Note sur les conditions qui expriment qu'une surface du second degré est de révolution

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G ^ENTY

Note sur les conditions qui expriment qu’une surface du second degré est de révolution

Nouvelles annales de mathématiques 2

série, tome 20

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NOTE SUR LES CONDITIONS Qlil EXPRIMENT «HUNE SURFACE DU SECOND DEGRÉ EST DE REVOLUTION;

PAR M. GENTY.

Soient

l'équation d'une surface S du second degré à centre, rapportée à ses trois plans principaux,

celle de sa polaire réciproque Si par rapport à la sphère

.r2 -\-y2-\- z2z=z\.

L'équation

J'

a.r

X

a

y z

?.'• "! = y z

= i O,

qui exprime que les plans polaires d'un point quel- conque (X)j',z) par rapport à la sphère et aux deux quadriques sont parallèles à une même droite, représente les trois plans principaux des surfaces S et S< ; en effet, cetle équation développée devient

(O ^ ( ? - 7 ) ( ï - * M « - ? ) = < > •

Le premier membre de cette équation est évidemment un covariant, puisqu'il exprime une propriété géomé- trique des trois surfaces complètement indépendante du choix des axes. Si donc

f(jr,v. z) =r_o, F(tr, v, z)=o

sont les équations des quadriques S et Sj rapportées maintenant à trois axes rectangulaires quelconques pas- sant par leur centre, l'équation

./; A A

r = O

représentera les trois plans principaux de ces deux qua- driques.

Mais si la surface S est de révolution, deux des trois quantités a, (3, y qui entrent dans l'équation, (i) sont égales et le premier membre de cette équation est iden- tiquement nul.

On obtiendra donc les conditions qui expriment que la surface S est de révolution en écrivant que le pre- mier membre de l'équation (2) est identiquement nul.

Soit

ax1 4- by1 ifvz -+- zgzjr 4- 'ikxyz=z 1

l'équation développée de la surface S} celle de la sur- face S 4 sera

A.r² 4- Bv² 4- Gz² -4- 'ï Fyz -\-9,Gz.x 4-2II xy = A, en posant

A •=. abc 4 - 2./#"/* — <?/2 — &£y2 — ch2,

A = &r — j \ B = ca — A'2, G-=. ab — li\

P o-/, ^Z* r i /. /' hcr IT /*rr ck r —o a — aj-, \jr — iij—Uç,, 11 — yA c/t,

et l'équation ( 2 ) prendra la forme

y -s .2?

a j 4- /* v ?^ hx -h by -+-fz gx -h/y 4- cz ^{= 0.}

En identifiant cà zéro le premier membre de cette

( 4-6 )

équation, on obtient de suite les conditions cherchées sous la forme

b — c c — a a — b ƒ g h B~=^C — C —A -~ Â~=~B ~~ F ~~ G "~ H*

On reconnaît sans peine que l'ensemble de ces équa- tions ne représente que deux conditions réellement dis- tinctes.

En. remplaçant F , G et H par leurs valeurs dans les équations

o n a

o u J)i<;n

c'est la forme habituelle des équations de condition.

ah -af /

ah F

f

(i

/ / ƒ -

=

ba

h f H

./A' .

A

r / j

,-