622 LA HOUILLE BLANCHE N ° 5 - OCTOBRE 1961
On the spreading of one fluid over another
b y M . B . A B B O T T
RESEARCH ENGINEER
COASTAL ENGINEERING LABORATORY, TECHNICAL UN1VERSITY OF DENMARK
(French text p . 629)
Although particularlij concernée with the spreading of oil over water, this paper also deals with the gênerai problem of determining the nature and rate of spreading of ang one- incompressible fluid over another of greater density. It is in three parts.
PART I
The two fluid layers are treated as the corn- ponents of a coupled system and a gênerai équation is derived for their characteristics.
The number of degrees of freedom of such a fluid system is redefined and related to the capacities for wave propagation of the system.
The number of characteristics in a coupled system is then related to the numjber of fluid components in the system, and the two types of uncoupled component are identified. It is shown that the effect of coupling is to separate the characteristics of the components and that, when the lower fluid is mnch deeper than the surface fluid, the surface fluid behaves as an uncoupled system. The Riemann invariants and "quasi-invariants" of this uncoupled
system are investigated and a means of solving problems of rectilinear spreading obtained.
PART II
The analogous problem of a bursting dam is considered and a "wave front" introduced to better explain the behaviour observed exper- imentally. The front of the surface fluid is then studied in a similar manner and the rela- tions obtaining at the front are again verified by experim,ent.
PART III
The équations and characteristics obtaining in radial flow are derived. The characteristics are identical with those arising in rectilinear flow, but their invariant properties differ. Thèse properties are investigated and a procédure developed whereby problems involving the radial flow of one fluid over another may be solved.
In conclusion the présent work is compared with previous studies on the same subject.
P A R T I
D I S C H A R G E O F O I L I N T O A C A N A L
During the winter of 1959-1960 a large t a n k e r was involved in a collision in Southampton Water, with the resuit t h a t several hundred tons of oil were discharged into the fairway.
Fortunately, this oil did not ignite, b u t the accident clearly demonstrated the potential dan- gers which such spillages represent to port installations a n d to navigation. Seeing thèse dangers, the Southampton Harbour Board initiât - ed investigations into the efîects of oil spread- ing over water. A study of oil lires in various other ports served not only to emphasize further how disastrous thèse fires could be, but also to expose an unsatisfactory lack of knowledge con-
cerning the m a n n e r of spreading of oil over water.
A knowledge of this spreading, and especially of the rate of spreading, is seen to be i m p o r t a n t for the optimum spacing of vessels in restricted an- chorages, where the time available before the oil from one vessel reaches an adjacent one m u s t b e balanced against the time needed to move this adjacent craft. It is also important, where boom closure Systems are envisaged, to k n o w the time available to close the boom before the oil reaches it, and also to have some knowledge of the velocities and oil depths which m a y be expected at the boom.
With a view to solving the above problems,
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961048
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Ihe author was commissioned to investigate t h e flow of oil over water, and to develop means of calculating the m a x i m u m rate of spreading. In view of the large quantities of oil invoived, and the great variability of its properties, the result- ing study, which is the subject of this paper, has been limited to gravity-density flows in which the effccts of friction a n d surface tension can be ignored. T h e theory used applies to ail flows of one liquid over another of greater density, subject of course to the above limitations.
W h e n oil is discharged into w a t e r it spreads rapidly, displacing w a t e r and t h u s inducing motion in the water. A motion of the oil is then linked to a motion of the water, and it would seem t h a t any study of the motion of t h e oil should take this induced motion into account.
In the more gênerai ternis of mechanics it m a y be said t h a t the surface (oil) layer a n d the lower (water) layer forni a coupled System. In the following study t h e behaviour of this coupled system of fluids will be investigated; first in ternis of its mechanical properties, and t h e n in terms of t h e n a t u r a l regimens of propagation (*), a n d characteristics, which thèse mechanical properties introduce.
The rate of change m o m e n t u m caused by this force is t h e n
The équation of motion is thus
ou , du . /aht) . \ n
The équation of continuity merely equates the increase in volume to the nett inflow for any fluid élément. If élément ABCD is chosen it is readily seen t h a t
increase in volume = dhdx = —— dtdx dt
net inflow = d (w/ï) d t = ( h ~ + u~)dxdl
\ ox oxj whence the équation of continuity becomes
dh , , du , dh n / n.
The équations and characteristics for one dimensional propagation
It will be convenient to begin this discussion of coupled flow p h e n o m e n a with the case of oil being discharged into water in a long straight uniform canal. It will be assumed t h a t the motion of the fluid is effectively horizontal, so that the pressure distribution t h r o u g h the fluid m a y be t a k e n as for a hydrostatic System (Réf. 2 p . 258). On t h e basis of thèse assump- tions, the pressure, p, at a distance z from the bed is given, for the System depicted in élévation in Fig. 1, by the relation.
p=p(x, z) = Xz0g (ft0 + h — z)
Consider now an élément of fluid of unit width, length dx and thickness dz, situated in the oil. The nett force acting on this élément, dpdz, will be given by
dpdz — dxdz = lg0g dh0 . dh\ , , 9 F + te) dx dz (*) By a n a t u r a l r e g i m e n of p r o p a g a t i o n is m e a n t t h e e n s e m b l e of p h y s i c a l c o n d i t i o n s w h i c h o b t a i n d u r i n g t h e n a t u r a l (free or unforced) p r o p a g a t i o n of a p h y s i c a l s t a t e . This t e r m t h e n t a k e s l i t t l e n o t e of t h e magnitudes of t h e q u a n t i t i e s involved (énergies, fluid velocities, wave h e i g h t s , etc.), b u t is concerned m a i n l y w i t h t h e distribu- tion of t h è s e q u a n t i t i e s (e.g. w i t h t h e e q u i p a r t i t i o n of énergies a n d t h e w a v e celerities w h i c h a r i s e on account of t h a t e q u i p a r t i t i o n ) .
