Une série lacunaire trigonométrique
Pierre Lissy June 11, 2010
Théorème 1. On suppose qu'on a une suite d'entiers lacunaire (il existe unq >0 tel que λn+1>
qλn et on considère une série trigonométrique de la forme P
bneiλnt avec les bn dansl1, ce qui assure la CVN de la suite. Pour qu'elle soit dérivable en un certain t0, il est nécessaire qu'elle vérie l'éauqtion asymptotiquebn=o(λ−1n ). Notamment la suitef(t) =P∞
1 eiλn/λn est continue non dérivable.
Lemme 1. On poseµn=min(λn+1−λn, λn−λn−1). Si 0<|k|< µn alors cλn−k(f) = 0. Proof. C'est quasiment évident: le spectre defest exactement lesλnet on ne peut avoirλn−k=λl car ceci implique nécessairement que l'on doit prendre l =n−1, n, n+ 1 et aucun des trois cas n'est possible cark est trop petit.
Lemme 2. On pose Jp(t) le noyau de Jackson. Il vaut par dénition Jn := 1/||KN2||1KN2 = 1/||KN||2sin(N x/2)4/(sin(x/2)4N2). Alors on vérie très facilement que JN est un polynôme trigonométrique de degré compris entre 2N et 2N (car KN est lui de degré au plus N), mais surtout que Jp vérie la relation très importante suivante :Rπ
−π|t|kJN(t)dt = O(N−k) pour tout réelk <3.
Proof. On utilise la fameuse inégalité de convexité du sinus sin(x) 6 2/πx pour 0 6 x6 π/2. On a alors ||KN2||1 = 1/(πN2)Rπ
0 sin(N t/2)4/sin(t/2)4 = 2/(πN2)Rπ/2
0 sin(N t)4/sin(t)4dt >
2/πN2Rπ/2
0 sin(N t)4/t4= 2/πNRN π/2
0 (sin(u)/u)4dt6CN. Du coup Z π
−π
|t|kJN(t)dt=L(N−3 Z π
0
tk(sin(N t)/t)4dt=O(N−k Z N π/2
0
sin(u)4/u4−kdu .=O(N−kR∞
0 (sin(u)4)/u4−kdu)et le tour est joué!
On conclut de la manière suivante. On remarque que si on considère un entierp < µn/2 on a 1/2π
Z π
−π
f(t)Jp(t)e−iλntdt=cn(f) + X
0<|k|62p
αk/2π Z π
−π
f(t)eikt−iλntdt=cλn(f)
+P
0<|k|62pαkcλn−k(f) = cλn(f) = bn. Posons p = 1−1/q. On a alors λn+1 −λn 6 (q− 1)λn > pλn et λn −λn−1 > λn−λn/q > pλn. Donc µn > pλn. Soit N un entier tel que n> N ⇒pn := E(µn/2)−1 > 1. On a pn < µn/2 et donc bn = 1/2πRπ
−πf(t)Jpn(t)e−iλntdt. Commençons par traiter le cas t0 = 0, avec f(t0) = f0(t0) = 0. Il existe un δ tel que |t| 6 δ implique que|f(t)|6ε|t|. On a alors que |bn|6R
|t|6δε|t|Jpn(t)de+ 1/2πR
δ<|t|<pi|f(t)Jpn(t)dt6 M/(pn)ε+ 1/2πR
δ6|t|6πt2/δ2||f||∞Jpn(t)dt/2π6C(ε/pn+||f||∞/(δ2p2n)). Finalementpn|bn|6 mε+M||f||∞/δ2pn et donc en passant à la limite sup de chaque côté on alimsup(pn|bn|)6M ε et ceci pour toutε, la quantité considérée étant positive on a quepn|bn| →0. Mais on a que pn
est équivalent àµn/2et λn=O(µn)d'où nalement|bn|=o(1/λn).
On repasse très facilement au cas général en posant g(t) = f(t+t0)−f(t0) +f0(t0)/iλ1− f0(t0)ßλ1eiλ1t.On vérie très facilement quegest continue dérivable en0avecg(0) =g0(0) = 0et on obtient quebneiλnt0 =o(1/λn, ce qui donne bien ce que l'on veut.
On conclut e nremarquant que la condition de lacunarité nous donne queqn =O(λn)et donc que1/λn =O(q−n avecq >1 donc la série des1/λn est absolument CV ce qui donne un sens à Peiλnt/λn qui est continue et nulle part dérivable.
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