I126. Chaîne brisée
On choisit au hasard dans le plan 2016 segments de longueur 1. Montrer que l’on peut toujours les translater et les mettre bout à bout de sorte que la distance entre les deux extrémités de la chaîne brisée soit au plus égale à 𝜋
⁄ = 1,5707963 … 2
Solution
Proposée par Fabien GIGANTE
Montrons la propriété plus générale suivante.
Soient 𝑛 segments de longueur ≤ 1. On peut toujours les translater et les mettre bout à bout de sorte que la distance entre les deux extrémités de la chaîne brisée soit au plus égale à √2 = 1,4142 …
La propriété est vraie au rang 1 : la chaîne est réduite à un segment dont les extrémités sont distantes de la longueur du segment ≤ 1. La propriété est également vraie au rang 2 : la chaîne est composée de 2 segments [–,–], qu’on peut mettre bout à bout de sorte qu’ils forment un angle non-orienté ≤ 90° ; les deux extrémités de la chaîne sont alors distantes d’au plus √2.
Supposons la propriété vraie pour 𝑛 ≥ 2. Considérons 𝑛 + 1 segments, et choisissons arbitrairement 3 d’entre eux [–,–,–]. Il existe nécessairement deux [–,–] parmi ces trois segments qui forment entre eux un angle non-orienté ≤ 60°. Mis bout à bout, ils constituent une sous-chaîne dont les extrémités sont distantes d’une longueur ≤ 1 [–].
On remplace ces deux segments [–,–] par le segment [–] qui joint les extrémités de cette sous-chaîne.
L’hypothèse de récurrence au rang 𝑛 nous donne l’existence d’une chaîne qui convient. On substitue y le segment [–] par la sous-chaîne initiale [–,–]. La chaîne finale obtenue vérifie la propriété au rang 𝑛 + 1.
On conclut que la propriété est vraie pour tout 𝑛, ce qu’il fallait démontrer.
≤ 1 ≤ 1
≤ 1
≤ 1
≤ 90°
≤ 2
≤ 60°
≤ 60°
≤ 1
≤ 1
≤ 1
≤ 2
≤ 2