If now the fluid élément is situated in the water. the pressure distribution is defined by
p = p (x-, z) = ç0g (770 + Ih — z) whence the équation of motion becomes
3" l L+ U o_ g l o . + g
dt dx
oil, density \
huiie, densité 'o
water, density
eau, densité ?3
'///////////////////////////////s
Fia. 1
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The équation of continuity l'or water takes the same form as for the oil :
dx = 0 (4) Equations ( 1 ) to (4) define the gênerai proper- ties of a fluid system composed of two layers of fluid of différent densities. It will be seen that, within this system, the subsidiary S y s t e m s ,
formed by the upper and lower layers, are coupl- ed only through the last terms in the équations of motion, i.e. through the pressures exerted at the fluid interface. The entire coupled S y s t e m
can then be arranged, together with its équa- tions of variation, in the m a t r i x form
u l g r O O O f l r O
h 0 u 1 0 0 0 0
dx dt 0 0 0 0 0 0
( 5 ) 0 0 dx dt 0 0 0 0
0 0 \g 0 u0 1 9 0
0 0 0 0 7Î0 0 u0 1
0 0 0 0 dx dt 0 0
0 0 0 0 0 0 dx dt
The directions of the characteristics are then defined by the values of dx/di for which the 8 X 9 matrix, formed from the left h a n d coeffi- cient matrix and the right h a n d column vector, is of r a n k 7 (réf. 14).
If now this matrix is rearranged, and x is written for dx/dt, ù for du/dt etc, it may be expressed in the form
—
du 0 0
du 0
dt 0 dh da dx da dh
dt dh du0
dx 0 0
du0
dt 0 0
dha
dx diiv dK
dt dh0
_
(Il X ) o (1 0 0 0 fi 0 — il h 0 (n — x ) o 0 0 0 0 — h x 1 0 0 0 0 0 0 ù
0 0 x 1 0 0 0 0 h
0 0 \<7 0 ( « o — x) 0 fi 0 — i i0
0 0 0 0 K 0( i /0 •x) 0 — / i o
0 0 0 0 x 1 0 0 ù0
0 0 0 0 0 0 X 1 h0
(6)
The condition t h a t the first 8 X S déterminant of this m a t r i x be zéro defines the characteristics directly, this condition reducing, by excluding rows and columns containing a single unity, to
(•« — i ) g 0 g
h (u — x) 0 0
0 1g c«o — a
0 0 h0 ( « o —
= 0
or
G = [(u — x)2 •9h] [tuQ — x)2 — gh0]
— lg2hh0 = 0
(7)
This is a quartic équation in x, and t h u s in gênerai defines four characteristic directions at any point P (x, t). For ail problems involving the spreading of a shallow fluid over a deep fluid of greater density, ail four characteristics will be real. The arithmetical solution of équa- tion (7) présents considérable difïiculties, but it is not intended, in this study, to use équation (7) as a means of deriving characteristic directions.
It will be used instead to develop a new theo- rem, whereby, for practical purposes, the need of a gênerai solution m a y be circumvented.
Before proceeding to this theorem, however, it is necessary to re-define certain well-known concepts of solid body mechanics in t e r m s of fluid mechanics.
T h e number of degrees of freedom and the effect of coupling
on a fluid system
In solid body mechanics the total n u m b e r of independent quantifies required to specify the configuration of any system is called the n u m - ber of degrees of freedom of the system. On the basis of the usual interprétation of this défi- nition a fluid has an infinité number of degrees of freedom, corresponding to the infinité n u m - ber of p a r t s of which it is assumed to be compos- ed, This m a y be termed a " c o n t i n u u m " inter- prétation of the n u m b e r of degrees of freedom of a fluid system. If, however, the above défini- tion is made to apply to any particular place and time, i.e. to a point P {x, t), the sort of fluid system considered here is seen to be specified by only a finite number of quantifies, in this case 4; /?, 7i0, u and n( ). This then is a « localis- ed » interprétation of the number of degrees of freedom of a fluid system, and it is the one which will be used here. J u s t as the n u m b e r of degrees of freedom of a solid body system refers
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G = [ { u - * }2~ g h ] [ ( uc- x !2- g h0] - \ gzh h0
FIG. 2
to its capacities for motion, so, for a fluid S y s - tem, the corresponding number refers to the capacities for wave propagation of the various parts of the System. It t h u s corresponds iden- tically to the number of possible regimens of propagation or, which is the same thing, the n u m b e r of characteristics (*).
Now it is well known that the n u m b e r s of degrees of freedom of a system are additive, and, in j u s t the same way, the n u m b e r s of characteristics of a system can be shown t o be additive also. On this basis, the n u m b e r of characteristics obtaining in the coupled system considcred above is seen to represent the s u m of the numbers of characteristics of the two consti- tuent S y s t e m s ; two characteristics then apper- taining to the surface system, a n d two to the lower s y s t e m .
If now the expression G, of équation (7), is plotted for a n y point P (.x, t) the resulting curve will have the form showm in Fig. 2. The four characteristics roots of G m a y then be divided into two classes; an inner class, Cj, correspond- ing to the surface system, and an outer class, Co, corresponding to the low^er system, Each of
(*) R e f e r r i n g to t h e w e l l - k n o w n case of a v i b r a t i n g u n i f o r m string, t h i s différence of i n t e r p r é t a t i o n is seen to dérive, e s s e n t i a l l y , from t h e différence between s t a n d i n g waves a n d tvave's of t r a n s l a t i o n . T h e f o r m e r i n t r o d u c e , w i t h t h e c o n t i n u u m i n t e r p r é t a t i o n , a b e - h a v i o u r defined b y a n infinité n u m b e r of n o r m a l modes e s t a h h s h e d over a fini te i n t e r v a l . The latter, accord ing to the localisée! i n t e r p r é t a t i o n , give rise t o only t w o n a t u r a l r e g i m e n s of p r o p a g a t i o n a t a p o i n t P (x, f ) , thèse corresponding to t h e two q u a n t i t i e s (e.g. position and r a t e of change of position) r e q u i r e d to describe t h e configuration of t h e system at a p o i n t in t h e space of t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s .
thèse classes m a y be subdivided into one back- w a r d facing (C_) characteristic, and one forward facing ( C+) characteristic. The reason for the actual arrangement of thèse characteristics in Fig. 2 will appear later.
