Pour la semaine du 6 au 12 Avril :
Cours : 1. Lire la section 3.1.3 : P.G.C.D et P.P.C.M, page 18.
- Dénition du pgcd et ppcm dans un anneau intègre.
- Existence du pgcd, unicité du pgcd.
2. Pour l'exemple 3.1.8 et remarques 3.1.10 : voir aussi le complément ci-dessus.
3. Pour un exemple montrant qu'en général, deux éléments d'un anneau intègre n'ont pas néces- sairement un pgcd : voir Exercice 4.12 du polycopié : Alg4Exo.
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1. Pour le corrigé des exercices 6 et 7 : voir chier CorS2Ex6,7.
2. Exercices à faire : Exercices 8 et 9.
3. Dans le polycopié : Alg4Exo, vous avez aussi des exercices de révision : (a) généralités sur les anneaux : exercices 3.1 et 3.2
(b) les idéaux premiers et maximaux : Exercice 3.3 et 3.4
(c) Exercice sur le premier théorème d'isomorphisme : Exercices 3.6.
Complément
Exemple 3.1.8 L'exemple suivant montre qu'en général, un élément irréductible n'est pas néces- sairement premier : Soit A =Z[i√
3] ={a+ib√
3/a, b ∈Z} (noté aussiZ[√
−3]). Commençons par déterminer U(A) : soit x =a+ib√
3∈ U(A), alors ∃ y =c+id√
3 ∈A tel que xy = 1. En passant aux modules des complexes, on obtient (a2+ 3b2)(c2+ 3d2) = 1, alors a2+ 3b2 = 1 d'oùa=±1 et b= 0, alors U(A)⊂ {−1,1} et ainsiU(A) ={−1,1}.
2 est un élément irréductible de A. En eet, 2 ∈ U(A)/ et soit x =a+ib√
3 ∈ A tel que x/2, alors
∃y =c+id√
3∈A tel que2 =xy = (a+ib√
3)(c+id√
3). En passant aux modules des complexes, on obtient 4 = (a2+ 3b2)(c2 + 3d2). Comme a2+ 3b2 est toujours diérente de 2, a2 + 3b2 = 1 ou c2+ 3d2 = 1d'où x=±1∈ U(A) ou y=±1∈ U(A), alors 2est irréductible dans A.
Cependant, 2 n'est pas premier dans A. En eet, 2 divise 4 = (1 +i√
3)(1−i√
3) et 2 ne divise ni 1 +i√
3 ni 1−i√
3 (car si 2 divise 1 +i√
3, alors2 divise 1 dans Z, ce qui est faux ; de même 2 ne divise pas 1−i√
3).
Remarques 3.1.10
1. En général, deux éléments d'un anneau intègre n'ont pas nécessairement un pgcd (cf. Exercice 4.12 du polycopié : Alg4Exo).
2. Si deux élémentsaetbdeAadmettent un pgcd, alors ce pgcd est unique à un facteur inversible près :
Sidest un pgcd deaetbetδ∈Atel que d∼δ, alors δ est aussi un pgcd deaetb, en eet : on a δ divise dd'où δ divise a etδ divise b. Supposons quec/a etc/b, alorsc/d card est un pgcd de aetb. Comme δ ∼d, alorsddivise δ ainsic divise δ et par suiteδ est aussi un pgcd de aetb.
Inversement, Si δ et dsont deux pgcd dea etb, alorsδ ∼d, en eet : on a a/d etb/dd'où d divise δ car δ est un pgcd de a et b. De la même façon et en utilisant le fait que d est aussi un pgcd de aetb, on montre queδ divise d. Comme ddivise δ etδ divise d, alors, d'après la proposition 3.1.4, (iv), δ∼d.
Par abus de notation, on note d=pgcd(a,b) ou simplementd=a∧b. 3. On dit que deux élémentsa etbsont premiers entre eux sipgcd(a, b) = 1.
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