G10074. Mariez-les Ce jeu se joue avec

G10074. Mariez-les

Ce jeu se joue avec n familles de 2 cartes, à q joueurs. Si l’on distribuem cartes à un joueur, quelle est la probabilité qu’il ait déjà une ou plusieurs familles ? Quelle est l’espérance du nombre de ces familles, par exemple si n= 15, q= 3, m= 10 ?

Solution

Pour former exactement c couples dans une “main” de m cartes, il faut choisir cesccouples (parmin), lesm−2ccouples (parmin−c) n’ayant qu’un représentant dans cette main, puis ces m−2c représentants (2 possibilités pour chaque couple) ; soit

N(n, m, c) =C_n^cC_n−c^m−2c2^m−2c possibilités parmi C_2n^m mains possibles.

On peut tirer de cette expression l’espérance du nombre de couples, mais il est plus simple d’observer que chaque paire de cartes apporte une espérance égale à la probabilité 1/(2n−1) d’être un couple, et lesmcartes de la main fournissent C_m² paires. D’où l’espérance C_m²/(2n−1), qui vaut 45/29 dans l’exemple de l’énoncé.