In the above discussion the lerm "coupling"
was used rather l o o s e l y to describe the linking together of two fluid S y s t e m s into one complète sj^stem. This was suffîcient to relate the cha- racteristics of the coupled system to the charac- teristics of its component parts. To continue further, however, it is n e c e s s a r y to defme coupl- ing more rigorously, and especially to give it some quantitative connotation, at least for the two layer system considered here.
In ail the following discussion two fluid bodies will be said to be coupled when energy can be exchanged between them. The extent of the coupling will then b e supposed to dépend upon the magnitude of the e n e r g y exchanged, so thaï the component parts of a coupled s y s t e m will become less strongly coupled as the e n e r g y e x -
changed between them is reduced. This parti- cular condition arises, for the sort of flows considered here, when the ratio h/h o Decomes small, for then the influence of the spreading upper fluid on t h e lower fluid is altogether small.
Thus two c o m p o n e n t Iluid S y s t e m s of the t y p e
considered m a y be said to be less strongly coupled w h e n the ratio h/h0 decreases, and la become completehj uncoupled in the limit as (h/h0) —> 0. Depending on h o w this limit is approached, so one or the other of the compon- ents m a y be said to be uncoupled from its neigh- bour. If the limit is approached with h remain- ing fmite (so that / 70 goes to infmity) the surface system is said to be uncoupled from the lower system. If the limit is approached with hi}
remaining fmite (so that h goes to zéro) then the lower system is said to be uncoupled from the
surface system. The former case corresponds, in terms of oil and water, to an oil layer overly- ing a fluid of infinité depth, whiîe the latter case represents water of finite depth, covered with only an i n f i n i t e s i m a l l y thin film of oil.
The équations of the characteristics for thèse uncoupled S y s t e m s m a y be obtained by follow- ing the above limiting processes mathematicaliy.
If équation (7) is re-arranged in the form [(« — x)* — gh] ( u0 — ± )2
_ [(„ _ i) 2 _ gh + Igh] (gh0) = 0, then, in the limit, as (h/hu) —> 0 with h finite,
FII—-iO2 — gdl — X) h = O (8) This équation defines the characteristics of the uncoupled surface system, the characteris-
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tics of the lower system bcing then transportée!
to infinity.
If, now, équation (7) is re-arranged in the form
[ ( « o — i ' )2 — gh0] (u — x)2
— [ K — x)2 — gh0 + gh0] (gh) = 0.
and the limit of G is taken as (h/h0) 0 with 770 finite, the équation takes the form
[(«o — ^ )2 — fl*o] (" — = 0
This équation remains a quartic, but one in which the two roots corresponding to the inner characteristic coincide. In this case, therefore, the twro wave characteristics of the surface fluid ( C1 + and Cl m) degenerate to a single particle p a t h (€0) characteristic, as is appropriate to a fluid layer which is so t h i n as to be incapable of transmitting energy. F r o m t h e point of view of the lower system, which is then uncoupl- ed, this particle p a t h characteristic is irrelevant, and the wave characteristics are defined by
[(w0 — x)2 — ghQ] = 0 which is again a simple quadratic in x.
h = 1 1 h =10 u0=î X = 0,8 g^10 FIG. 3
Theorem : Non-dissipative coupling séparâtes the characteristics
A n e w theorem in fluid mechanics
The curves corresponding to équations (7), (8) and (9) are shown, for a typical fluid S y s - tem, in Fig. 3. This figure shows the effect of coupling upon the values of t h e characteristic directions. It is seen that the effect of coupling is to cause the Q characteristics to move closer together and the C2 characteristics to move fur- ther apart. The nett effect is t h a t the characte- ristics of the two S y s t e m s become more séparât- ed. This situation corresponds, at any point in the xt plane, to a rotation of the characteristics in such a m a n n e r that, again, the characteristics of the two Systems become more separated.
There is here apparent, in effect, a généra- lisation of the theorem of h a r m o n i e motions which states t h a t
non-dissipative coupling séparâtes the natural frequencies.
This theorem, which was first stated by Ray- leigh, and proved generally by Routh (Réf. 1 p. 122, Réf. 9 p. 18) m a y be expressed in terms of fluid mechanics, in the following
This theorem is easily proved for the two layer system considered in this study. It is first necessary to note that, when £ = r t oo, the expression G is ahvays positive. This détermines the orientation of Fig. 2. If now the values of x appropriate to the uncoupled lower system are entered in G, that expression becomes
which is always négative. T h u s the curve of G cuts the x axis between the values of x appro- priate to the uncoupled lower system and the infinities of the same sign as the root consider- ed. Similarly, if t h e values of x appropriate to the uncoupled lower system are entered in G, one obtains
[g{l — \)h — gh-\ [(u0 — x)2 — gh0]
—> lg2hh0 — — glh (x •— u0)2, which is again always négative. It then follows, by virtue of the form of the quartic curve, t h a t the inner characteristics of the coupled system lie inside those of the uncoupled system. Com- bining this resuit with t h a t obtained for the lower system leads to the theorem t h a t coupl- ing séparâtes the characteristics. This proof, which follows t h a t used in the study of vibrât- ing S y s t e m s , m a y be generalised to any n u m b e r
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of degrees of freedom, i.e. to a n y n u m b e r of fluid layers.
Referring back to Fig. 3, t h e séparation due to coupling can be clearly seen; b u t it is aîso very évident from this diagram t h a t t h e sépara- tion m a y be very small. T h u s , even for t h e S y s - t e m illustrated in Fig. 3, which, by t h e stan- d a r d s of this investigation, is r a t h e r strongly coupled, t h e inner characteristics a r e only dis- placed through a few degrees of a r c . It t h u s becomes a p p a r e n t that, if t h e components of a system a r e only ïightly coupled, then t h e cha- racteristics of t h e coupled system m a y be clo- sely approximated by t h e characteristics of its uncoupled components. T h e conséquences of this observation will be investigated later. F r o m the point of view of t h e characteristics it remains only to note that, if a constituent S y s - tem is assumed to be uncoupled, t h e n a m e a s u r e of t h e errors introduced into t h e characteristic directions by this assumption is provided by t h e degree of séparation of t h e characteristics i n t h e process of coupling.
