Enoncé G260 (Diophante) Comptes d’apothicaire
Je décide de verser quotidiennement sur une période de k = 33 jours la même somme s euros à trois de mes petits-enfants. Les montants versés chaque jour au benjamin, au cadet et à l’ainé sont respectivement des variables entières x, y et z respectant les deux conditions 1 ≤x ≤ y ≤z et x+y+z=s.
Q1 Déterminer l’expression qui donne le nombreN(s) de façons de répartir s. Sachant queN(s) =k= 33, calculerset les sommes reçues par chaque enfant à l’issue des deux semaines.
Q2 L’aîné et le cadet me font remarquer a posteriori qu’il existe une somme quotidienne s0 et une durée de versement k0 aboutissant à la distribution de la même somme globale S = ks= k0s0 telles que les montants versés à chacun d’eux soient différents, c’est à dire 1≤x < y < z, et le nombre N0(s0) de façons de répartirs0 soit égal àk0. Calculerk0 ets0 et expliquer pourquoi le benjamin, qui sait aussi bien calculer que ses deux frères, ne s’est pas joint à eux pour faire la remarque.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Je noteN(s),X(s),Y(s),Z(s) les sommes attribuées aux 3 enfants comme somme des montants x, y, z selon la condition 1≤x≤y≤z.
A x donné, le nombre des répartitions est le nombre des solutions de (y−x) + (z−x) =s−3x avec y−x≤z−x, soit 1 +b(s−3x)/2c.
s 6m 6m+ 1 6m+ 2 6m+ 3 6m+ 4 6m+ 5
N(s) 3m2 3m2+m 3m2+ 2m 3m2+ 3m+ 1 3m2+ 4m+ 1 3m2+ 5m+ 2 2X(s) 4m3+ 3m2+m 4m3+ 5m2+m 4m3+ 7m2+ 3m 4m3+ 9m2+ 7m+ 2 4m3+ 11m2+ 9m+ 2 4m3+ 13m2+ 13m+ 4 2Y(s) 10m3 10m3+ 5m2+m 10m3+ 10m2+ 2m 10m3+ 15m2+ 9m+ 2 10m3+ 20m2+ 12m+ 2 10m3+ 25m2+ 15 2Z(s) 22m3−3m2−m 22m3+ 8m2 22m3+ 19m2+ 3m 22m3+ 30m2+ 14m+ 2 22m3+ 41m2+ 23m+ 4 22m3+ 52m2+ 40m+ 10 sN(s) 18m3 18m3+ 9m2+m 18m3+ 18m2+ 4m 18m3+ 27m2+ 15m+ 3 18m3+ 36m2+ 22m+ 4 18m3+ 45m2+ 37m+ 10 (s+ 2)N(s−1) 18m3−2m 18m3+ 9m2 18m3+ 18m2+ 4m 18m3+ 27m2+ 10m 18m3+ 36m2+ 24m+ 6 18m3+ 45m2+ 34m+ 7
On obtientN(s) et X(s) en sommant ce nombre d’une part, son produit parx d’autre part, pour 1≤x≤s/3.
De même, àzdonné, le nombre des répartitions est le nombre des solutions de (z−x) + (z−y) = 3z−savec 3z−s≥z−x≥z−y= 3s+x−2z, soit b(s−z)/2c −max(0, s−2z−1). On obtient N(s) etZ(s) en sommant ce nombre d’une part, son produit parzd’autre part, pours/3≤z≤s−2.
PuisY(s) =sN(s)−X(s)−Z(s).
Selon le reste desmodulo 6, on obtient les valeurs du tableau ci-dessous.
J’observe ques2−12N(s)∈ {−3,0,1,4}. Ainsisest l’entier le plus voisin de p12N(s), soits = 20 pour N(s) = 33. Les 20×33 = 660 euros sont répartis enX(20) = 90, Y(20) = 183, etZ(20) = 387.
Question 2
Chacun des k0 jours d’une distribution de s0 euros selon la condition 1≤ x < y < z, tout se passe comme si l’aîné recevait 2 euros, le cadet 1 euro, puis les 3 enfants reçoivent des compléments x, y−1, z−2 avec les conditions 1≤x ≤y−1≤z−2 etx+ (y−1) + (z−2) = s0−3. Ainsi N0(s0) =k0 =N(s0−3), les 3 enfants recevant respectivementX(s0−3), Y(s0−3) +N(s0−3),Z(s0−3) + 2N(s0−3), les fonctions N, X, Y, Z étant celles du tableau.
CommeN(s) est voisin des2/12,sN(s) est voisin des3/12,s0k0 est voisin de (s0−2)3/12, ce qui conduit à envisagers0 =s+2 pour obtenirk0s0 =ks.
C’est le cas quands= 6m+2, comme le montre la ligne supplémentaire du tableau. Avec s0 = 22,k0 =N(19) = 30, et les enfants reçoivent X(19) = 78, 30 +Y(19) = 189 et 60 +Z(19) = 393. Le benjamin serait perdant de 12 euros partagés entre ses frères.
