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Submitted on 1 Jan 1887
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Sur la détermination du coefficient de self-induction
P.-H. Ledeboer
To cite this version:
P.-H. Ledeboer. Sur la détermination du coefficient de self-induction. J. Phys. Theor. Appl., 1887, 6 (1), pp.53-78. �10.1051/jphystap:01887006005300�. �jpa-00238787�
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SUR LA DÉTERMINATION DU COEFFICIENT DE SELF-INDUCTION ;
PAR M. P.-H. LEDEBOER.
Le coefficient de self-induction d’une bobine ou le potentiel
d’une bobine sur elle-même est une fonction linéaire des données
géolnétriques de cetle bobine dans le cas oii elle ne renferme pas de masses de fer. L’expression Inathén1atifjue de ce coefficient a
été donnée, pour la première fois, par Neumann 1’ ), sous la
forme
Cette intégrale, qu’on ne peut résoudre que dans quelques cas particuliers, a été l’objet de travaux importants de Gauss (2 ), de
Weber (3), de Maxwell ( ’~ ), de Lord Rayleigh (5), de Wein-
stein (6), etc. Ces auteurs ont montre qu’on peut, dans certains
cas offerts par la pratique, développer cette intégrale en série con-
vergente et calculer l’expression nun1érique avec l’approximation c~u’on désire. Dans quelques cas, d’aillenrs, on peut résoudre
cette équation à l’aide des intégrales elliptiques.
Un des éléments qui interviennent t dans ce calcul est la distance
entre deux spires et, pour la connaître avec quelque approxima- lion, on est obligé d’enrouler le fil dans des gorges creusées d’a Yance.
Des bobines de ce genre ont été construites lors de la déteru1i- nation de l’ohm; Qn peut ajouter due c’est une erreur dans l’é- valuation du coefficient de self-induction qui donne à l’ohiu de
1’-XssociaLion britannique une valeur trop faible.
Pour des bobines enroulées à la manière orclinaire, le calcul ne
donne aucun résultat.
Lorsque la bobine renferme un noyau de fer doux le coefficient
( 1 ) N~u~z~~t~t, .Ablz. d. Berliner Ahad., 18~5.
) Gauss TVerke) t. ’~T, p. 62’2-
(J) WEBER, Ablz. ~x~A. Phys. ¡(lasse Sachs. Ges. d. ~~iss., B. VI, p. 60;.
( i ) MAXWELL, Plail. Transact.) p. r 5a ; J865.
( " ) LORD R.1-YLEIGII, Proc. Royal Soc., n° 213; 1881.
( ~ ~ VTEI1’STEIV’, I~ied..~ma., 21, p. 3‘?g; r~~i.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01887006005300
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de self-induction est variable et l’on peut, dans ce cas, définir ce
coefficient par l’équation -~ -
e étant la force électromotrice due à la self-induction et 1 l’inten- sité du courant au temps t.
Lorsqu’on mesure le coefficient de self-induction par la quan- tité d’électricité c~ produite par l’extra-courant de rupture, la même formule s’applique dans les deux cas suivants : 1 ° coefficient con-
stant ; ~° coefficient variable et fonction de l’intensité du courant I.
On a, en eiet, si io représente l’intensité de courant qui traverse le
galvanomètre au temps t, ,
et
si L constant,
On a ainsi
si L ,rariab]e.
et
si L constant.
si L variable.
On voit donc qu’on trouve, dans les deux cas,
1
Ceci posé, occupons-nous des différentes méthodes proposées
pour la mesure de ce coefficient. On ne s’est guère occupé de la
mesure de coefficient de self-induction avant Maxwell. Cet auteur a proposé différentes méthodes de comparaison : on peut comparer le coefficient de self-induction avec un coefficient d’induction
mutuelle, avec un autre coefficient de self-induction ou avec une
capacité électrostatique. Ces méthodes de comparaison ne sont
pas d’un usage pratique, parce qu’on n’a pas à sa disposition des
termes de comparaison. Quant à la comparaison de la capacité électromagnétique d’une bobine avec la capacité électrostatique
4’un condensateur, cette méthode ne s’applique que difficilement t
55 à des bobines renfermant des noyaux de fer, puisque la capacité électromagnétique excède plusieurs milliers de microfarads ; on
ne peut donc comparer que deux quantités d’ordres très divers.
Maxwell a en outre proposé une méthode de mesure directe;
elle repose sur la mesure de la quantité d’électricité mise .en jeu
par l’extra-courant de rupture. Lord Rayleigh a appliqué cette
méthode à propos de la détermination de l’ohm. Le principe de
cette méthode est Identique à celle que M. Edlund (1) a employée
pour étudier la loi de l’extra-courant. La différence existe en ce
que 1VI. Edlund obtient l’équilibre électrique à l’aide d’un galvano-
mètre différentiel, tandis que Maxwell utilise le dispositif du
pont de Wheatstone.
