Théorème combinatoire de M. Stern, démontré par M. A., capitaine d'artillerie

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Théorème combinatoire de M. Stern, démontré par M. A., capitaine d’artillerie

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 13 (1854), p. 138

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THÉORÈME COMBINATOIRE DE M. STERN,

DÉMONTRE PAR M . A . , Capitaine d'Artillerie.

1. Notation. CJf = classe combinatoire d'ordre p, avec n éléments a^{l 7} a², <z³,. . . , aⁿ et avec répétition;

C ^ = id, sans répétition.

2. THÉORÈME.

c " — cxap"x-h c2c""~2 — c3 e ^ - f - . . (—!)«(ƒ — o.

Démonstration. Désignons cette série par S£; C^est évidemment le coefficient de h? dans le produit infini

-l-^a] /«'-+-...) (i-f- «² h-ha] h*-h...)(i-haji + «J /i²+..

donc

. . . = P

d'où l'on tire, en faisant disparaître le dénominateur qui n'estautrequci—CⁿA + C^A⁸—Cⁿ³A³-i-...+(-i)"C"'&ⁿ,

i = i-t-ïpSpn/i";

donc

Sp = o. c. Q. F. D .

JSote du rédacteur. J'ai donné une démonstration, mais bien moins simple, du même théorème, dans le Journal de Mathématiques, tome III, page 55p.