4 Exercices e nerge tique

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4 Exercices e nerge tique ^(TEC)

Connaissances B2 Savoir-faire

 Centre d'inertie

 Opérateur d'inertie

 Matrice d'inertie

 Torseur cinétique

 Energie cinétique

Déterminer l'énergie cinétique d'un solide ou d'un ensemble de solides, par rapport à un autre solide.

Connaissances C1 Savoir-faire

Chaines de solides :

 théorème de l’énergie cinétique

Proposer une démarche permettant la détermination de la loi de mouvement

Proposer une méthode permettant la détermination d’une inconnue de liaison Choisir une méthode pour déterminer la valeur des paramètres conduisant à des positions d'équilibre

Sommaire

4.1 Dispositif de mesure d'inertie : ... 2

4.2 Moteur d'entraînement d'un bras de robot : ... 3

4.3 Pendule double : ... 4

4.4 Axe de machine outil à commande numérique : ... 4

4.5 Système d'inspection pour tubes de guidage de centrale nucléaire : ... 6

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4.1 Dispositif de mesure d'inertie :

La figure ci-dessous représente un dispositif conçu pour déterminer le moment d'inertie d'un solide S par rapport à son axe de révolution matérielle, à partir de la mesure de la période de son oscillation sur deux portées cylindriques d'un bâti .

Le repère R





, ,

; est lié au bâti ^. L'axe





; est dirigé suivant la verticale descendante On note g

l'accélération de la pesanteur telle que g g x



 . Les deux portées cylindriques de  sont deux éléments de la surface cylindrique de révolution d'axe

 

; , de rayon r.

Le solide S de masse m, de centre d'inertie C, possède deux tourillons de même rayon a (a < r).

L'étude se ramène à celle du problème plan suivant :

Le tourillon de S , de centre C, roule sans glisser au point A sur la portée cylindrique de .

 Soit R





, ,

; _{1 1}

1 le repère, tel que le point C soit sur l'axe





. On pose (x,x₁)

  .

 SoitR





, ,

; _{2 2}

2 le repère lié à S. On pose (x₂,x₁). On suppose 0 lorsque 0 Notons I le moment d'inertie de S par rapport à son axe de symétrie

 

; , et f le facteur de frottement entre S et .

On donne : a = 12.3 mm, r = 141.1 mm, g = 9.81 m.s^-2, m = 7217 g, f = 0.15.

Q1. Quelle relation y'a-t-il entre  et ?

Q2. Quelle équation obtient-on en appliquant le théorème de l'énergie cinétique à S dans son mouvement par rapport R?

Q3. En supposant que l'angle  reste petit au cours du mouvement, déterminer la période T des oscillations de S.

Q4. En déduire le moment d'inertie I de S, sachant que T = 5 s.

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4.2 Moteur d'entraînement d'un bras de robot :

Le repère R0





est lié au bâti 0. L'axe





est dirigé suivant la verticale ascendante.

Le bras 1 est en liaison pivot d'axe





avec le bâti 0.

Soit R1





un repère lié à 1. On pose _{1/0 1} z₀





 

Un moteur d'axe





tel queOAr₁x₁ a son stator fixé au bras 1 et son rotor 2 entraîné en rotation le bras 1 par l'intermédiaire d'un engrenage à axes parallèles dont une roue est fixe par rapport au bâti 0.

La roue liée au rotor 2 a pour rayon primitif r2 et celle liée au bâti 0 a pour rayon primitif r0.

On pose _2/1 z₀





  .

Le guidage en rotation du rotor 2 par rapport au stator 1 est réalisé par une liaison pivot sans frottement d'axe





. Caractéristiques d'inertie :

 I1, moment d'inertie du bras 1 et du stator par rapport à





;

 m1, masse du bras 1 et du stator ;

 G1, centre d'inertie du bras 1 et du stator avec OG₁Lx₁

;

 I2, moment d'inertie du rotor 2 et de la roue dentée par rapport à





;

 m2, masse du rotor 2 et de la roue dentée ;

 G2, centre d'inertie du rotor 2 et de la roue dentée avec

0 1 1

2 r x h z

OG  









Le torseur d'action mécanique du stator sur le rotor se décompose en deux :

 action mécanique de la liaison pivot,

 

1 12

12 12 2

1

0 R

M L

Z Y X

A

T ₁₂

12













  ;

 action électromagnétique du moteur,

 

1 2

0 0 0

R C

0 0 A T

m moteur













  ;

L’engrenage est réalisé à partir de pignon à denture droite, l’angle de pression est de = 20°.

