G235. Permutations à la chaîne
1) Je dispose d'un jeu de 52 cartes numérotées de 1 à 52. Pour toute valeur de n plus grande que 2, je place les
cartes numérotées de 1 à n sur une même rangée de façon à rendre maximale la somme des écarts en valeur absolue entre deux numéros consécutifs. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles cette somme est un carré.
2) Avec les cartes numérotées de 1 à p (1 < p < 10) toujours placées sur une même rangée, je recense toutes les
permutations telles que les écarts en valeur absolue entre deux numéros consécutifs sont tous distincts entre eux.
Avec les cartes numérotées de 1 à q (1 < q < 10), je recense toutes les permutations telles que les écarts en valeur absolue entre le numéro de la carte et son rang dans l'alignement sont tous distincts entre eux. Le nombre de permutations est le même dans les deux cas. Que valent les entiers p et q ?
1.
On maximise la somme des écarts en maximisant les écarts. En partant du milieu, on pose la carte n qu’on encadre de 1 et 2, puis on met de chaque coté n-1 et n-2, puis encore 3 et 4 etc.
On va distinguer selon la parité du nombre de cartes :
• impair
rang 1 n-2 n-1 n n+1 n+2 2n+1
carte 5 2n-3 3 2n-1 1 2n+1 2 2n 4 2n-2 6
différence 2n-8 2n-6 2n-4 2n-2 2n 2n-1 2n-2 2n-4 2n-6 2n-8
Il ne reste plus qu’à sommer toutes les différences :
ܵଶାଵ= 2݊ + 2݊ − 1 + 2ሺ2݊ − 2 + 2݊ − 4 + ⋯ ሻ
ܵଶାଵ= 2ሺ2݊ + 2݊ − 2 + 2݊ − 4 + ⋯ ሻ − 1
ܵଶାଵ= 4ሺ݊ + ݊ − 1 + ݊ − 2 + ⋯ ሻ − 1 = 4൫݊. ݊ − ሺ1 + 2+. . +݊ − 1ሻ൯
ܵଶାଵ= 4 ቆ݊ଶ−݊ሺ݊ − 1ሻ 2 ቇ − 1
ܵଶାଵ= 2݊ଶ+ 2݊ − 1
• pair
rang 1 n-2 n-1 n n+1 n+2 2n
carte 5 2n-3 3 2n-1 1 2n 2 2n-2 4 2n-4
différence 2n-8 2n-6 2n-4 2n-2 2n-1 2n-2 2n-4 2n-6 2n-8
En considérant les deux dernières lignes des tableaux précédents, on voit immédiatement que :
ܵଶ= ܵଶାଵ− 2݊
ܵଶ= 2݊ଶ− 1 Il ne reste plus qu’à calculer les ܵ pour trouver celles qui sont un carré.
݊ ܵ
2 1
10 49
58 1 681
338 57 121 1 970 1 940 449 11 482 65 918 161
Avec un jeu de 52 cartes, et en excluant n = 2, c’est avec 10 cartes que la somme maxima des écarts est un carré.
2.
Avec la calculatrice, on obtient les valeurs suivantes :
p Nb de permutations
2 2
3 4
4 4
5 8
6 24
7 32
8 40
9 120
10 296
11 648
12 1328
13 3200
14 9912
q Nb de permutations
2 0
3 0
4 4
5 4
6 0
7 0
8 32
9 96
10 0
11 0
12 992
13 2512
14 0
Les nombres de permutations égales sont 4 ou 32, d’où les 5 solutions suivantes
nb de permutations = 4 nb de permutations = 32 p = 3, q = 4
p = 7, q = 8 p = 3, q = 5
p = 4, q = 4 p = 4, q = 5