Pour appliquer cette méthode, il faut disposer d’un galvano-
mètre périodique sans amortissement. Or, on le sait, un galvano-
mètre de ce genre est d’un emploi très difficile, et l’on ne peut pas s’en servir dans le voisinage d’un fort électro-aimant. C’est à cause
de ces inconvénients inhérents au galvanomètre sans amortisse-
ments que nous avons essayé d’utiliser, pour ces mesures, le gal-
vanomètre apériodique Deprez-d’Arsonval ; nous commencerons
donc par étudier le mouvement du cadran de ce galvanomètre.
Ajoutons que M. Joubert (2 ) a fait connaître, il y a quelques
années, une élégante méthode de mesure du coefficient de self’-
induction, fondée sur un principe tout nouveau et reposant sur
l’emploi des courants alternatifs et de l’électromètre à cadran.
CHAPITRE I.
Étude du galvanomètre apériodique Deprez-d’Arsonval.
Étude du ~YX~~/~o/?~e~/~ ~e/~’o~~~e. 2013 Ce galvanomètre
consiste en un cadre de fil, de forme rectangulaire, mobile dans
un champ magnétique intense, produit par un aimant d’acier
L/~. 1 (1)1-
(1) EDLUND, Pogg. Ann., t. LXXVII.
(2) JOUBEPT, ~~~~~ ~ l’École Normale, t. X, 1881.
(1) Les figures qui accompagnent cet article nous ont été obligeamment fournies
par le Journal La ~M~~e/’e eVec~~M~.
’
56
Pour renforcer ce champ magnétique, on a placé à l’intérieur du cadre une masse de fer doux, fixe. Le courant est amené par le fil de suspension, et il sort par le fil prolongé au-dessous du cadre.
L’ensemble constitue donc une portion de la machine Sien1ens;
iiiais ici le tambour se réduit à une seule section, et le fer doux est fixe, au lieu d’être mobile.
!~. ~.
la’éqUation différentielle du 111011B’elnent du cadre peut s’établir d’aprés les considérations suivantes.
Soient
o rangée de déviation au temps t ;
~~~~Zli’’ le moments d’inertie du cadre;
le couple de torsion du fil de suspension;
11"’ l’intensité du champ rna~n~;ticiuc~; t
57 n S la s urface to tale du c adre ;
T la durée d’une oscillation simple du cadre à circuit ouvert;
R la résistance totale du cadre, y compris la résistance exté- rieure.
Nous supposerons que toutes ces grandeurs soient évaluées r11
unités absolues C. G. S.
On aura, pour l’équation différentielle du mouvement du cadre,
i étant l’intensité du courant qui circule dans le cadre, etc. ; A et k des constantes que nous allons déterminer. °
A est le coefficient des termes qui varient proportionnellement
à la vitesse, tels que la résistance de l’air, la réaction due au cou- rant d’induction, etc.
~.~ est l’action du courant = 1 sur le cadre mobile.
Il est facile de voir qu’on a
En effe t, le travail, pour un petit t déplacemen t dO du cadre ( fcg. 2 ), a pour expression
c~~ étant la variation du faux de force. D’autre part, ce même tra-
vail est égal à . - . --
On a donc d’oùou
Pour n spires il faut, nmltiplier par n.
Donc
Cherchons maintenant la valeur du coefficient A. Ce coefcicient
provient de l’influence de l’air, de l’induction du champ magné- tique sur le cadre et de l’amortissement du à la raideur du fil de
suspension.
On peut se convaincre facilement que le seul terme importante t
58
est du à l’ind.uction, car à circuit ouvert, où il n’y a pas d’induc-
tion, le mouvement est presque rigoureusement périodique (’ ).
Lorsqu’on donne au cadre un petit déplacement angulaire d9,
il circule par l’induction, dans ce cadre, une quantité d’électricité
c~~, donnée par l’expression
car l’intensité F du champ magnétique est supposée constante.
Fig.2.
L’intensité de ce courant est donnée par l’équation
Mais nous avons vu que l’intensité i donne lieu à un couple iFS n, ce qui donne dans no tre cas
c’est le terme qui intervient dans l’équation différentielle. Il s’en- suit
L’éqmatiom différentielle du mouvement devient donc
Nous allons voir qu’il est possible de déterminer la valeur de
(’ ) Nous donnerons ailleurs quelques valeurs numériques, ce qui montrera que
ce terme est négligeable en dehors de l’effet de l’induction.
