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1 Réponds par vrai ou faux puis justifie ta réponse :
a. Un triangle ne peut avoir qu'un seul angle obtus.
Vrai. S'il avait deux angles obtus, leur somme serait déjà supérieure à 180°, ce qui est impossible.
b. Il peut y avoir deux angles droits dans un triangle.
Faux. La somme de deux angles droits est égale à 180°, il ne reste donc rien pour le 3e angle.
c. Si les mesures des angles de deux triangles sont égales, les triangles sont superposables.
Faux. La mesure des angles ne dépend pas de la longueur des côtés. On peut donc avoir deux triangles ayant les mêmes mesures d'angles, mais des côtés dont la longueur est plus grande ou plus petite.
d. Un triangle équilatéral peut être rectangle.
Faux. Un triangle équilatéral a trois angles de 60°, donc aucun de 90°.
e. Un triangle rectangle peut être isocèle.
Vrai. Un triangle rectangle isocèle a un angle droit et deux angles de 45° chacun.
2 ABC étant un triangle isocèle dont l'un des angles mesure 80°, donne les mesures possibles des deux autres angles puis trace une figure pour chaque cas.
L'angle de 80° est soit l'angle au sommet principal, soit l'un des angles à la base.
a. Si l'angle au sommet mesure 80°, alors les angles à la base sont égaux à :
(180 - 80) / 2 = 100/2 = 50°
b. Si un angle à la base mesure 80°, l'autre angle à la base aussi et l'angle au sommet principal mesure 180 - 2x80 = 180 - 160 = 20°.
(Capture d'écran réalisée avec TracenPoche)
3 Cas complexes
Calcule, pour chaque triangle, la mesure manquante :
Dans le triangle MNO rectangle en N :
MON = 90 - 54 = 36°.
Dans le triangle POU rectangle en U :
POU = 90 - 36 = 54°
Dans le triangle SER isocèle en S :
SER=SRE=(180-110)/2
=70/2 = 35°.
Les angles SER et SEX sont complémentaires, donc SEX=90 - 35 = 55°
Les angles RSE et ESX sont supplémentaires, donc ESX=180-110=70°
Dans le triangle ESX on a :
SXE+ESX+SEX=180°
SXE = 180-ESX-SEX
SXE = 180-70-55 = 55°
Le triangle ABD est isocèle en A donc ses angles à la base sont égaux :
ADB=ABD=(180-28)/2
= 152/2 = 76°.
Les angles ADB et BDC sont supplémentaires donc BDC=180-76=104°
Le triangle BDC est isocèle en D, donc ses angles à la base sont égaux :
DCB=DBC=(180- 104)/2 = 76/2 = 38°
110°
? X
E R
S
O U M
P N
54°
?
A B
C D
28
°
?
30°60°
2 cm
4 cm 30°
60°
3 cm
6 cm
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4 Avec des bissectrices
Calcule, pour chaque triangle, la ou les mesures manquantes :
Dans le triangle FRT on a
FRT=180−RFT−RTF
FRT=180-48-81 = 51°
D'après le codage on a aussi :
FRT=TRP=51°.
Les angles RTFet RTPsont supplémentaires, donc
RTP=180−RTF=180-81=99°.
Dans le triangle PRT on a donc
TPR=180−TRP−RTP
TPR=180-51-99 = 30°.
Le triangle LNE est équilatéral donc LNE=NEL=ELN=60° D'après le codage on a aussi :
LNE=ONE=60°
Dans le triangle NOE rectangle en O, on a donc :
NEO=90−ONE=90-60=30°
Le triangle COX est un triangle équilatéral donc ses 3 angles mesurent 60°.
(NO) est la bissectrice de l'angle COX, donc CON=30°
Dans le triangle NOC on a :
CNO=180- CON - OCN
CNO = 180 – 30 – 60 = 90°.
Les angles CNO et ONX sont supplémentaires donc
ONX=90°.
La droite (XM) est la bissectrice de l'angle CXO donc CXM=30°.
Dans le triangle KNX, on a :
NKX = 180 – KNX - NXK
NKX = 180 – 90 – 30 = 60°.
5 Dans des polygones a. Dans un quadrilatère :
Le quadrilatère ACBD peut être considéré comme la juxtaposition des deux triangles ABC et ADC.
On peut alors écrire :
ABCBCACAB=180° et
ADCDCACAD=180°
Faisons la somme des angles du quadrilatère ABCD :
ABCBCDCDADAB
=ABCBCAACDCDADACCAB
=ABCBCACABACDCDADAC
= 180 + 180 = 360°
b. Dans un pentagone :
Si on trace les diagonales [NQ] et [MQ] par exemple, on peut considérer que le pentagone MNPRQ est une juxtaposition des trois triangles MNQ, NPQ et MRQ.
Avec le même raisonnement qu'au a., on aboutirait à :
MNPNPQPQRQRMRMN
=3 x 180 = 540°
6 Points alignés ?
On considère la figure suivante :
a. Quelle est la nature des triangles ECF et ADE ? Le triangle ECF est isocèle en C car CE = CF;
Le triangle ADE est isocèle en D car DA = DE.
b. Calcule les angles aux sommets principaux de ces deux triangles.
ADE
=ADC− CDE = 90 – 60 = 30°
De même
ECB
=DCB
−DCE = 90 – 60 = 30°
d'où
ECF
=ECB
BCF = 30 + 60 = 90°
c. Calcule alors les mesures des angles AED et
CEF .
Le triangle AED est isocèle en D donc
DAE= DEA = (180 –
ADE )/2 =
180−302
= 75°
Le triangle ECF est isocèle en C donc
CEF
=CFE = (180 –
ECF )/2 =
180−902
= 45°
d. Déduis-en que les points A, E, F sont alignés.
Calculons la mesure de l'angle
AEF :
AEF= AED DEC CEF = 75 + 60 + 45 = 180°
Donc les points A, E et D sont bien alignés.
L
N O
E
?
X C
O 60°
K N
M
? ? 48
°
81°
F T P
R
?
A B
D C
E
F
A
B
C D
N P
Q R
M
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7 Angles et équations
Dans chaque cas, a est la mesure d'un angle en degré. Calcule la valeur de a.
Le triangle RST est isocèle en R car RS = RT.
Donc ses angles à la base ont la même mesure :
RST=RTS = a + 15 On aura ainsi :
RSTRTSSRT = 180°
a + 15 + a + 15 +a = 180 3a+30 = 180
3a = 180 – 30 3a = 150 a = 150
3 = 50°
MNZNZMZMN=180°
a+2a+69 = 180 3a + 69 = 180 3a = 180 – 69 3a = 111 a = 111
3 = 37°