- le Mfil→tore correspondant aux effets d’induction dans le circuit torique dus aux variations de courant dans un fil conducteur “rectiligne infini”
dispos´e selon l’axe ∆ du tore.
3)(1,25 pt) D´eterminer la valeur du coefficient d’induction mutuel- leMtore→filcorrespondant aux effets d’induction dans le fil rectiligne dus aux variations de courant dans le circuit torique. Comparer les valeurs trouv´ees pourMtore→fil et Mfil→tore.
4)(0,75 pt) D´eterminer la valeur du coefficient Mfil→tore dans le cas o`u le fil n’est plus ni
“rectiligne” ni “infini”, mais traverse n’importe comment le passage central du tore.
5)(0,5 pt) Ne pourrait-on ˆetre surpris d’observer des effets d’induction dans le fil, compte tenu du champ ´electromagn´etique cr´e´e par le circuit torique `a l’emplacement du fil ?
II. Video-clip (5 points)
Un vaisseau spatial de longueurL0= 150 m d´erive dans l’espace intersid´eral (les astronautes sont en apesanteur). Une astronaute, install´ee`a l’arri`ere du vaisseau, ´emet (´ev´enementO), avec sa lampe de poche, un ´eclat lumineux qui est re¸cu (´ev´enementP)`a l’avant du vaisseau.
1)(1,75 pt) Convertissez la donn´ee en secondes, et repr´esentez cette histoire (lignes d’univers de l’arri`ere du vaisseau, de l’avant du vaisseau, et de la lumi`ere, ´ev´enements O et P) sur un graphe d’espace-temps dans le syst`eme de coordonn´ees (x0, t0) utilis´ees par l’astronaute, l’´ev´enementO´etant pris comme origine. Pr´ecisez bien les valeurs num´eriques des coordonn´ees de P.
2)(3,25 pt) Pendant ce temps, le vaisseau a une vitesse de 180.000 km s−1 par rapport `a une station spatiale occup´ee par un observateur, lui aussi en apesanteur. L’arri`ere du vaisseau passe juste
`
a cˆot´e de lui au moment o`u l’astronaute ´emet son ´eclat lumineux. Convertissez la vitesse en unit´es relativistes et repr´esentez cette mˆeme histoire (les trois lignes d’univers et les ´ev´enements O et P) sur un graphe d’espace-temps dans le syst`eme de coordonn´ees (x, t) utilis´ees par l’observateur en configuration standard. Vous pr´eciserez :
a)les valeurs des coordonn´eesxP ettPde l’´ev´enementP;
b)les ´equations des lignes d’univers de l’arri`ere et de l’avant du vaisseau ;
c) la repr´esentation, sur le graphe, de la longueur L attribu´ee par l’observateur au vaisseau, et la valeur de celle-ci en secondes, puis en m`etres.
III. Ondes ´electromagn´etiques dans un conducteur ?(10 points)
1)(3 pt) Montrer que les champs ´electrique et magn´etique dans un milieu correctement d´ecrit par le mod`ele lin´eaire, homog`ene, isotrope avec une permittivit´eεet une perm´eabilit´eµsont r´egis par les
´
equations
−→
∇ ·−→E(~r, t) = ρ`(~r, t) ε ,
−→
∇ ∧−→B(~r, t)−εµ∂
∂t
−→E(~r, t) =µ~j`(~r, t),
−→
∇ ∧−→E(~r, t) + ∂
∂t
−→B(~r, t) = 0,
−→
∇ ·−→
B(~r, t) = 0.
2)(1,5 pt) Ce milieu est, de plus, conducteur, ´electriquement neutre, et correctement d´ecrit par le mod`ele d’Ohm avec une conductivit´eγ. Sa permittivit´e relativeεret sa perm´eabilit´e relativeµrsont, comme pour la plupart des mat´eriaux conducteurs, pratiquement ´egales `a 1. En d´eduire les ´equations que doivent alors satisfaire les champs ´electrique et magn´etique dans ce conducteur.
3)(0,5 pt) En d´eduire une ´equation aux d´eriv´ees partielles du second ordre que doit satisfaire le champ ´electrique. Montrer que lorsque γ → 0, on retrouve l’´equation de propagation des ondes
´
electromagn´etiques dans le vide.
4)(1,5 pt) On cherche une solution de l’´equation pr´ec´edente sous la forme −→
E = E0ei(ωt−kx)z,ˆ o`uE0 est une constante,ω r´eel positif, et ˆzest le vecteur unitaire de l’axe z.
a)D´eterminer l’expression dek2en fonction deω,γ,c etε0.
b) Pour du cuivre, on a γ = 5,7 × 107Ω−1m−1. D´eterminer le domaine de fr´equences pour lequelγ/ε0ωÀ1. Cette approximation est-elle justifi´ee pour les fr´equences couramment utilis´ees ?
5)(2 pt) Calculerkdans le cadre de l’approximation pr´ec´edente. En d´eduire la forme g´en´erale de l’onde ´electromagn´etique dans le conducteur, puis les expressions des champs ´electrique et magn´etique correspondant `a cette solution.
6)(1,5 pt) Calculer le vecteur de Poynting moyen de l’onde. D´eterminer la distance x0 apr`es laquelle la puissance moyenne transport´ee par l’onde est divis´ee par deux. Calculer x0 dans les casν =ω/2π = 50 Hz et 1 MHz. Conclusion ?
Bonne fˆete[\]
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