ALG0043 1/9 Version 2.4. © Copyright I.G.N.2011

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Version 2.4. © Copyright I.G.N.2011 PARAMETRES DE PROJECTION

Projection Stéréographique Oblique.

Numéro : ALG0043.

Description :

Détermination, pour les principaux types de projections Stéréographiques Obliques, des paramètres de calcul en fonction des paramètres de définition usuels.

Variables :

- paramètres en entrée :

a : demi-grand axe.

e : première excentricité de l’ellipsoïde.

0 : longitude origine par rapport au méridien origine.

0 : latitude du point origine.

k0 : facteur d'échelle au point origine.

X0, Y0 : coordonnées planes du point origine.

 : tolérance de convergence.

- paramètres en sortie :

e : première excentricité de l’ellipsoïde.

c : longitude origine par rapport au méridien origine.

c : latitude du point origine (sphère).

c : constante de la projection.

n1 : exposant de la projection ellipsoïde-sphère.

n2 : rayon de la sphère intermédiaire.

Xs, Ys : constantes sur X, Y.

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Variables (suite) :

Autres algorithmes utilisés :

ALG0001 : calcul de la latitude isométrique

L

au point de latitude .

ALG0002 : calcul de la latitude  à partir de la latitude isométrique

L

^.

ALG0069 : calcul des coordonnées planes en projection stéréographique polaire sécante à partir des coordonnées géographiques

Sept types de projections Stéréographiques obliques sont répertoriés dans cet algorithme :

- sphère de courbure, - sphère équatoriale, - sphère bitangente,

- stéréographique polaire nord, tangente avec facteur d’échelle - stéréographique polaire sud, tangente avec facteur d’échelle - stéréographique polaire nord, sécante

- stéréographique polaire sud, sécante

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Schéma séquentiel :

E : a , e , 0 , 0 , k0 , X0 , Y0, .

S : e , c , c , c , n1 , n2 , Xs , Ys.

Cas de la sphère de courbure :

E

A L G 0 0 0 1

_c  ₀

n 1  1  e ² 1  e ²^

c o s ⁴^0

_c a r c s i n ( s i n ₀ n 1 )

c 

L

⁽^c , 0 ) n 1 

L

⁽^0 , e )

n 2  k ₀a  1 e ² 1  e ²s i n ²₀

X S X

0

Y _SY ₀

S

Suite des autres types de projections Stéréographiques Obliques à la page suivante.

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Schéma séquentiel (suite) :

Cas de la sphère bitangente :

E

n 1  1

c  

0

c  

0

c 

L

⁽^c , 0 ) n 1 

L

⁽^0 , e )

n 2  k

0 a _

1 1  e ²_ s i n ²

0

A L G 0 0 0 1

X S X

0

Y S Y

0

S

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Cas de la sphère équatoriale :

E

0 c

1 1 n









   ₀ ^, ^, ⁰ 

1

e

-

c



 ^ L L

ALG0002/ALGO001

0 0

0 0 0

2

1 ² sin ²

cos 0

Y Y

X X

e a

k n c

s s





 







S

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Cas de la polaire nord tangente avec facteur d’échelle :

E

0 s

2 e

0 c

Y Y

X X

e 1

e . 1

² e 1 . 1 k . a 2 n

0 c

2 1 1 n





 









 



 











S

Suite des autres types de projections Stéréographiques Obliques à la page suivante

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Cas de la polaire sud tangente avec facteur d’échelle :

E

_c  ₀

n 1  1

_c 

2 c _ 0

n 2  a _k ₀_ 1 1  e ²

( 1 e 1 e )

e 2

X _s_ X ₀ Y _s Y ₀

-

S

Notations utilisées :

L

^{(,e) :}^latitudeisométrique

L

au point de latitude  sur l'ellipsoïde de première excentricité e, calculée avec la tolérance .

L

^-1(

L

,e) : latitude  à partir de la latitude isométrique

L

^sur

l’ellipsoïde de première excentricité e, calculée avec la tolérance .

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Version 2.4. © Copyright I.G.N.2011 Projection Stéréographique Oblique.

Cas de la polaire nord sécante (au parallèle de latitude 0 ) :

E

) 001 ALG ( 2 .

1

) ( sin 1

) cos(

) , ( 0 2

0 2 2

0 0

0

0e c

e r n

e r a





 L







 



0 0

0

r Y Y

X X

S s





S

L

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Cas de la polaire sud sécante (au parallèle de latitude ₀ ) :

E

) 001 ALG ( 2 .

1

) ( sin 1

) cos(

) , ( 0 2

0 2 2

0 0

0

0e c

e r n

e r a





L









 



0 0

0

r Y Y

X X

S s





S

L

(10)

Jeux d’essai :

a(m) 6 378 249,200 0 6 378 249,200 0 6 378 249,200 0 e 0,082 483 262 55 0,082 483 262 55 0,082 483 262 55

0(rad) 0,683 296 402 00 0,683 296 402 00 0,683 296 402 00

0(rad) 0,596 902 604 30 0,596 902 604 30 0,596 902 604 30 k0 0,999 534 1 0,999 534 1 0,999 534 1

X0(m) 0,000 0 0,000 0 0,000 0

Y0(m) 0,000 0 0,000 0 0,000 0

 1.10^-11 1.10^-11 1.10^-11

sphère de courbure bitangente équatoriale

c(rad) 0,683 296 402 00 0,683 296 402 00 0,683 296 402 00

c(rad) 0,595 816 408 90 0,596 902 604 30 0,593 734 072 07 c 0,001 501 883 40 0,003 826 871 35 0,000 000 000 00 n1 1,001 601 438 09 1,000 000 000 00 1,000 000 000 00 n2(m) 6 367 239,742 8 6 382 140,401 0 6 368 458,984 0

Xs(m) 0,000 0 0,000 0 0,000 0

Ys(m) 0,000 0 0,000 0 0,000 0

(11)

Jeux d’essai :

a(m) 6 378 249,200 0 6 378 249,200 0 6 378 388,000 0 e 0,082 483 262 55 0,082 483 262 55 0,081 991 889 979

0(rad) 0,683 296 402 00 0,683 296 402 00 2,443 460 952 79

0(rad) - - -1.169 370 598 84

k0 0,999 534 1 0,999 534 1 - X₀(m) 0,000 0 0,000 0 300 000,0 Y0(m) 0,000 0 0,000 0 200 000,0

stéréo. polaire nord tangente

polaire sud tangente

polaire sud sécante

c(rad) 0,683 296 402 00 0,683 296 402 00 2,443 460 952 79

c(rad) 1,570 796 326 79 -1,570 796 326 79 - C 0,000 000 000 00 0,000 000 000 00 - n1 1,000 000 000 00 1,000 000 000 00 -

n2(m) 6 353 602,780 0 6 353 602,780 0 6 104 416,805 8

Xs(m) 0,000 0 0,000 0 300 000,0

Ys(m) 0,000 0 0,000 0 -2 299 363,487 8

ALG0043 1/9 Version 2.4. © Copyright I.G.N.2011

L

L

L

L

L

L

1 1 n









   0 , , 0 

e



  L L

1 ² sin ²

cos 0

Y Y

X X

e a

k n c







 











L

L

L

L

L









r Y Y

X X







L

L









r Y Y

X X







L

L

   ₀ ^, ^, ⁰ 

 ^ L L