On note :

 

1 02

02 2

0

0 0

cos sin

R 0 0 F

F

I

T 

















  



le torseur de l’action transmissible par la roue 0 sur le pignon 2 avec I

le point de contact (OI r₀ x₁ h₁ z₀







 ).

Q1. Exprimer la relation entre ₁et 

Q2. Construire le schéma d'analyse (les actions mécaniques de pesanteur sont négligées) Q3. Énoncer le théorème de l’énergie cinétique appliqué à l’ensemble mobile.

Q4. Exprimer les puissances extérieures et les puissances intérieures Q5. Déterminer l’énergie cinétique de l’ensemble mobile.

Q6. En déduire l’équation différentielle du mouvement permettant d’obtenir C_menfonction des paramètres du mouvement et des paramètres cinétiques

I

I

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4.3 Pendule double :

Un pendule double est constitué de deux tiges 1 et 2 identiques, homogènes de masse m, de longueur 2.a et de dimensions transversales négligeables devant la longueur, oscillant dans le plan vertical





,

; du repère R





, ,

; considéré comme galiléen, lié au bâti 0.

La tige 1, d'extrémités O et A est en liaison pivot d'axe





; avec le bâti 0. On note R





, ,

; _{1 1}

1 un repère lié à 1 tel que :OA 2 a x₁





 et on pose )

, (x x₁

 .

On note G1 le centre d'inertie de la tige 1situé au milieu du segment [O;A]

On donne :[𝐼𝐺₁,1] = [

0 0 0

0 𝐵 0

0 0 𝐵

]

(𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₁ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧 )₁

avec 𝐵 =^{𝑚1∙𝑎2}

3

La tige 2, d'extrémités A et B est en liaison pivot d'axe

 

; avec la tige 1. On note R





, ,

; _{2 2}

2 un repère

lié à 2 tel que AB 2 a x₂





 et on pose (x,x₂)

 .

On note G2 le centre d'inertie de la tige 2 situé au milieu du segment [A;B].

On note g

l'accélération de la pesanteur telle que g g x



 .

On donne : [𝐼_𝐺2,2] = [

0 0 0

0 𝐵 0

0 0 𝐵

]

(𝑥⃗⃗⃗⃗ , 𝑦₂ ⃗⃗⃗⃗ , 𝑧 )₂

avec 𝐵 =^{𝑚2∙𝑎2}

3

Q1. Déterminer les puissances des actions mécaniques extérieures suivantes

 action mécanique de 0 sur 1, dans le mouvement de 1 par rapport à 0,

 action mécanique de 1 sur 2, dans le mouvement de 2 par rapport à 0,

 action mécanique de 1 sur 2, dans le mouvement de 2 par rapport à 1,

 action mécanique de la pesanteur sur 1, dans le mouvement de 1 par rapport à 0,

 action mécanique de la pesanteur sur 2, dans le mouvement de 2 par rapport à 0.

Q2. Ecrire le théorème de l'énergie cinétique pour la tige 2 dans son mouvement par rapport au bâti 0.

Q3. Ecrire le théorème de l'énergie cinétique pour l'ensemble des deux tiges 1+ 2 dans leurs mouvements par rapport au bâti 0.

4.4 Axe de machine outil à commande numérique :

L'usinage est une opération de transformation d'un produit par enlèvement de matière. Cette opération est à la base de la fabrication de produits dans les industries mécaniques. On appelle le moyen de production associé à une opération d'usinage une machine-outil ou un centre d'usinage. La génération d'une surface par enlèvement de matière est obtenue grâce à un outil muni d'au moins une arête coupante.

Les différentes formes de pièces sont obtenues par des translations et des rotations de l'outil par rapport à la pièce.

𝐺₂

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translations (X, Y et Z) et deux rotations (B et C). Une telle machine est appelée machine 5 axes (un axe est un ensemble qui gère un des mouvements élémentaire, translation ou rotation). Sur cette machine, 3 axes sont utilisés pour mettre en mouvement l'outil par rapport au bâti (ce sont les translations Y et Z et la rotation A) et 2 axes sont utilisés pour mettre en mouvement la pièce par rapport au bâti (ce sont la translation X et la rotation B).