59
toutes les constantes qui interviennent dans cette formule : on
peut donc la soumettre à des vérifications expérimentales.
Pour tenir compte de l’induction du cadre sur lui-même, il faut
annuler le second terme de l’équation précédente et déterminer t
par l’équation -- --
si E est la force électromotrice et L le coefficient de self-induction du cadre.
Or on a
On a donc à résoudre le système d’équations différentielle s 1 m ait an ë es
L’élimination de 1 entre ces équations conduit à une équation
linéaire du troisième degré.
Comme la valeur numérique du coefficient L est très petite, on
peut, comme première approximation, négliger ce terme.
Nous avons donc à considérer l’équation
dans laquPllc
Cette équation a ceci de particulier, que la réalité des racines
dépend de la valeur de la résistance totale R; on peut, à volonté,
en faisant varier la résistance extérieure, rendre les racines de
l’équation caractéristique imaginaires ou réelles.
Occupons-mons d’abord du cas oû les racines sont imaginaires.
On trouve, pour la déviation constante, l’expression
’
60
En ou tre, conmm e, à cadre ouvert on a
.
livrent
Il est à remarquer que cette expression ne dépend pas du coef- ficient de dO ; elle est indépendante de la résistance totale du cir-
dt
cuit et de l’amortissement.
Pour chercher l’impulsion 0 correspondant à une quantité d’é-
lectricité ~, on aura à résoudre l’équation différentielle sans
second membre, avec les conditions initiales
et
Dans ces conditions, en supposant cc = o, on u
En éliminant il vient
Dans le cas général, le coefficients du second terme de l’éc~uation
différentielle n’est pas nul, et l’on a
T est la durée d’une oscillation simple, et on a la relation
Lorsque les racines de l’équation caractéristique sont réelles,
on a
61
ou bien
ou
avec a > b.
L’intensité est toujours reliée à la déviation permanente par 1É~
formule
puisque cette relation est indépendante du coefficients cz et par
conséquent de l’amortissement.
Il en est tout autrement pour ce qui concerne le passage d’une
quantité d’électricité : ici les formules deviennent compliquées. Il
faut résoudre l’éc~uation différentielle sans second membre et avec
les données initiales
et
On trouve ainsi
Les équations précédentes contiennent la solution du problème
cherché. Ces équations, compliquées comme on le voit, con-
tiennent la résistance totale R, qui entre dans a et par suite dans rf et r2, mais ces relations ne ressortent pas au premier abord.
Il faut déterminer
T, a
et £mi>2 pour pouvoir calculer la so-lution complète; le terme FS jz s’élimine.
On a, en effet,
62
d’oit
()n voit que, tant qiie R reste invariable, ~ est proportionnel à
q (S étant toujours petit) : il suffit donc de connaître ce facteur de
proportionnalité pour chaque valeur de R, si l’on veut avoir la so-
lution complète du problème qui nous occupe.
Nous allons traiter maintenant le cas où les racines de l’équation caractéristique sont égales. Ce cas est particulièrement intéressant pour les applications, car on trouve des solutions très simples et
des calculs faciles à effectuer. La valeur de la résistance totale
qui correspond à ce cas limite se trouve d’après la relation
Dans ce cas on a à résoudre l’éqtiation diflérentielle avec la con-
dition a = b.
On trouve ainsi
T1 !~I -
Comme on a d’ailleurs
il s’eiisuit
ou
Cette dernière expression est très remarquable nous l’em- ploierons bientôt pour la détermination du coefficient de self-in- duction.
Vérifications expérimentales des ~’o~~t~2tcCes précédentes. -
Nous avons employé à cet effets deux galvanomètres Deprez-d’ A.r-
sonval de différentes modèles. L’un de ces galvanomètres était con-
struit avec des électro-aimants. Ce dernier galvanomètre, à la con-
struction duquel M. Carpentier a apporté une extrême obligeance, permet de vérifier les formules dans une étendue bien plus vaste.
1
63
car on peu t faire varier à volonté l’intensité du champ magné- tique.
Les quantités qui interviennent dans les formules précédentes
son t :
il, La durée d’une oscillation simple.
Cette durée se détermine avec une grande exactitude. Avec un
compteur à pointage, on compte cinquante oscillations. Les
expériences montren t que le résultat est exact à une fraction de seconde près, et que l’erreur relative ne dépasse pas un centième.
Il faudrait avoir égard à l’amortissemen t, car la durée T qui in ter-
vient dans les formules se rapporte au cas où il n’y a pas d’amor- tissement.