T h e surface system
The wave characteristics described above define t h e p a t h s foilowed b y t h e energy i n a n xt " s p a c e " ('*). If n o w this energy is conserved along its propagation paths, i.e. along t h e cha- racteristics, then t h e functions by which this energy is represented mathematically will r e m a i n invariant along thèse characteristics.
Invariant functions which arise in this w a y a r e called Riemann Invariants (Réf. 2 p . 482, Réf. 3 p. 87). Now in a coupled system, w h e r e energy is exchanged between t h e components of t h e system, t h e energy of a n y one component will not, in gênerai, be conserved. T h u s t h e func- tions described above will n o t generally remain invariant along t h e characteristics of a coupled system. If, howeyer, t h e components of t h e S y s - tem a r e only Ïightly coupled, so t h a t t h e energy exchanged is small, t h e n t h e invariant proper- ties of thèse functions m a y in fact be only a iittle affected. Such functions will t h e n be " a l m o s t
i n v a r i a n t , " a n d m a y accordingly be called
" quasi-invariants. "
The expression which defines t h e quasi-inva- r i a n t s of t h e flow system considered here m a y be derived from m a t r i x (6) by taking a n y 8 X 8 déterminant, other t h a n that used to obtain (7),
(*) T h e c h a r a c t e r i s t i c s m a y i n fact b e i n t e r p r e t e d p h y s i c a l l y a s t h e p r o p a g a t i o n p a t h s of energy p u i s e s i n t h e space of t h e d é p e n d e n t a n d i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s . The c h a r a c t e r i s t i c s defined h e r e a r e i n fact t h e b a s e c h a r a c t e r i s t i c s , i.e. t h e p r o j e c t i o n s of t h e characteristics in t h e space of t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s (Réf. 14).
and equating this to zéro (Réf. 14). Foilowing this process, a n d neglecting in i h e matrix those rows a n d columns containing a single unity, gives t h e relation
(u — x) g 0 h (u — x) 0
0 \q du — x) 0 0 /i„
— u
— « o
— fin
= 0
or
[(u — x)2 — gh] [h0 ( a0 — x) — h0ùQ]
— lgh0 [hù — h (u — x)] =0 (10) This is an équation governing t h e variations in t h e flow quantities along directions, .t, which are necessarily characteristic. Now it h a s been suggested above t h a t t h e characteristic directions appertaining to one component of a Ïightly coupled system m a y be approximated by t h e characteristic directions of t h e same component w h e n it i s uncoupled. Applying this proposition to t h e surface system leads to characteristic directions defined by
x = u±z\g(l— l)h\v> (8A) Substituting (8A) in (10), simplifying, integrat- ing from state I, at time tl9 to state II, at time t2, a n d neglecting u0, gives
- r \ r
j d / i0 + [u] ? [ 2 ^ ( 1 — X ) A H i " = 0 Thus
±AaSL=2àJiYA
+ [«n + 2 ^ ( l — X ) / IN^ ]
_ [ „ I + 2 ^ ( 1 — « A x H = 0
along the C1 + characteristic, and
( i l ;
h0
+ [ o „ — 2 ^ ( 1 — X) hn}*]
— [Ul — 2\g(l— X) hr\*] = 0 along the C]_ characteristic.
Thèse, then, are the quasi-invariants for a
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lightly coupled system (*). I n t h e uncoupled state, when (h/ho) 0, with h fini te, thèse rcduce to
u + 2 \g (1 — X) h \Vi = constant = a
along t h e C1 + characteristic, and (12) u — 2 \g (1 — X) h\* = constant == (i
along t h e characteristic.
Thèse simple form s of t h e invariants also obtain when t h e variation in hQ is zéro, this representing a condition which occurs in practice in a région of constant state (Réf. 14).
ïn t h e above dérivation of t h e invariants t h e équations of t h e coupled system have first been employed to détermine a gênerai solution, t h e limit conditions only then being applied to déter- mine t h e invariants for t h e lightly coupled a n d uncoupled Systems. It is also possible, however, to proceed ofherwise, a n d to investigate t h e effects of applying t h e limit condition to t h e ori- ginal équation system (1) to (4). This limit condition lias been interpreted, in t h e preceding section, as representing t h e lessening influence of t h e surface layer on t h e lower layer as t h e limit is approached. F r o m t h e point of view of flow in t h e lower layer this implies t h a t the velocities a n d accélérations there, u0 a n d Du0/Dt will also, in t h e limit, tend towards zéro. Then, in t h e limit, as (h/h0) - » 0, a n d (Du0/Df) -> 0, équation (3) becomes
(*) The n u m e r i c a l values of t h e i n t é g r a i s i n t h e q u a s i - i n v a r i a n t s , (11), a r e generally small, suggesting t h a t , if t h e o t h e r t e r m s i n t h e é q u a t i o n s of t h e c h a r a c t e r i s t i c s
\vere included, t h e n a n u m b e r of t e r m s of m a g n i t u d e c o m p a r a b l e 'with t h a t of t h e intégral in (11) m i g h t r e s u i t . If this in fact oecurred, t h e n (11) w o u l d n o t r e p r e s e n t a good a p p r o x i m a t i o n for t h e q u a s i - i n v a r i a n t s . However, Ihe a u l h o r h a s investigated a n u m b e r of sep a r a t e cases n u m c r i c a l l y , a n d found t h a t thèse a d d i t i o n a l t e r m s a r e in fact sufhciently s m a l l to be neglected.
dx dx
whence
dx
dh
dx (3A)
Then équation (1) m a y be uncoupled from équation (3) to become
du , du , dh
-X) dx The équation of continuity remains
dh , , du , dh - d f + h ^ + U ^ •0
: 0 (IA)
(2) The characteristic forms are then defmed by the condition that the following 5 X 4 m a t r i x should be of r a n k 3 :
0 (u — x) 0 0 A 0
1 x 0
0 0 1
g (1 _ 1) _ à (u—x) —h
0 ù x h
(10)
This condition again gives
(u — x2)—g(l — X) h = 0 (8) and
u + 2 \g(X ~ X) h\1Â = constant = a along t h e C1 + characteristics,
u — 2 \ g (1 — X) h YA = constant = p along the C I _ characteristics.
