D368– Distances à la queue leu-leu [*** à la main]
Montrer qu’il existe un ensemble de points dans l’espace à trois dimensions tels que les carrés de toutes distances qui séparent les points pris deux à deux permettent d’obtenir exclusivement au moins une fois les valeurs entières de 1 à 10.
Solution proposée par Jean Nicot
Comme 7 n’est pas la somme de 1, 2 ou 3 carrés, il y a au moins un point F avec une coordonnée non entière
On peut supposer que le segment ayant cette coordonnée est orienté suivant l’axe zz’. Tous les autres points sont alors dans le plan xOy car il ne peut y avoir un autre segment parallèle à BF et de longueur non multiple de BF.
Comme 3=1+1+1, il aurait une partie suivant zz’ Alors il faut 3= ² ou bien 3 = ² +1
La première possibilité doit être écartée car 6=2²+1+1 ou 6 = est interdit ou impossible, donc 6= ² +2²
On utilisera le segment BF= (en rouge) parallèle à l’axe des z. Les 5 autres points se placent facilement.
BF= Δij²= (xi-xj)²+(yi-yj)²+(zi-zj)² avec i=A,…,E et j=B,…,F
x
y
z B C D E F
0 0 0 A 1 9 10 5 3 A
1 0 0 B 4 5 4 2 B
3 0 0 C 1 8 6 C
3 -1 0 D 5 7 D
1 -2 0 E 6 E
1 0 1,41421 F
Remarque
Remarque : En ajoutant les points G {1 0 2 } et H {0 0 } on obtient les valeurs de 1 à 13, ce qui est le maximum car la valeur 14 ne peut être obtenue, parce que ni 14, ni 14-2, ni 14-8 ne sont somme de deux carrés.
