Problème proposé par Jean Moreau de Saint-Martin
Dans un triangle non isocèle, la hauteur, la bissectrice intérieure et la médiane issues d’un même sommet se classent dans cet ordre par longueur croissante.
Q₁ Existe-t-il un triangle dont la plus courte médiane est plus longue que la plus longue bissectrice ? Q₂ Existe-t-il un triangle dont la plus courte médiane est plus longue que la plus longue hauteur ? Q₃ Existe-t-il un triangle dont la plus courte bissectrice est plus longue que la plus longue hauteur?
Pour les plus courageux: dans chacune des trois questions, si le triangle existe, construire un triangle dont les côtés ont des longueurs entières.
Soient a, b, c les longueurs des cotés BC, CA, AB ; mA, mB, mC, tA, tB, tC, hA, hB, hC les longueurs respectives des médianes bissectrices et hauteurs issues de A, B, C.
Or, 4mA2=2b2+2c2-a2 ; tA2=bc(1-a2/(b+c)2) ; 4hA2=((c+b)2-a2)(a2-(c-b)2)/a2 Supposons a<b<c, alors hC<hB<hA, mC<mB<mA, tC<tB<tA
Q1 :si tA<mC : 4bc(1-a2/(b+c)2)<2a2+2b2-c2 : donc (b+c)2(c2+4bc-2b2-2a2)<4a2bc, ce qui est impossible puisque 4bc-2b2-2a2>0, (b+c)2>4b2 , et b2c2>a2bc
Q2 : si hA<mC, ((c+b)2-a2)(a2-(c-b)2)<a2(2a2+2b2-c2), soit 3a4-3a2c2+(c2-b2)2>0 Il existe des triangles qui satisfont à cette relation, par exemple, en nombres entiers a=16, b=64, c=79.
Relevons au passage que 3a2<(c2-b2)2/(c2-a2)<c2-b2 .
Q3 : si hA<tC, comme tC<mC, les conditions de Q2 s’appliquent (donc 3a2<c2-b2) et ((c+b)2-a2)(a2-(c-b)2)<4a3b(1-c2/(a+b)2). Or c2/(a+b)2<(c-b)2/a2, donc
4a3b(1-c2/(a+b)2)<4ab(a2-(c-b)2).
Mais (c+b)2-a2>(c+b)2-(c2-b2)/3=2c2/3+4b2/3+2bc>4ab. C’est donc impossible.