The équivalence of t h e two approaches is t h u s demonstrated.
(To be continued.)
BIBLIOGRAPHY
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OCTOBRE 1 9 6 1 - N ° 5 M. B . A B B O T T 629
De l'étalement d'un fluide sur un autre
PAR M . B . ABBOTT
RESEARCH ENGINEER
COASTAL ENGINEERING LAHORATORY, TECHMCAL UNIVERSITY OF DENMARK
(Voir les illustrations avec le texte anglais P . 622)
Bien que le présent mémoire traite surtout de l'étalement de l'huile sur Veau, l'auteur aborde également le problème général de la détermina- tion de la nature et de la vitesse d'étalement d'un fluide incompressible quelconque sur un second fluide, de densité plus élevée. Le mémoire
comporte trois parties.
PREMIÈRE PARTIE
Les deux couches fluides sont considérées comme étant les composantes d'un système couplé, et une équation générale est déduite exprimant les caractéristiques de ces couches.
L'auteur apporte une nouvelle définition du nombre de degrés de liberté correspondant à un tel système fluide, et met ce nombre en relation avec le pouvoir de propagation d'ondes du sys- tème. Il met ensuite en rapport le nombre de caractéristiques d'un système couplé, et le nombre de caractéristiques fluides du mente système, et il identifie les deux types de composantes non couplées. Il montre que le cou- plage provoque la séparation des caractéristi- ques des composantes, et que le fluide super- ficiel se comporte comme un système non couplé, lorsque ta couche fluide inférieure est beaucoup plus profonde que la couche super- ficielle. Après un examen des invariants de Riemann et des « quasi-invariants » de ce système non couplé, l'auteur obtient une mé-
thode permettant la résolution des problèmes d'étalement rectiligne.
DE UXIÈME PA R 'VIE
Xe problème analogue d'une rupture de bar- rage est examiné, en introduisant la notion d'un « front d'onde », afin de permettre une meilleure explication du comportement observé au cours des expériences. Le front du fluide superficiel est étudié d'une manière analogue, et les relations existant à ce front sont sou- mises à une nouvelle vérification expérimen- tale.
TROISIÈME PARTIE
Les équations et les caractéristiques correspon- dant à un écoulement radial sont déduites, dans cette troisième partie du mémoire. Les caracté- ristiques sont identiques à celles correspondant à un écoulement rectiligne, mais leurs pro- priétés d'invariance sont différentes.
L'auteur étudie ces propriétés, et élabore une méthode permettant la résolution de problèmes ayant trait à l'écoulement radial d'un fluide sur un autre.
Le mémoire se termine par une comparaison entre la présente étude et des études antérieures sur le même problème.
P R E M I È R E P A R T I E
D É V E R S E M E N T D ' H U I L E D A N S U N C A N A L
A la suite d'une collision subie p a r u n grand pétrolier dans l'estuaire de Southampton pen- d a n t l'hiver 1959-1960, plusieurs centaines de tonnes d'huile ont été déversées dans le chenal d'accès du port. Cette huile n'a heureusement pas pris feu, mais l'accident a nettement mis en évidence les dangers que peut présenter un lel déversement pour les installations des ports et
pour la navigation. En présence de ces risques, l'Administration du port de Southampton lit entreprendre des études sur les conséquences d'un épandage d'huile sur de l'eau. Une étude des incendies dus à l'huile dans d'autres ports souligna non seulement la n a t u r e catastrophique de tels accidents, mais mit également en évi- dence un fâcheux m a n q u e de connaissances
6 3 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 5-OCTOBRE 1 9 6 1
q u a n t à îa manière dont l'huile s'étale sur Peau.
On conçoit l'importance d'une bonne connais- sance de ce phénomène d'étalement, et surtout de la vitesse de propagation du fluide répandu, pour la détermination de l'espacement optimal des bateaux dans des ancrages de dimensions réduites, car il s'agit dans ces conditions, sur- tout de déterminer et de confronter d'une part, le temps disponible avant que l'huile se déver- sant d'un bateau n'atteigne le bateau voisin, et, d'autre part, le temps nécessaire pour déplacer ce dernier bateau. Il est également important, dans le cas où l'on envisage des barres de fer- m e t u r e de port de savoir de combien de temps l'on dispose pour m a n œ u v r e r la barre avant que Phuile ne l'atteigne, et de connaître, dans une certaine mesure, les vitesses et les profondeurs de la couche d'huile susceptibles d'exister près de la b a r r e .
Dans le but de résoudre ces divers problèmes, l'auteur fut chargé d'étudier l'étalement de Phuile sur l'eau, et de m e t t r e au point u n e méthode p e r m e t t a n t de calculer la vitesse d'éta- lement maximale. E t a n t donné les très impor- tants volumes d'huile à p r e n d r e en compte, ainsi que la grande variabilité des caractéristiques de ce fluide, l'étude faisant l'objet du présent mémoire s'est limitée à la considération des écoulements de gravité et de densité, p e r m e t t a n t ainsi de négliger l'influence des phénomènes de rugosité et de tension superficielle. La théorie utilisée est valable p o u r tout étalement d'un fluide sur u n deuxième fluide plus dense, sous réserve, toutefois, des limitations mentionnées ci-dessus.
