I151 – Le périple de Zig
Zig et Puce sont en deux points Z et P à l’intérieur d’un champ (bords et sommets exclus) qui a la forme d’un triangle équilatéral ABC de 350 mètres de côté. Zig décide de faire un trajet qui le mène respectivement sur les bords BC, CA et AB du champ (sommets A, B et C exclus) puis il va à la rencontre de Puce avant de revenir à son point de départ. A l’issue de son périple qui est le plus court possible, la distance qu’il a parcourue est de 1275 mètres.
Localiser les points Z et P dans le champ avec une approximation inférieure à un mètre sur chacune des positions de Z et de P.
Solution proposée par Patrick Gordon
Si le périple de Zig est le plus court possible, c'est qu'il suit le "trajet de la lumière" (angle de réflexion = angle d'incidence) jusqu'à Puce, puis la ligne droite pour revenir à son point de départ. On peut donc tracer un trajet rectiligne AQR'S'P' de même longueur que son périple AQRSP jusqu'à Puce par un jeu habile de symétries. La figure ci-après est tracée en anticipant sur le résultat (Puce est en C à moins d'un mètre près)
Or ce trajet rectiligne est intérieur à la figure formée par 4 triangles équilatéraux juxtaposés tête bêche comme ci-dessus, qui n'est autre qu'un parallélogramme d'angles 60° et 120° et de côtés 350 et 700 mètres. Le trajet jusqu'à Puce ne peut donc excéder la grande diagonale, dont on calcule aisément qu'elle vaut 350 √7 = 926,01 mètres.
Si Zig a parcouru 1.275 mètres au plus court, c'est qu'il lui est resté 1.275 – 926,01 = 348,99 mètres pour revenir à son point de départ. C'est, à à peine plus d'un mètre près, le côté du triangle. Avec une approximation de moins d'un mètre sur chaque point, on peut donc dire que Z est parti de A (puisqu'il commence par toucher BC) pour rejoindre Puce en C puis revenir en A le long de CA.
En résumé donc :
Z est en A et P en C à moins d'un mètre près sur chacune des positions.
