Formules des fonctions de M. Sturm pour les équations du deuxième, du troisième et du quatrième degré

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

K ORALEK

Formules des fonctions de M. Sturm pour les équations du deuxième, du troisième et du quatrième degré

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 11 (1852), p. 333-335

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FORMULES DES FONCTIONS DE M. STURM POUR LES ÉQUATIONS DU DEUXIÈME, DU TROISIÈME ET DU QUATRIÈME DEGRÉ ;

PAR M. KORALEK, Professeur.

1. On trouve ordinairement ces fonctions calculées

pour des équations tronquées; nous croyons utile de don-

ner ces fonctions pour des équations complètes. On n'aura

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besoin que de faire des substitutions numériques pour connaître immédiatement le nombre et les signes des racines réelles.

Equation du'deuxième degré,

V = A2 xl 4 - A, x 4- Ao — o, V , ~ 2 A2. r 4 - A , ,

V2 = A ; — 4 A0A2.

Équation du troisième degré.

V^A^' + A . x ^ A ^ + Ao^o, Y, = 3 Ai x2 4 - 2 A> x H- A , ,

V2—ix(A] — 3 A, A,) -+-(A, A. — 9 A, \ , V, — — 4 A⁰ A] A^O 4 - i 8 A⁰A , A A;

— 27 A2, A ] - h A; A2 A, — 4 A; A2.

Equation du quatrième degré.

V rrr A4 .r1 + A^ .r3 -+- A, «r -f- A, x -f- Ao = O, V, = 4 A4 x3 -f- 3 A3 J:2 -h 2 A2 x -H A , ,

V2= / A T2 - h 9^7 4 - / , p = 3 A3 — 8 A, A , ,

<7 = 2 A⁵ A> — Ï'2 A, A⁴, r — A, A³ — 16 A^o A,,

ï 6 « = ( 2 A2 A3— i 2 A , A 0 ( 9 A8, — 32 A, A, A, 4 - 4 8 A, A ^

— (3 A ; — 8 A²A 0 ' 6 A , A²3 - I 6 A^{2 2}A⁴— 4A^lA^JA,-f-64A^üA^{2 4}), a = 3?AOA2AJ — Ï 2 A0A2A ; 4 - 2 8 AtA2A , A2 — 6 A, A3, A;

— 36 A? A^ 4 - 2 A] A2 A, — 8A^ A^2, i 6 £ = (A, A , — 16 Ao As 1(9 A; — 3? A. A, A, 4 - 4 8 A, A^2)

— A, ( 3 A2 — 8 A . A , )2,

b — — 4 8 Ao A, A; 4- 32At )A2A A; — gA0 AJ A, 4 - A, A, A^ A, — 4 A, A2, A] -h 3 A] A3 A ; , V4 = b (aq — bp) — a"r.

Note. Pour connaître le nombre des racines réelles d'une équation algé- brique de degré », il suffît de connaître les coefficients des ptemiets ternie^

( 3 3 5 )

des fonctions de M. Sturm. Or, ces coefficients se calculent facilement d'après le procédé de M. Cayley {Journal de Mathématiques, t. XI, p. 298; 1846).

Soit l'équation

On a

représentons par S( la somme des racines élevées chacune à la puissance t.

Formons les suites

2

s

_,,

m_, = S2m_, ~ /», Sî m_3 -h ^2 S2ftJ_4

on aura

\ — détermina^-

S..S,. S,,..., S ^ , , Q . S , , S2, . . . , 'V-.. <?«.+,

T M .