Une fois déversée sur Peau, l'huile s'étale rapidement, et, en ce faisant, déplace un certain volume d'eau, provoquant ainsi u n certain mou- vement de Peau. Le mouvement de Phuile est donc lié à u n mouvement de Peau, et il paraît logique que toute étude portant sur le mouve- ment de Phuile doive également tenir compte de ce mouvement induit. Dans les ternies plus généraux de la mécanique, ceci revient à dire que la couche superficielle (huile) et la couche inférieure (eau) forment ensemble u n système couplé. On examinera, dans la présente étude, le comportement de ce système de fluides cou- plés, d'abord en fonction de ses propriétés mécaniques, et ensuite, en fonction des régimes de propagation naturels (*), et des caractéristi-
(*) On e n t e n d p a r le t e r m e « régime de p r o p a g a t i o n n a t u r e l », l ' e n s e m b l e des p h é n o m è n e s p h y s i q u e s p r é s e n t s d a n s la p r o p a g a t i o n n a t u r e l l e (c'est-à-dire libre, non forcée) d ' u n é t a t p h y s i q u e . Ce t e r m e t i e n t donc peu compte des grandeurs des q u a n t i t é s en j e u (énergies, vitesses des fluides, a m p l i t u d e s d'onde, etc.) m a i s a p r i n - c i p a l e m e n t t r a i t à la répartition de ces q u a n t i t é s (par exemple à l ' é q u i r é p a r t i t i o n des énergies et des célérités d'ondes r é s u l t a n t de cette é q u i r é p a r t i t i o n ) .
ques introduites à leur tour p a r ces propriétés mécaniques.
Equations et caractéristiques d e la propagation unidimensionnelle Il convient d'aborder cet examen des phéno- mènes d'écoulement couplé en considérant en premier lieu le cas d'un déversement d'huile dans une masse d'eau contenue dans u n long canal rectiligne et uniforme. Le mouvement du fluide sera supposé effectivement horizontal, ce qui permet d'assimiler la répartition des pressions à travers le fluide à un système hydro-statisque [2, p . 258]. Sur la base de ces hypothèses, la pres- sion p à une distance z du fond est donnée, p o u r le système représenté en coupe verticale p a r la fig. 1, p a r la relation :
p = p (x, z) = lç0g (ft0 + / I — z)
Considérons m a i n t e n a n t un élément fluide de largeur égale à l'unité, de longueur dx et d'épais- seur dz} cet élément étant situé dans Phuile. La force nette à laquelle est soumis l'élément, dpdz} sera donnée p a r
dpdz - ^ 2 - dxdz ••
dx = ho9
Le t a u x de variation de la quantité de mouve- ment, dû à cette force, est alors :
Et, nous avons p o u r l'équation du mouve- ment :
du , du . /dhn df + ^ + n ^
dh
dx = 0 (D L'équation de continuité exprime seulement u n e égalité de l'accroissement du volume et du débit d'alimentation de n'importe quel élément fluide. E n choisissant l'élément ABCD, nous voyons aisément que :
Accroissement du volume
= dhdx = dtdx dt
Débit net d'alimentation
d CuTi) dt = (h | ^ + u~) dxdt
\ dx dx) D'où, l'équation de continuité devient :
dh 7 du . dh n
—r + h ~ \~ u — = 0
or ox dx
(2)
OCTOBRE 1 9 6 1 - N ° 5 M . B . A B B O T T 6 3 1
Mais, si l'élément fluide est situé dans l'eau, la répartition des pressions est définie p a r
p = p(x, z) = ?0g (h0 + lh — z) ce qui fournit l'équation de mouvement :
^ L + „ 0 ^ + g2 t o . + x | * - = 0 (8) dt dx dx dx L'équation de continuité pour l'eau p r e n d la même forme que celle p o u r l'huile :
dt dx dx ( 4 )
Les équations ( 1 ) à ( 4 ) définissent les proprié- tés générales d'un système fluide constitué de deux couches fluides de densités différentes. On verra que, dans ce système, les systèmes subsi- diaires constitués p a r les couches supérieure et inférieure sont couplés u n i q u e m e n t p a r les der- niers termes de l'équation de mouvement, c'est- à-dire p a r les pressions exercées à l'interface fluide. On p e u t alors disposer l'ensemble du sys- tème couplé, y compris ses équations de varia- tion, sous forme matricielle :
II 1 9 0 0 0 9 0 h 0 u 1 0 0 0 0 dx dt 0 0 0 0 0 0
0 0 dx dt 0 0 0 0 0 0 0 « 0 1 9 0 0 0 0 0 ho 0 u0 1 0 0 0 0 dx dt 0 0 0 0 0 0 0 0 dx dt
_ , —
du 0 dx 0 du 0 dt 0 dh du dx du dh
dt dh du0
dx 0 0 du()
dt 0 0 dh,
dx dun dh,
dt dh0
( 5 )
Les directions des caractéristiques sont alors définies p a r les valeurs de dx/dt pour lesquelles la matrice 8 X 9 , formée à p a r t i r de la matrice de coefficients de la partie gauche et du vecteur de la colonne de droite, est du r a n g 7 [ 1 4 ] .
Si, m a i n t e n a n t , nous modifions la disposition de cette matrice, et nous posons x pour dx/dt, ù pour du/dt, et ainsi de suite, elle peut être expri- mée sous la forme :
— x) 0 9 0 0 0 a 0 — lï h 0 (u — x) 0 0 0 0 0 — h x 1 0 0 0 0 0 0 ù
0 0 x 1 0 0 0 0 h
0 0 0 ( " 0 X) 0 a 0 ~~~ *>0 0 0 0 0 h0 0 ( w0 c) 0 — / i0
0 0 0 0 X 1 0 0
0 0 0 0 0 0 x 1 ho
(6)
La condition exigeant que le premier déter- m i n a n t 8 X 8 de cette matrice soit nul définira les caractéristiques directement; si nous excluons
les rangées et colonnes ne contenant qu'une seule unité, cette condition se réduit à :
(u — x) g 0 g
h (u — x) 0 0
0 Ig (u{i — x) g
0 0 7i0 (M„ — x)
= 0
s o i t
G = [(H — x)2- gh] [(u0 — z)2 — ahQ]
— AFLR2/IAO = 0 ( 7 )
Cette équation est une équation du quatrième degré en x et définit ainsi, en général, q u a t r e directions caractéristiques en n'importe quel point
P (x, t). D a n s tous les problèmes concernant l'étalement d'un fluide superficiel sur un fluide en profondeur, de densité supérieure, ces qua- t r e caractéristiques demeurent toutes valables.