On s'intéresse ici à l'axe Y qui met en mouvement le coulisseau 1 par rapport au bâti 0. On donne une description structurelle simplifiée ainsi qu'un extrait de cahier des charges fonctionnel.

On considère un modèle simplifié dans lequel le coulisseau 1 est mis en mouvement par le moteur électrique qui délivre un couple moteur Cm(t).

Toutes les liaisons sont considérées comme parfaites. La liaison vis/écrou d'axe





; a pour loi de comportement :

m

t pas

y 

 ^

 

 2 )

(

On considère que la vis, d'inertie I par rapport à l'axe





; est de raideur axiale infinie et de raideur en torsion infinie.

Le coulisseau 1, de masse m1, est soumis à une force extérieure F

telle que F F y



 .

La loi du mouvement de l'axe Y est une loi en trapèze de vitesse. L'objectif va être de déterminer le couple que le moteur doit délivrer pour chacune des phases de la loi de mouvement imposée.

Q1. Isoler l'ensemble E = vis sans fin 2 + coulisseau 1 et déterminer l'énergie cinétique de l'ensemble E, l'exprimer uniquement en fonction de m.

Q2. On donne F = 2000 N, y30ms^2, I = 0,02 kg.m², m1 = 100 kg et pas = 5 mm. Le critère couple maximal à délivrer de la FS1 est-il respecté ?

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4.5 Système d'inspection pour tubes de guidage de centrale nucléaire :

Pour maitriser la réaction en chaine au cœur du réacteur, on plonge à l'intérieur des "grappes de contrôle" qui, suivant leur profondeur de descente, régulent la réaction. Elles sont constituées de plusieurs tiges, appelées "crayons" (voir photo ci contre), d'environ quatre mètres de longueur pour un diamètre de dix millimètres. Les crayons sont fixés à une tête à laquelle on impose les mouvements de montée ou descente. Chaque grappe de contrôle est guidée dans un tube.

La maintenance des installations nucléaires civiles est un enjeu essentiel de la sûreté de ces installations. Les centrales nucléaires font ainsi l'objet d'inspections régulières avec des matériels adaptés au contexte particulier de ce secteur d'activité. On s'intéresse donc au système permettant d'inspecter les tubes de guidage des crayons dont on donne un extrait de cahier des charges ainsi qu'une description structurelle.

Le système d'inspection est constitué d'une perche, commandée en montée et descente par un palan spécifique suspendu au dessus de la piscine. La perche pénètre à l'intérieur du tube à inspecter et descend jusqu'à l'outil d'inspection auquel on accroche la perche. Les mouvements de la perche permettent ensuite de déplacer à volonté l'outil dans le tube de guidage. Une gaine flexible fixée sous l'outil d'inspection et le reliant à un robot chenille contient les câbles assurant l'alimentation des cameras, la gestion de la prise d'images et leur transmission vers le système d'acquisition.

Exigence Critère Niveau

1.0 : Le système doit réaliser l'inspection de l'état d'usure des tubes de guidages

Accélération de l'outil 1ms^2

Données et hypothèses :

La chaine d'énergie du système est constituée d'un moteur à courant continu commandé en loi trapèze de vitesse qui entraine un tambour associé à un réducteur. L'ensemble donne le mouvement vertical à l'outil d'inspection par l'intermédiaire du câble de la perche de commande accrochée à l'outil.

 Moteur : vitesse angulaire m, couple C^m = 13,5 N.m, inertie de l'arbre moteur Jm = 12600 kg.mm² par rapport à son axe de rotation.

 Réducteur : rapport de réduction 12

 1

 .

 Sortie de réducteur et tambour : moment d'inertie de l'ensemble par rapport à l'axe de rotation du tambour, Jt = 892500 kg.mm², rayon du tambour

R = 500 mm.

 Outil : Masse M = 24 kg, vitesse de translation

g Rg

outil

C V y

V 



 / 

 Rendement global de l'installation :1.

Q1. A l'aide du TEC, vérifier que la valeur du couple moteur nécessaire à la remontée de l'outil valide bien le critère de l'exigence 1.0.