Ce qu’on observer, en réalité, à cadre ouvert, est la durée T’ lors-
qu’il a un faible amortissement dû à la résistance de l’air. Si ~, est
le décrément logarithmique, on a la relation
Dans une série d’expériences, on a trouvé que, pour dix oscilla-
tîons, l’élongation diminue de 8,4 à 6,6, ce qui donne, pour le dé- crément logarithmique,
On voit donc que cette correction n’a aucune influence sensible
sur la valeur de T, et il est inutile de s’en occuper.
2° La deuxième constante qu’il faut déterminer est la constante
du galvanomètre,
f. i
Cette détermination se fait à la manière or-dinaire avec une grande approximation; il suffit de disposer d’une
bonne boîte de résistances et d’une pile dont on connaît bien la force électromotrices. A cet effet, nous avons pris un élément Daniell, dont la force électromotrice avait été déterminée directe-
inenu par comparaison à un élémen t Latimer-Clark. Il faut, pour avoir oc en mesure circulaire, diviser la déviation obtenue par le double de la distance de l’éclzelle au miroir mobile. Pour les gal-
vanomètres que nous avons employés, cette constante était d’en-
64
viron 2mm pour un micro-ampère, y l’échelle étant placée à une di-
stance de 9-/to’-.
On a, dans ces conditions,
3° Le moment d’inertie du cadre mobile. C’est l’élément dont la détermination ofl’re le plus de difficulté. La méthode que’nous
avons en1ployée est la méthode de Gauss. Elle consiste à ajouter
au corps dont on cherche le moment d’inertie d’autres solides dont le moment d’inertie soit bien connu.
Nous avons choisi des anneaux cylindriques, parce que ce sont les corps dont le moment d’inertie, à poids égal, est maximum.
Nous avons d’ailleurs vérifié directement, par l’expérience, que le
moment du couple de torsion est indépendant du poids suspendu
au cadre, conformément à la loi de Coulomh.
Voici les nombr es qu’on a trouvés pour le galvanomètre Deprez- d’Arsonval, à aimants d’acier,’galvanomètre dont la résistance était de 2.22ohms,02 à 16°..
’
Pour déterminer la durée d’une oscillation simple, on a observé plusieurs séries concordantes ; la moyenne a fourni le nombre T .- os, 385 avec une erreur relative ne dépassant pas i pour i oo.
On a trouvé d’ailleurs que, pour de grandes amplitudes, la
durée est un peu plus longue que pour des amplitudes très petites.
Ainsi, pour de grandes amplitudes, on a trouvé o~,388 et pour de
petites OS ,382.
La constante du galvanomètre a été trouvée i~~,~3 pour un
courant d’une intensité d’un micro-ampère, l’échelle étant placée
à g4omm..
Pour déterminer le moment d’inertie, on a fait osciller le cadre
avec quatz e anneaux additionnels.
Les valeurs trouvées pour le moment d’inertie du cadre ne sont
pas tout à fait concordantes; cependant l’erreur relative de la moyenne ne dépasse guère 5fO’ Cette valeur moyenne est
C’est cette valeur que nous adopterons dans les calculs suivants.
65 En calculant, avec les valeurs ainsi trouvées, la valeur de R, d’après la formule
on trouve
Or, la résistance du galvanomètre est de 222 ohms, il reste donc, pour la résistance extérieure, I I ~ ohms. L’expérience a
montré qu’avec une résistance extérieure de 120 ohms, l’image dépassait légèrement le zéro, lorsqu’on avait écarté le cadre de sa position d’équilibre, tandis qL-~’avec une résistance de 110 olnis le galvanomètre était apériodique.
On peut donc adopter, pour la résistance qui correspond à l’égalité des racines, la valeur moyenne, soit 115 ohms,. C’est
exactement le même nombre que celui déduit du calcul, mais il
faut ajouter que cette concordance parfaite est un peu fortuite,
car nous l’avons déjà dit, il est difficile de déterminer R par l’ex-
périetlce avec une approximation supérieure de 5 à 10 olmns.
Voyons maintenant si les formules qui se rapportent aux dé-
charge~ se vérifient également. Il faut que le rapport des dé- viations correspondant aux cas oit le cadre est ouvert et fermé
sur la résistance R soit égal an nombre e, base des logarithmes népériens.