La résolution n u m é r i q u e de l'équation ( 7 ) pré- sente des difficultés considérables, mais nous n'avons pas l'intention, dans la présente élude, d'utiliser cette équation pour déterminer des directions caractéristiques quelconques. Elle nous servira plutôt à développer u n nouveau théorème nous p e r m e t t a n t de nous soustraire, dans les cas pratiques, à la nécessité de disposer d'une solution générale. Cependant, avant de développer ce théorème, nous a u r o n s à formuler en fonction de la mécanique des fluides, de nou- velles définitions pour certaines notions classi- ques dans la mécanique des corps solides.
Le nombre de degrés de liberté, et Pinfluence du c o u p l a g e
sur un système fluide
Dans la mécanique des corps solides, le nom- bre total des quantités indépendantes nécessaires pour préciser la configuration de n'importe quel
632 LA H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - OCTOBRE 1 9 6 1
système s'appelle le nombre de degrés de liberté du système. Selon l'interprétation classique de cette définition, u n fluide possède u n nombre infini de degrés de liberté, correspondant au nombre infini de parties dont le système est sup- posé être composé. On peut dénommer cette interprétation l'interprétation « en continu » du nombre de degrés de liberté d'un système fluide.
Cependant, si l'on applique cette définition à un lieu et un temps quelconques, c'est-à-dire à un point P (x, t), on voit que le genre de système fluide considéré ici n'est défini que p a r un nom- bre fini de quantités, soit, dans notre cas, p a r quatre : h, h0, u et zi0. Il s'agit donc d'une inter- prétation « localisée » du nombre de degrés de liberté d'un système fluide, interprétation que nous utiliserons pour la présente étude. Tout comme le nombre de degrés de liberté d'un sys- tème de corps solides a trait à la capacité de mouvement de ce système, de même, dans le système fluide, le nombre correspondant exprime les capacités de propagation d'ondes des diverses parties dudit système. Ce nombre cor- respond donc, de manière identique, au nombre de régimes de propagation possibles, ou bien, ce qui revient au même au nombre de caracté- ristiques (*).
Or, on sait que les nombres de degrés de liberté d'un système s'additionnent, et l'on peut démontrer que, exactement de la même façon, les nombres de caractéristiques d'un système s'additionnent également. Sur cette base, on voit que le nombre de caractéristiques présentes dans le système couplé considéré ci-dessus représente la somme des nombres de caractéristiques des deux systèmes dont ce système couplé est constitué;
deux des caractéristiques appartiennent alors au système superficiel, et deux autres au système inférieur.
Si, maintenant, nous traçons la courbe figu- r a n t l'expression G de l'équation (7) en fonction des points P (x, t), nous constatons que sa forme est celle de la fig. 2. Les quatre racines caracté- ristiques de G peuvent alors être divisées en deux classes ; une classe intérieure, Cx, corres- p o n d a n t au système superficiel, et une classe extérieure, C2, correspondant au système infé- rieur. On peut diviser chacune de ces classes en, d'une part, u n e caractéristique orientée vers
(*) Le cas b i e n c o n n u d ' u n e corde u n i f o r m e v i b r a n t e m o n t r e que cette différence d ' i n t e r p r é t a t i o n découle e s s e n t i e l l e m e n t de la différence e n t r e les ondes s t a t i o n - n a i r e s et les ondes de t r a n s l a t i o n . Avec l ' i n t e r p r é t a t i o n en continu, les p r e m i è r e s i n t r o d u i s e n t u n c o m p o r t e m e n t défini p a r u n n o m b r e infini de modes n o r m a u x établi p e n d a n t u n i n t e r v a l l e fini; p a r c o n t r e , les ondes de t r a n s l a t i o n n e d o n n e n t lieu, d'après l ' i n t e r p r é t a t i o n loca- lisée, q u ' à d e u x r é g i m e s n a t u r e l s de p r o p a g a t i o n en u n p o i n t P (x, t), lesquels c o r r e s p o n d e n t a u x deux q u a n t i t é s (par exemple, position et vitesse de v a r i a t i o n de posi- tion) nécessaires p o u r définir la configuration du système en un p o i n t d a n s l'espace des v a r i a b l e s i n d é p e n d a n t e s .
l'arrière (C_), et, d'autre part, une caractéris- tique orientée vers l'avant ( C+) . La raison pour
laquelle ces caractéristiques ont été disposées de la manière montrée p a r la fig. 2 deviendra évidente p a r la suite.
Dans la discussion précédente, l'expression
« couplage » a été employée assez largement pour décrire le couplage de deux systèmes flui- des, constituant u n système unique complet.
Cette définition suffisait pour établir la relation entre les caractéristiques du système couplé et celles des parties le constituant. Cependant, avant d'aller plus loin, il sera nécessaire de défi- nir le couplage d'une manière plus rigoureuse, et surtout de lui donner une signification quantita- tive, du moins pour le système à deux couches considéré dans la présente étude.
