Semaine du 06/12 au 10/12
1 Cours
Suites de fonctions
Modes de convergence Convergence simple. Convergence uniforme. La convergence uniforme entraîne la convergence simple.
Théorèmes d’interversion
• Théorème de la double limite : si(𝑓𝑛)converge uniformément vers une fonction𝑓sur un intervalleI, et si pour tout𝑛 ∈ ℕ, 𝑓𝑛admet une limiteℓ𝑛en𝑎 ∈ I, alors(ℓ𝑛)admet une limite,𝑓admet une limite en𝑎et lim
𝑎 𝑓 = lim
𝑛→+∞ℓ𝑛.
• Continuité : si(𝑓𝑛)est une suite de fonctions continues convergeant uniformément vers une fonction𝑓sur tout segment d’un intervalleI, alors𝑓est continue surI.
• Primitivisation : si(𝑓𝑛)est une suite de fonctions continues convergeant uniformément vers une fonction𝑓sur tout segment d’un intervalleI, alors, pour tout𝑎 ∈ I,(𝑥 ↦ ∫
𝑥
𝑎
𝑓𝑛(𝑡)d𝑡)
𝑛∈ℕ
converge uniformément vers𝑥 ↦ ∫
𝑥
𝑎
𝑓(𝑡)d𝑡 sur tout segment deI.
• Intégration : si(𝑓𝑛)est une suite de fonctions continues convergeant uniformément vers une fonction𝑓sur le segment[𝑎, 𝑏], alors lim
𝑛→+∞∫
𝑏
𝑎
𝑓𝑛(𝑡)d𝑡 = ∫
𝑏
𝑎
𝑓(𝑡)d𝑡.
• Dérivation : si(𝑓𝑛)est une suite de fonctions de classe𝒞1convergeant simplement vers une fonction𝑓sur un intervalleIet si(𝑓𝑛′)converge uniformément vers une fonction𝑔sur tout segment deI, alors𝑓est de classe𝒞1surIet𝑓′= 𝑔. Adaptation aux fonctions de classe𝒞𝑘.
2 Méthodes à maîtriser
• Montrer qu’une suite de fonctions(𝑓𝑛)converge simplement : étude de la suite numérique(𝑓𝑛(𝑥))à𝑥fixé (éventuellement une suite récurrente suivant la définition de la suite de fonctions).
• Montrer qu’une suite de fonctions(𝑓𝑛)converge uniformément : 1. Montrer que(𝑓𝑛)converge simplement vers une fonction𝑓.
2. Montrer que‖𝑓𝑛− 𝑓‖∞tend vers0lorsque𝑛tend vers+∞: pour cela, on peut – étudier𝑓𝑛− 𝑓pour déterminer explicitement sup|𝑓𝑛− 𝑓|;
– majorer|𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)|par une quantité indépendante de𝑥tendant vers0quand𝑛tend vers+∞.
• Pour montrer qu’une suite de fonctions ne converge pas uniformément, on peut au choix :
– Calculer explicitement‖𝑓𝑛− 𝑓‖∞, où𝑓est la limite simple de(𝑓𝑛), et montrer que cette quantité ne tend pas vers0.
– Déterminer une suite(𝑥𝑛)telle que𝑓𝑛(𝑥𝑛) − 𝑓(𝑥𝑛)ne tend pas vers0.
– Mettre en défaut l’un des théorèmes d’«interversion» : par exemple, les𝑓𝑛sont continues mais𝑓ne l’est pas.
3 Questions de cours
Banque CCP Exercices 9, 10, 11, 12