La décharge d’un condensateur, d’une capaci té de o"’~~I~üf~, ~, cliargé à un potentiel d’environ 50 volts, produit une déviation de 1 1 cm, 5 à circuit ouvert, c’est-à-dire en déchargeant le conden-
sateur directement à travers le galvanomètre sans faire intervenir
. aucune résistance auxiliaire.
l.a résistance d’isolement d’un condensateur étant toujours un
nombre très considérable, on peut pratiquement supposer que la résistance extérieure est infinie, c’est-à-dire que le circuit du cadre est ouvert; on sait que, dans ces conditions, le galvanomètre
est presque rigoureusement périodique.
Comme deuxième expérience, on a d’abord augmenté la capa- cité du condensateur; on a porté cette capacité de o’l’l~l~ty~ à
i microfarad, puis on a introduit une dérivation ou shunt dans le circuit du galvanomètre, de telle façon que la résistance totale du
66
circuit devient égale à R. Dans notre cas, il faut que la résistance du shunt soit de i 15 ohms.
Le condensateur étant chargé au même potentiel que dans le
premier cas, on a noté la déviation produite. Pour réduire la dé- viation à celle qu’on aurait obtenue sans shunt, il suffit de mul-
tiplier la déviation par le rapport
où /" est la résistance du shunt et g~ la résistance du galvanomètre.
Dans notre expériences, on avait
et
Le facteur de réduction est donc
En tenant compte de ce facteur, on trouve que l’impulsion,
sans shunt, aurait été de 1 1 cm, 4. Le rapport des déviations est
dl 1 .5
x ?’, 5
# ... atl lieu de C # 2, 72. L’aCCOrd li’est pai donc2013~2013~2013 - 2y5a au lieu de e - 2,79-. L’accord n’est pas
très juste, comme on le voit; néanmoins, l’expérience semble être
d’accord avec la théorie.
Parmi les causes qui peuvent influer sur ce résultat, il y en
a une surtout que nous tenons à signaler : c’est l’inégalité du
rapport que l’on considère, inégalité provenant de l’introduction du shunt.
Le facteur de réduction est, comme nous venons de le voir,
,’ ~~
:>7ou 3 1 environ; puis le facteur e augmente le rapport de 2013? c’est-
~ ?7
à-dire que le rapport des impulsions devient finalement t
Il faut donc comparer deux nombres dont l’un est plus de huit t
f’ois plus grand que l’autre, ce qui est toujours une circonstance
désavantageuse.
67 Nous avons vu que l’erreur relative dans la détermination du
moment d’inertie est à peu près 5fO; multipliant cette valeur par 8, on a ~ environ pour l’erreur probable sur le rapport. Or, en
diminuant e = 2, 7~ de i, on trouve 2, 27, valeur bien inférieure
au nombre trouvé 2,52. L’erreur n’est que de /2 environ, ce qui
n’a rien qui doive nous surprendre dans les conditions de l’expé-
rience.
~alvanométre De~ne.~-d’Ansonvczl cc ~lectro-atn2ants. - Dans le but de vérifier sur une plus vaste étendue les formules exposées
Fig. 3.
plus haut, nous avons employé un galvanomètre apériodique
pourvu d’électro-aimants au lieu d’aimants d’acier. Le cadre mo- bile a les mêmes dimensions que dans les galvanomètres ordinaires ;
la forme des élecuro-aimants est la même que dans la machine dN-
68
namo-électriclue de Siemens. Les proportions aussi ont été con-
servées autant que possible.
Avec ce galvanomètre on a Favantage de pouvoir faire varier à volonté l’intensité du champ J11agnétique, ce qui permet de vé-
rifier les formules dans de meilleures conditions.
Voici quelques données sur la construction de ce galvanomètre :
Le cadre a 280 tours avec une résistance de I2~ olms. Les bo- bines des aimants inducteurs sont formées par du fil de 1 mm de diamètre. Chaque bobine a 6 couches et 248 tours, la résistance totale des inducteurs en tension étant 2°~""’, ~~.
lYlor~2ejz~ cl’ inertie du cadre rnobile. - La durée d’une oscil- lation simple est
On a fait osciller le cadre avec des anneaux en cuivre, et l’on a trouvée pour la valeur moyenne du moment, d’inertie,
L’écart entre la valeur moyenne et les valeurs extrêmes est
d’ envi ron ~-’« .
,~’e~2sLE~iltté. -- Nous avons détermine la constante pour les différentes valeurs de l’intensité du courant circulant dans les
élecuro-aimants; rëchelle étant posée à 9~)"’,C), nous avons trouvé
les valeurs suivantes :
1
On voit qu’à partir de deux ampères les électros commencent
à être saturés, car l’intensité du champ magnétique n’est plus proportionnelle au courant inducteur. Nous reviendrons sur ce point dans un autre Chapitre.
En calculant la résistance R, pour le cas ou les racines de- viennent égales, d’après la formule