Dans l'ensemble de la discussion suivante deux masses fluides seront considérées comme étant couplées lorsqu'il p o u r r a se produire u n échange d'énergie entre elles. Le degré de couplage sera alors supposé dépendre de la grandeur de l'énergie échangée, c'est-à-dire que le couplage des parties constituantes d'un système couplé sera d'autant moins accusé que l'énergie échangée sera moindre. Cette condition particulière se présente, pour les écoulements considérés dans la présente étude, lorsque le r a p p o r t h/h0 dimi- nue, car dans ces conditions, l'influence globale du fluide supérieur s'étalant sur le fluide inférieur est faible. Il s'ensuit que des systèmes fluides à deux composantes, du genre considéré dans la présente étude, seront moins fortement couplés lorsque le rapport h/h0 diminuera, et qu'ils ne seront plus couplés du tout, lorsque à la limite, (Ii/h0) 0. On p o u r r a considérer l'une ou l'au- tre de ces composantes comme n'étant plus couplée à la composante qui lui est voisine, sui- vant la manière dont on s'approche de cette limite. Si au voisinage de la limite, la valeur de h reste finie (c'est-à-dire que 7 * - > c o ) , le sys- tème superficiel est considéré comme n'étant plus couplé au système inférieur. Mais si, au contraire, la valeur de h0 reste finie au voisi- nage de la limite, (c'est-à-dire que h ~> 0) on considérera le système inférieur comme n'étant plus couplé au système superficiel. Le premier cas correspond, pour l'huile et l'eau, à une couche d'huile recouvrant u n fluide de profon- deur infinie, alors que le deuxième cas repré- sente une masse d'eau de profondeur finie, et recouverte d'un film d'huile d'infiniment faible épaisseur. Les équations des caractéristiques de ces systèmes non couplés peuvent être obtenues en suivant m a t h é m a t i q u e m e n t les procédés aux limites évoqués ci-dessus.
En posant l'équation (7) sous u n e autre forme, nous avons :
[ ( U _ i ) 2 _ f lr A ] ( W o_ i ) 2
— [(u — x)* — gh + Igh] (gh0) = 0,
OCTOBRE 1961 -N° 5 M. B. A B B O T T 633
et, à la limite, lorsque (h/h,) -> 0, h étant de valeur finie :
( . U_ i) 2_fl r( l _A) /ï = 0 (8) Celte dernière équation définit les caractéris- tiques du système superficiel non couplé, les caractéristiques du système inférieur étant, dans ces conditions, transportées à l'infini.
Si nous écrivons l'équation (7) sous la forme :
T(«o — * )2 gh,] (u — x)2
- [ ( H0 — i ) 2 _ gh, + ghQ] (gh) = 0.
et nous prenons la limite de G comme étant (h/h0) O,
la valeur de h0 étant finie, l'équation prend la forme :
[(uQ — x)* — gh0] ( u _ i) 2 = 0
Cette équation reste une équation du qua- trième degré mais dont les deux racines corres- pondant à la caractéristique intérieure sont coïncidentes. Il s'ensuit que, dans ce cas, les deux caractéristiques d'onde du fluide super- ficiel ( C1 + et Ca_) dégénèrent j u s q u ' à ne plus être que la caractéristique d'un chemin de p a r t i - cule unique ( C0) , ce qui correspond à une couche fluide amincie au point de ne plus être capable de t r a n s m e t t r e de l'énergie. E n ce qui concerne le système inférieur, lequel, dans ces conditions, n'est plus couplé, cette caractéristique de che- min de particule unique est sans r a p p o r t avec la question, et les caractéristiques d'onde sont défi- nies par :
[(u0 — x)2 — gh0] = 0 ( 9 )
laquelle est, ici, une simple équation du second degré en x
Un nouveau théorème dans la mécanique des fluides Les courbes correspondant aux équations (7?, (8) et 09) sont présentées, p o u r le système fluide type, p a r la figure 3. Celle-ci t r a d u i t l'in- fluence du couplage sur les valeurs des direc- tions caractéristiques. On voit que le couplage provoque le r a p p r o c h e m e n t des caractéristiques Ct et féloignement des caractéristiques C2. La conséquence nette en est que les caractéristiques des deux systèmes se séparent davantage. Cette situation correspond, en tout point du plan xt, à une rotation des caractéristiques, de telle sorte que les caractéristiques des deux systèmes se séparent encore davantage.
Il apparaît ici, en effet, une généralisation
du théorème des mouvements h a r m o n i q u e s sui- vant laquelle
le couplage sans dissipation sépare, les fréquences naturelles.
Ce théorème, qui fut énoncé pour la première fois p a r Rayleigh, et vérifié de façon générale par Routh [Réf. 1, p. 123; Réf. 9,*p. 18] peut également être exprimé, en fonction de la méca- nique des fluides, de la manière suivante :
Théorème : Le c o u p l a g e sans dissipation sépare les caractéristiques
Ce théorème se vérifie aisément pour les cas du système à deux couches considéré dans la présente étude. On notera, en premier lieu, que lorsque x — = t oo, l'expression G reste toujours positive, ce qui détermine l'orientation de la figure 2. Si, ensuite, on fait intervenir en G les valeurs de x appropriées au système inférieur non couplé, cette dernière expression devient :
laquelle est toujours négative. La courbe expri- m a n t G coupe ainsi l'axe x en u n point situé entre les valeurs de x correspondant au système inférieur non couplé, et les infinités du m ê m e signe que la racine considérée. De même, en faisant intervenir en G les valeurs de x corres- p o n d a n t au système inférieur non couplé, on obtient :
[g (1 — 1) h — gh] [(u, — x)2 — ghQ]
— lg*hh0 = — glh (x u,)\
celle-ci étant également toujours négative. Il s'ensuit alors que, en raison de la forme de la courbe du quatrième degré, les caractéristiques intérieures du système couplé sont situées à l'intérieur de celles du système non couplé. La combinaison de ce résultat avec celui obtenu pour le système inférieur, conduit au théorème suivant lequel le couplage séparerait les carac- téristiques. Cette vérification, qui suit celle uti- lisée dans l'étude des systèmes vibratoires, peut être généralisée pour s'appliquer à un nombre quelconque de degrés de liberté, c'est-à-dire à n'importe quel nombre de couches fluides.
La figure 3 met nettement en évidence la séparation due au couplage, tout en m o n t r a n t également que cette séparation peut être très faible. Ainsi, même pour le système t r a d u i t par celle figure, lequel, à l'échelle de la présente étu- de, est assez fortement couplé, les caractéristi- ques intérieures ne sont déplacées que sur une distance correspondant à u n arc de quelques de- grés. Il apparaît donc que, lorsque les composan- tes d'un système ne sont couplées que légèrement, les caractéristiques du système couplé peuvent être assimilées, à u n bon ordre d'approximation
6
