Image de l'exponentielle réelle ou complexe. (Gourdon et Beck page 214-216)

Image de l'exponentielle réelle ou complexe. (Gourdon et Beck page 214-216)

Pierre Lissy May 6, 2010

Commençons par l'image de l'exponentielle complexe.

Théorème 1. exp(M_n(C)) =GL_n(C)

Proof. Dans un sens c'est connu. Soit maintenant A une matrice inversible. On chercheB telle queexp(B) =A. On commence en utilisant le lemme des noyaux + C-H par rendreA semblable à des la matrice M des blocs diagonaux Ai, où Ai = λId+N⁰ avec N⁰ triangulaire supérieure (A = P M P⁻¹). On écrit même d'ailleurs plutôt vu que λ est non nul, Ai = λ(Is_i +Ni) avec Ni triangulaire supérieure. Pour résoudre notre problème, il sut donc de trouver Vi tel que exp(Vi) = Is_i +Ni. On aura alors plus qu'à poser µi tel que e^µi = λi (ce qui est possible car l'exponentielle est surjective surC^∗), et prendreAi=µiVi avec leVi crée ci-dessus.

Par analogie avec la formule du développement en série entière de log(1 +x), on pose Vi = 1−Ni+N_i²/2 +. . .. CommeNiest nilpotent ca s'arrête au bout d'un certain rang, autrement dit V a bien un sens. Mais on sait d'après la théorie des séries formelles qu'en posant exp(X)la série formellePXⁿ/n! etlog(1 +X)la série formelleP

(−1)^k+1X^k/k, que l'on a Exp(log(1 +X)) = 1 +X. On peut ici substituer X à V_i dans le calcul, puisque dans ce cas V_i ne se réduit qu'à un polynôme, donc les problèmes de convergence sont inexistants, et du coup comme la composée exp(V_i)va s'écrire comme une certaines sommePa_kV^ket que les coecientsa_k ne dépendent pas deV_imais seulement des coecients des séries formeles ci-dessous, on a nécessairementexp(log(1+

V_i)) = V_i. Ainsi, o na trouvé le logarithme d'un unipotent de manière explicite, on s'en servira après. Ainsi, on a bien ce que l'on veut pour le blocAi:=µiVi. On pose V la matrice des blocs diagonauxVi. On aexp(V) =M, ieexp(V) =P⁻¹AP, ieA=P exp(V)P⁻¹=exp(P V P⁻¹). Théorème 2. L'image par l'exponentielle des matrices réelles est l'ensemble des matrices réelles inversibles qui admettent une racine carré réelle.

Proof. On sait déjà que l'exponentielle est inversible. De plus, une telle matrice admet forcément une racine carré. En eet,exp(A/2)²=Exp(A).

Il reste à comprendre pourquoi celà sut. Pour celà, eectuons la décomposition deDunf ord généralisée deB tel queB²=A. B =S+N avecS semi-simple et N nilpotent,SN =N S. On remarque que nécessairementS est inversible (c'est évident puisqueB l'est, et queS a les mêmes valeurs propres complexes que B), du coup on écritB =S(1 +S⁻¹N) =SU avec U unipotent puisque S⁻¹ et N commutant, leur produit est nilpotent. De plus trivialement SU =U S. On en déduit A = S²U². De plus, S² restant diagonalisable dans C, on a que S² reste nilpotent, et U² reste à peu près trivialement unipotent. On connait la forme des semi-simples réels. On peut rendre S semblables à une matrice V avec des blocs diagonaux de taille 1 et des blocs diagonaux de taille2de la forme

ai −bi

bi ai

. Du coup quand on met au carré on obtient des termes diagonaux de taille 1 strictement positifs et de taille 2 de la forme

c_i −di

c_i d_i

avecci =a²_i −b²_i et di = 2aibi. On fait maintenant un raisonnement semblable à celui du cas complexe: on va chercher à logarithmiser chacun des petits blocs. Pour les blocs de taille1c'est facile. On va donc chercher à logarithmer les blocs de taille2. On remarque qu'aucun des blocs n'est nul, on peut donc poserexp(x_i+iy_i) = c_i+d_i avecy_i restreint dans[0,2π[. On voit assez facilement en calculant

1

exp( xi yi//−yi xi

)que celà vaut le bloc qui nous intéresse. On a donc construit une matrice W vériant exp(V) = W² = P⁻¹S²P. Mais U² étant unipotente, on sait que U² = exp(N⁰) avec N⁰ nilpotente. Finalement, A = S²U² = exp(P W P⁻¹)exp(N⁰). Pour conclure, il reste à démontrer que P W P⁻¹ et N⁰ commutent,ce qui est loin d'être évident. En fait ce sont tous les deux des polynômes complexes enB. Rappelons queS⁻¹est un polynôme enS(grâce à C-H) qui lui-même est un polynôme enB. CommeN est aussi un polynôme enBon a déjà queSetU sont des polynômes enB. A fortiori,S²etU²sont des polynômes enB. De plus,U²−Idest nilpotent doncN⁰ :=Pn

0(−1)^j/j(U²−Id)^j avec est un polynôme en U² donc enB. (cf cas complexe). Il reste à voir pourquoiW est un polynôme enB. Il sut pour celà de montrer que c'est un polynôme enV²car alors ce sera un polynôme enS² et donc enB(il en sera de même deP W P⁻¹du coup.) Pour ce faire, c'est très simple, on passe par l'interpolation de Lagrange. En eet, on remarque que la construction que l'on a fait précisément de notre W assure que quand les c_i = j+id_j sont égaux, alors les x_j+iy_j sont égaux. Du coup, on n'a aucun souci à poser Q(λ²_j) = µ_j et Q(cj+idj) =xj+iyj, Q(cj−idj) =xj−iyj. Il est maintenant clair queQ(V²) =W, puisqu'on sait que dansC)on peut rendreV² semblable à une matrice diagonale, le bloc

c_i −d_i c_i d_i

étant semblable à

ci+idi 0 0 ci−idi

. Du coup, on a exp(QV Q⁻¹) =D avecD diagonal, les termes cj+idj deviennent xj+iyj, ceux en cj−idj deviennent xj−iyj, ce qui implique que D vaut exactementQW Q⁻¹!

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