Semaine du 07/12 au 11/12

Semaine du 06/12 au 10/12

1 Cours

Suites de fonctions

Modes de convergence Convergence simple. Convergence uniforme. La convergence uniforme entraîne la convergence simple.

Théorèmes d’interversion

• Théorème de la double limite : si(𝑓𝑛)converge uniformément vers une fonction𝑓sur un intervalleI, et si pour tout𝑛 ∈ ℕ, 𝑓𝑛admet une limiteℓ𝑛en𝑎 ∈ I, alors(ℓ𝑛)admet une limite,𝑓admet une limite en𝑎et lim

𝑎 𝑓 = lim

𝑛→+∞ℓ𝑛.

• Continuité : si(𝑓𝑛)est une suite de fonctions continues convergeant uniformément vers une fonction𝑓sur tout segment d’un intervalleI, alors𝑓est continue surI.

• Primitivisation : si(𝑓𝑛)est une suite de fonctions continues convergeant uniformément vers une fonction𝑓sur tout segment d’un intervalleI, alors, pour tout𝑎 ∈ I,(𝑥 ↦ ∫

𝑥

𝑎

𝑓𝑛(𝑡)d𝑡)

𝑛∈ℕ

converge uniformément vers𝑥 ↦ ∫

𝑥

𝑎

𝑓(𝑡)d𝑡 sur tout segment deI.

• Intégration : si(𝑓_𝑛)est une suite de fonctions continues convergeant uniformément vers une fonction𝑓sur le segment[𝑎, 𝑏], alors lim

𝑛→+∞∫

𝑏

𝑎

𝑓_𝑛(𝑡)d𝑡 = ∫

𝑏

𝑎

𝑓(𝑡)d𝑡.

• Dérivation : si(𝑓_𝑛)est une suite de fonctions de classe𝒞¹convergeant simplement vers une fonction𝑓sur un intervalleIet si(𝑓𝑛^′)converge uniformément vers une fonction𝑔sur tout segment deI, alors𝑓est de classe𝒞¹surIet𝑓^′= 𝑔. Adaptation aux fonctions de classe𝒞^𝑘.

2 Méthodes à maîtriser

• Montrer qu’une suite de fonctions(𝑓𝑛)converge simplement : étude de la suite numérique(𝑓𝑛(𝑥))à𝑥fixé (éventuellement une suite récurrente suivant la définition de la suite de fonctions).

• Montrer qu’une suite de fonctions(𝑓_𝑛)converge uniformément : 1. Montrer que(𝑓_𝑛)converge simplement vers une fonction𝑓.

2. Montrer que‖𝑓_𝑛− 𝑓‖_∞tend vers0lorsque𝑛tend vers+∞: pour cela, on peut – étudier𝑓_𝑛− 𝑓pour déterminer explicitement sup|𝑓_𝑛− 𝑓|;

– majorer|𝑓_𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)|par une quantité indépendante de𝑥tendant vers0quand𝑛tend vers+∞.

• Pour montrer qu’une suite de fonctions ne converge pas uniformément, on peut au choix :

– Calculer explicitement‖𝑓𝑛− 𝑓‖∞, où𝑓est la limite simple de(𝑓𝑛), et montrer que cette quantité ne tend pas vers0.

– Déterminer une suite(𝑥𝑛)telle que𝑓𝑛(𝑥𝑛) − 𝑓(𝑥𝑛)ne tend pas vers0.

– Mettre en défaut l’un des théorèmes d’«interversion» : par exemple, les𝑓𝑛sont continues mais𝑓ne l’est pas.

3 Questions de cours

Banque CCP Exercices 9, 10, 11, 12