G278 - Comme des poupées russes [*** à la main]
Il y a sur la table n boites identiques. Certaines d’entre elles contiennent chacune n boites identiques de plus petite taille. Certaines de ces dernières contiennent chacune n boites identiques de taille encore plus réduite et ainsi de suite avec certaines boites qui contiennent chacune n boites de taille toujours plus réduite. Il y a sept tailles différentes de boites et au total 2014 boites toutes tailles confondues.Sachant que le nombre de boites qui contiennent au moins une boite est un nombre premier, trouver n.
Solution proposée par Vincent Audoly On note 1,2,3,4,5,6,7 la taille des boites.
On note a,b,c,d,e et f le nombre de boites de chaque taille qui contiennent n boites.
Par exemple:si a=2 il y a 2 boites de taille 1 qui contiennent n boites de taille 2.
Remarque: Les boites de taille 7 ne contiennent pas de boites de plus petites tailles.
Il y a en tout 2014 boites.
Le nombre de boites s’écrit sous la forme n+an+bn+cn+dn+en+fn avec n le nombre de boites identiques et a,b,c,d,e,f le nombre de boites de chaque taille qui contiennent n boites.
On pose: n+an+bn+cn+dn+en+fn=2014 ce qui nous donne n(1+a+b+c+d+e+f)=2014
Or par hypothèse a+b+c+d+e+f est un nombre premier vu que le nombre de boites qui contiennent d’autres boites est un nombre premier.
On a donc n(1+un nombre premier)= 2014
En cherchant (j’ai écrit la liste des nombres premiers,j’ai trouvé n=53 et le nombre de boites contenant d’autres boites étant 37 avec la relation 53(37+1)=2014
