Syntaxe
D´edou
Octobre 2010
Constructions liantes
Exemples : Σi∈[1..1000]i2 {x ∈R|sinx2 ≤0}
R1 0 costdt x 7→x2+ 1
Ces constructions “lient” une variable muette.
Les arit´ es HO
Pour chaque argument d’une construction liante
l’arit´e dit le nombre de variables li´ees dans cet argument.
D´efinition
une arit´e (HO) est une suite finie (´eventuellement vide) d’entiers naturels.
Exemples
l’arit´e de Σ et deR
est (0,0,1), celle de 7→ est (1).
Signatures
D´efinition
une signature (HO) est une famille d’arit´es.
Exemple
Notre signature favorite est
LC := (abs: 1;app: 0,0).
La monade LC
Pour faire la syntaxe associ´ee `a la signature LC := (abs : 1;app: 0,0)
on d´efinit simultan´ement tous les ensemblesLC(X) comme des ensembles d’arbres par r´ecurrence sur la hauteur :
LCn+1(X) :=Xqqp≤nLCp(X)×LCn(X)qq <nLCn(X)×LCq(X)qLCn(X∗).
Exercice
Ca fait une monade.
Le cas g´ en´ eral
Pour faire la syntaxe associ´ee `a une signatureS := (O,a) quelconque, on fait pareil.
Exercice
Donner la formule de r´ecurrence pour S(X).
Le malaise
Cette construction est un peu compliqu´ee, avec des choix contestables (par exemple pour la d´efinition deX∗ ou deq).
On voudrait
une propri´et´e caract´eristique de cette construction.
On va faire comme pour les ensembles inductifs.
Repr´ esentations d’une arit´ e FO
D´efinition
Une repr´esentation de l’arit´e FOn dans la monade R est un morphisme de modules deRn versR.
Repr´ esentation d’une arit´ e HO
D´efinition
Une repr´esentation de l’arit´e (a1, ...,an) dans la monade R est un morphisme de modules
r :R(a1)× · · · ×R(an)→R.
Rappel : l’arit´e FOn est la suite constitu´ee den z´eros, et on a R(0) =R.
Exemple de repr´ esentation d’une arit´ e HO I
La collection des inclusionsLCp(X)×LCq(X)→LC1+max(p,q)(X) constitue une application
appX :LC(X)×LC(X)→LC(X).
Rien d’´etonnant, c’est une repr´esentation de l’arit´e FO : app:LC2→LC.
Exemple de repr´ esentation d’une arit´ e HO II
La collection des inclusionsLCn(X∗)→LCn+1(X) constitue une application
absX :LC(X)×LC(X)→LC(X).
C’est un morphisme de modules :abs:LC∗ →LC.
Repr´ esentations d’une signature
D´efinition
Une repr´esentation de la signature S := (I,a) dans R est la donn´ee, pour chaqsue i ∈I d’une repr´esentation de ai dansR.
Repr´ esentations d’une signature
D´efinition
Une repr´esentation de la signature S := (I,a) dans R est la donn´ee, pour chaqsue i ∈I d’une repr´esentation de ai dansR.
Exemple
On a donc vu une repr´esentation de la signature LC dans la monade LC.
On veut caract´eriser cette monade par le fait que cette repr´esentation est initiale, mais dans quelle cat´egorie ?
Morphismes de repr´ esentations d’une signature
D´efinition
Un morphisme de la repr´esentation r de la signature T dans la monadeR vers la repr´esentations de la mˆeme signatureT dans la monadeS est un morphisme de R versS compatible `a la
repr´esentation.
Exercice
C’est quoi cette compatibilit´e ?
La cat´ egorie des repr´ esentations d’une signature
Exercice
Ces morphismes forment une cat´egorie.
L’initialit´ e pour LC
Th´eor`eme
La monade LC est la repr´esentation initiale de la signatureLC. Plus g´en´eralement
Th´eor`eme
Toute signature HO admet une repr´esentation initiale.
