H114 - Le mot le plus court
Solution
Les solutions correspondent à des chemins hamiltoniens (c’est à dire chemins fermés d’un graphe qui passent une fois et une seule par chacun des sommets du graphe) réalisés dans un graphe orienté à 16 sommets obtenu en affectant à chacun d’eux l’une des 16 écritures
possibles du type aaaa, aaab, aaba,…. La connexion d’un sommet à un autre se fait si les trois dernières lettres du 1er sommet sont identiques aux trois premières lettres du 2ème sommet.
Il y a plusieurs chemins symétriques obtenus par permutation circulaire ou par inversion des lettres a et b ou par changement du sens d’orientation.
Quatre cycles distincts de 16 lettres chacun peuvent être identifiés : a a a a b a a b b a b a b b b b
a a a a b a a b b b b a b a b b a a a a b a b b a a b b b b a b a a a a b a b b a b a a b b b b
On en déduit les mots de 19 lettres obtenus par adjonction à la fin de chacun de ces 4 cycles des trois premières lettres aaa . Tous les « mots » de 4 lettres sont lus de gauche à droite : a a a a b a a b b a b a b b b b a a a
a a a a b a a b b b b a b a b b a a a a a a a b a b b a a b b b b a b a a a a a a a b a b b a b a a b b b b a a a Exemple sous forme de graphe:
