CHAPITRE EM.1 : ELECTROSTATIQUE DU VIDE

C HAPITRE EM.1 : E LECTROSTATIQUE DU VIDE

Notions et contenus Capacités exigibles 4. Électrostatique du vide

Description et effets électriques d’une accumulation de charges statiques

Définir et utiliser une fonction densité volumique, surfacique out linéique de charges.

Définir le champ électrostatique à l’aide de la force électrostatique ressentie par une charge ponctuelle d’essai placée dans le champ électrostatique d’une autre distribution.

Citer quelques ordres de grandeurs de champs électriques.

Énoncer le principe de Curie.

Repérer les symétries et invariances d’une distribution.

Définir la notion de ligne de champ électrostatique et prévoir la topographie des lignes de champ associées à une charge ponctuelle, un cylindrique infini, un plan infini uniformément chargés et une sphère chargée uniformément.

Équation de Maxwell-Gauss, théorème de Gauss et équation de Maxwell- Faraday de la statique

Énoncer l’expression du champ créé par une charge ponctuelle.

Énoncer le théorème de Gauss et le relier à l’équation de Maxwell-Gauss.

Utiliser le théorème de Gauss pour calculer un champ électrostatique créé par une distribution présentant un haut degré de symétrie (plan, cylindre, sphère).

Énoncer l’équation de Maxwell-Faraday de la statique et justifier l’existence du potentiel électrostatique.

Justifier les propriétés des lignes de champ électrostatique.

Conducteur en équilibre électrostatique

Énoncer les propriétés d’un conducteur en équilibre électrostatique.

Énoncer le théorème de Coulomb et les relations de passage du champ électrostatique.

Le condensateur Établir l'expression de la capacité d'un condensateur plan dans le vide en négligeant les effets de bords.

Établir l'expression de la capacité linéique d'un condensateur cylindrique dans le vide en négligeant les effets de bords.

Définir la notion de densité volumique d’énergie électrique à l’aide de l’exemple du condensateur plan.

Mettre en œuvre un dispositif expérimental permettant de mesurer l’énergie emmagasinée par un condensateur.

Partie 4 : la détermination du champ électrostatique à l’aide du théorème de Gauss (ou de l’équation de Maxwell-Gauss) dans le cas de situations présentant de hautes symétries sera privilégiée et permettra la présentation d’applications concrètes.

Introduction

L’étude de l’électricité et du magnétisme s’est longtemps réduite à une succession de découvertes expérimentales ne s’intégrant pas dans une construction théorique détaillée.

Certains phénomènes électriques et magnétiques sont connus depuis l’Antiquité. Ainsi, les Grecs connaissaient l’existence d’une pierre « Magnes » (originaire de Magnésie, ville d’Asie mineure) ayant la propriété d’attirer les métaux. Ils savaient également que l’ambre frotté avec un tissu sec attire les corps de petite taille.

L’étude systématique des phénomènes électriques ne commence qu’en 1672 avec Otto Von Guericke qui inventa une machine produisant de l’électricité par frottement d’une sphère de soufre mise en rotation.

L’électromagnétisme consiste à étudier tous les effets des charges électriques, et a été essentiellement développé au court du 19^ème siècle par Laplace, Faraday, Maxwell... Il a donc sa forme actuelle depuis une centaine d'années environ et, contrairement à une discipline telle que l'optique, n'a environ que 200 ans d'existence.

Voici pour mémoire quelques dates et grands noms de l'histoire de l'électromagnétisme :

1785 – 1791 : dans sa célèbre série de sept mémoires, Coulomb va déterminer, grâce à une balance de torsion de sa conception, les lois quantitatives d'attraction électrostatiques et magnétiques qui portent son nom.

2 1827 : En étudiant les forces électromagnétiques produites par le passage du courant dans un fil, il découvre que leur intensité est proportionnelle à la longueur du conducteur. De ses recherches Ohm énonce une loi qui porte aujourd'hui son nom selon laquelle le courant électrique est égal à la tension (ou la différence de potentiel) divisée par la résistance du circuit. Avec les lois élaborées par André Ampère au même moment, la loi d'Ohm marque le premier pas vers une description théorique des phénomènes électriques.

1831 : Faraday découvre l'induction électromagnétique qui permettra la construction des dynamos.

1865 : Élaboration des célèbres équations différentielles décrivant la nature des champs électromagnétiques dans l'espace et le temps par James Clerk Maxwell. Il les expose dans son Traité d'électricité et de magnétisme publié en 1873. Maxwell, en élaborant les théories de l'électromagnétisme, a également défini la lumière en tant qu'onde électromagnétique, ouvrant ainsi la voie aux recherches d'autres physiciens comme Heinrich Rudolph Hertz.

1897 : Découverte de l'électron ("atome d'électricité") par Joseph John Thomson.

1904 : Détermination de la charge de l'électron par le même Thomson.

De manière générale, une distribution de charges variables crée un champ électromagnétique qui correspond à un couple champ électrique, champ magnétique (𝑬⃗⃗ (𝑀, 𝑡), 𝑩⃗⃗ (𝑀, 𝑡)), M étant un point de l’espace. La théorie électromagnétique décrit l’une des quatre interactions fondamentales de la nature et constitue un domaine d’une très grande importance en physique.

Il existe deux grands types d’études réalisées : d’une part le calcul des champs à partir des distributions de charges les engendrant, et d’autre part l’action de ces champs sur des particules chargées. Ces champs jouent un rôle considérable à notre échelle, la matière étant constituée de particules chargées, et les applications de l’électromagnétisme sont tout aussi nombreuses que variées (des moteurs électriques et des dynamos à l’étude de la lumière, de l’explication des forces de Van Der Waals à la réalisation de colles ou d’aimants…).

Nous allons ici nous restreindre à l’étude des distributions de charges invariables dans le temps : La présence de charges fixes dans un référentiel galiléen va engendrer la création de champs électriques 𝑬⃗⃗ constants, dits champs électrostatiques, dont l’étude constitue l’électrostatique (débuts à la fin du 18^ème siècle, par notamment Coulomb).

D ESCRIPTION D ’ UNE DISTRIBUTION DE CHARGES STATIQUE

Les sources de champ électrique sont les charges électriques, qu’elles soient immobiles ou en mouvement.

A) Autour de la charge électrique

1) Phénomènes expérimentaux d’électrisation

Il existe différentes manières d’obtenir expérimentalement une matière électrisée¹ : on parle d’électrisation par : - frottement²,

- contact³,

- à distance par influence.

- par le biais d’effets photo, thermo ou piezo-électriques.

Conducteur : corps dans lequel les charges électriques peuvent se déplacer (exemple : les métaux)

Isolant : corps dans lequel les charges électriques ne peuvent pas circuler (exemple : verre, matière plastique)

1 Exemples de manifestation des phénomènes électrostatiques au quotidien : portière de voiture se chargeant parfois, cheveux se collant particulièrement à certains vêtements, pantalons se collant aux jambes, décharge électrique entre deux personnes, film plastique adhérant à certains récipients, etc.

2 Il s’agit de la méthode d’électrisation la plus ancienne, et a été relatée par Thalès dès les années 580 avant JC.

• Certains corps frottés vont attirer des corps légers (morceau d’ambre léger ou bâton de verre attirant de petits morceaux de papier par exemple, règle en plastique déviant un filet d’eau, etc.).

• A partir de ces expériences, on met en évidence deux types de charges (certains des corps électrisés s’attirent, tandis que d’autres vont être repoussés), ainsi que des corps conducteurs ou isolants (certains corps ne manifestent une électrisation qu’à l’endroit du frottement tandis que pour d’autres l’électrisation a lieu sur l’ensemble de la surface).

• Interprétation actuelle : arrachement d’électrons qui sont transférés d’un corps à un autre par le biais des frottements.

3 Contact entre un objet électrisé et un objet neutre, impliquant une nouvelle répartition des charges. Exemple : toucher une poignée de porte après avoir marché sur la moquette, après avoir porté un vêtement synthétique.

La différence entre un isolant et un conducteur provient donc de la mobilité des charges dans le matériau.

Dans un isolant une charge microscopique reçue en un endroit reste confinée dans la zone où elle a été déposée, tandis que dans un conducteur, cette même charge peut s’y déplacer librement.

Electrisation par influence et par contact

Sur la règle en verre précédemment électrisée par frottement, isolante, les charges sont statiques et restent localisées.

Sur la boule métallique initialement neutre, conductrice, les charges se déplacent jusqu’à atteindre un état d’équilibre.

 Vidéo 1963 ! (31 min) : http://www.canal-u.tv/video/cerimes/introduction_a_l_electrostatique.7794

 Palais de la Découverte (18 min) : https://www.canal-u.tv/video/science_en_cours/electrostatique_2003.98

 Animation électroscope :http://www.ostralo.net/3_animations/swf/electrisation_influence_electroscpe.swf

 Animation sphère :http://www.ostralo.net/3_animations/swf/electrisation_influence_boule.swf Machine de Wimshurst

 http://www.dailymotion.com/video/xwqzf6_la-machine-de-whimshurst-electrisation_tech

 http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/wimshurst/wimshurst.html Point de vue énergétique

Un pull synthétique attire les poils de chat, un écran la poussière ; plus généralement, un corps chargé peut attirer de petits objets, et par conséquent vaincre leur poids ainsi que de potentiels frottements, ce qui prouve l’existence d’une énergie disponible (cf. fin du chapitre).

Electrostatique : étude de l’électricité statique des corps électrisés (conducteur ou isolant).

2) La charge électrique

⁴

a) Rappels sur la structure de la matière

Principaux constituants de la matière : - protons : charge électrique positive +𝑒 - neutrons : charge nulle

- électrons : charge électrique négative −𝑒

Un atome a autant d’électrons que de protons : il est globalement neutre ; s’il gagne ou cède des électrons, la charge totale n’est plus nulle et l’ensemble forme un ion.

• ⁴L’électricité est d’abord assimilée à un fluide impondérable contenu dans les corps, avec toutefois deux opinions divergentes :

- Charles-François du Fay (1733) distingue deux types d’électricité : vitrée (obtenue par frottement du verre) et résineuse (obtenue par frottement de la résine ou ambre). Les corps dotés d’une électricité de même type se repoussent et ceux dotés d’électricités contraires s’attirent.

- Benjamin Franklin pense, quant à lui, que la matière ne referme qu’un seul type de fluide électrique, présent dans tous les corps. Un excédent conduit à l’électricité vitrée (charge > 0) et un déficit à l’électricité résineuse (charge < 0).

• L’étude quantitative des lois d’attraction et de répulsion fut réalisée par Coulomb en 1785.

• En 1909 Millikan effectue une expérience qui lui permet de montrer que la charge électrique est un multiple d’une charge élémentaire. La charge électrique est quantifiée.

• A partir de 1920, les expériences de Perrin, Thomson et Rutherford mettent en évidence la structure électrique de la matière. Celle-ci est composée d’atomes dont les éléments chargés de base (proton et électron) ont des charges exactement opposées.

• En 1963, Zweig et Gell Man ont élaboré une théorie qui décrit la structure interne des protons et des électrons. Il existe des particules subatomiques (les quarks) ayant des charges fractionnaires. Ces particules n’existant pas à l’état libre, on considèrera que les particules observables ont une charge électrique quantifiée, multiple de e ou de −e.

4

b) Propriétés de la charge électrique

Il existe deux types de charges, selon leur signe (déficit ou excès d’électrons).

Des charges de même signe se repoussent tandis que des charges de signes opposées s’attirent

Notations usuelles : 𝑞, 𝑄

Unité S.I. : coulomb symbole : 𝐶

Dimension : relation de définition de l’intensité du courant

: 𝑖 = ^𝑑𝑞

𝑑𝑡 D’où [𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒] = [𝐼]𝑇

La charge électrique est une grandeur quantifiée

Au niveau microscopique, les particules chargées sont appelées porteurs de charge ; la charge de tout porteur de charge est un multiple entier de la charge élémentaire 𝑒 = 1,60. 10⁻¹⁹ 𝐶 : 𝑄 = 𝑧 𝑒, 𝑧 étant un entier relatif.

La charge électrique est une grandeur conservative⁵

Elle ne peut être ni créée ni détruite, mais seulement transportée d’un point à un autre.

- Système fermé : charge = constante

- Système ouvert : variation de la charge = charge reçue (pas de création ou de disparition)

Remarque : La matière est globalement neutre mais ce n’est pas forcément le cas localement, même à l’échelle macroscopique : lors des expériences d’électrisation, un grand nombre de charges identiques est localisé au voisinage d’un endroit de l’espace.

La charge électrique est une grandeur additive : Un système 𝑆 = 𝑆¹ ∪ 𝑆² porte une charge 𝑄 = 𝑄¹ + 𝑄²

La charge électrique est indépendante du référentiel dans lequel on la mesure

B) Distributions de charges

1) Charges ponctuelles, distributions de charges discrètes

Charge ponctuelle :

Modèle simple utilisé si le volume chargé est très faible, valable si l’observateur ne se place pas trop près de ce point (la charge occupant en réalité un petit volume). Elle est notée 𝑞 (grandeur finie), et supposée placée en un point 𝑃

Exemple : Un électron a un rayon 𝑟 ~ 10⁻¹⁵ 𝑚, 𝑟 ≪ dimensions d'observation.

Distribution discrète (= discontinue) de charges ponctuelles :

Soient 𝑁 charges ponctuelles dans un volume 𝒱 limité par une surface (Σ), volume supposé suffisamment grand pour que la distance moyenne entre les charges soit très supérieure à la dimension d’une charge.

On parle alors d’une distribution discontinue ou discrète de charges supposées ponctuelles, notées 𝑞_𝑖 et supposées placées en des points 𝑃_𝑖.

2) Approximation des milieux continus

A l’échelle microscopique, la matière étant constituée de vide et de charges quantifiées, la charge subit d’importantes variations spatiales ; cependant, la matière chargée est le plus souvent suffisamment dense pour qu’un volume mésoscopique permette de définir la charge comme un champ continu, tandis qu’une description individuelle de ces charges est difficilement envisageable, leur nombre et leur répartition spatiale n’étant pas accessibles à l’expérience.

5 Certains processus de physique nucléaire se font avec création d’une paire particule et anti-particule, par exemple électron et positron, le positron ayant une charge opposée à celle de l’électron. Cependant, la charge électrique totale est conservée lors de tels processus (et c’est d’ailleurs l’un des postulats fondamentaux de la physique des particules).

Espace 1

Considérons une charge 𝑄 répartie dans un certain volume 𝒱, de façon uniforme ou non. Pour caractériser la répartition des charges électriques dans ce volume 𝒱 (distribution volumique de charge dans 𝒱), on définit en chaque point une densité volumique de charge 𝜌(𝑃).

Définition de la densité volumique de charge en un point P

Soit un volume 𝑑𝜏 mésoscopique⁶ autour du point 𝑃, portant une charge élémentaire 𝑑𝑞. Par définition, la densité volumique de charge au point 𝑃 est :

𝜌(𝑃) =𝑑𝑞 Unité de 𝜌(𝑃) : 𝐶. 𝑚⁻³. 𝑑𝜏

Charge totale du volume 𝒱 : 𝑸 = ∭ 𝑑𝑞_V

= ∭ 𝜌(𝑃)𝑑𝜏_V

La densité volumique de charge est reliée à la densité volumique de porteurs de charge 𝒏 (nombre de porteurs de charge par unité de volume, s’exprimant en m⁻³).

. s’il existe un seul type de porteurs (exemple : faisceau d’ions tous identiques de charge 𝑞)

: 𝜌 = nq

. s’il existe plusieurs types de porteurs de charge : par sommation,

𝜌 = ∑ 𝑛 _{𝑖 𝑖} 𝑞 _𝑖

3) Distributions surfaciques et linéiques de charges

Toutes les distributions de charge sont fondamentalement volumiques, c’est-à-dire que les charges sont réparties en trois dimensions. Il existe néanmoins des géométries particulières dans lesquelles une ou deux dimensions sont négligeables devant les autres.

a) Charges réparties sur une surface – densité surfacique de charges

Lorsque les charges sont concentrées au voisinage d’une surface 𝑆, c’est-à-dire réparties dans un volume d’épaisseur très faible vis à vis des dimensions, on définit une densité surfacique de charge 𝜎(𝑃).

Ce modèle de charge surfacique est valable si l’observateur ne se place pas trop près de cette surface (il percevrait alors l’épaisseur de la « surface »).

Exemple : Cas d’une plaque de côtés 𝑎 et 𝑏 et de hauteur 𝜀 ≪ 𝑎, 𝑏.

Charge électrique portée par un volume de plaque de surface infinitésimale d𝑆 :

𝛿𝑄 = 𝜌 × 𝜀 𝑑𝑆 = 𝜎 𝑑𝑆

Définition de la densité surfacique de charges

Soit une surface mésoscopique chargée d𝑆 autour du point 𝑃 portant une charge élémentaire d𝑞.

Par définition, la densité surfacique de charge 𝜎(𝑃) au point 𝑃 est : 𝜎(𝑃) =d𝑞

d𝑆 Unité de 𝜎(𝑃) : C. m⁻².

Charge totale de la surface 𝑆 : 𝑄 = ∬ 𝜎(𝑃) d𝑆_𝐒

b) Charges réparties sur une courbe – densité linéique de charges

Lorsque les charges sont localisées au voisinage d’une courbe 𝒞, c’est-à-dire réparties dans un volume dont l’une des dimensions est très grande par rapport aux autres, on définit une densité linéique de charge 𝜆(𝑃).

6 Volume mésoscopique suffisamment grand à l’échelle microscopique pour que la quantification de la charge soit insensible et que la densité de charge apparaisse comme continue

dS P S

Espace 2

Espace 3

6 Exemple : Cas d’un fil de longueur 𝐿 et de rayon 𝜀 ≪ 𝐿

Définition de la densité linéique de charges

Soit un petit tronçon de la courbe 𝓒 chargée, de longueur mésoscopique dℓ autour du point 𝑃, portant une charge élémentaire d𝑞.

Par définition, la densité linéique de charge 𝜆(𝑃) au point 𝑃 est : 𝜆(𝑃) =d𝑞

Unité de 𝜆(𝑃) : C. m⁻¹. dℓ

Charge totale de la surface 𝑆 : 𝑄 = ∫ 𝜆(𝑃) dℓ_(𝓒)

Ce modèle de charge linéique est valable si l’observateur ne se place pas trop près de cette courbe.

c) Résumé

Système modèle Point

d’observation 𝑴

Densité volumique de

charge

Charge élémentaire

en P Charge totale

Distribution volumique

quelconque volumique 𝜌(𝑃).

d𝜏 en 𝑃 porte

d𝑞 = 𝜌(𝑃)𝑑𝜏

𝒒 = ∭ 𝜌(𝑃)𝑑𝜏

V

Distribution surfacique

hors de la surface chargée

surfacique 𝜎(𝑃).

d𝑆 en 𝑃 porte

d𝑞

= 𝜎 (𝑃)d𝑆

𝒒 = ∬ 𝜎(𝑃) d𝑆

𝐒

Distribution linéique

hors de la ligne

chargée linéique 𝜆(𝑃)

dℓ en 𝑃 porte

d𝑞

= 𝜆 (𝑃)d𝑆

𝒒 = ∫ 𝜆(𝑃) dℓ

𝑪

Charge ponctuelle

Point P différent de 𝑃 𝑞 𝑞

Remarque :

Les modèles de distributions surfaciques ou linéiques introduisent une discontinuité de la distribution de charge à la traversée de la surface ou de la courbe, et par conséquent une discontinuité de certaines propriétés électriques. On évite les problèmes éventuels soulevés par ces modèles en revenant à une distribution volumique.

C) Propriétés de symétrie des distributions de charges

1) Principe de Curie

En 1934, Pierre Curie énonce un principe qui s’applique à tous les phénomènes physiques classiques : Principe de Curie

Les conséquences ont au moins les symétries de leurs causes Dans le cas présent,

Espace 4

– Causes :

charges.

– Conséquences :

champ électrique qu’elles créent.

Une distribution de charge peut présenter des symétries et/ou des invariances particulières ; leur étude est importante et permettra de prévoir les symétries du champ électrostatique créé par la distribution de charges et de simplifier son étude.

2) Symétrie et antisymétrie

Considérons une distribution de charge 𝒟 et un plan Π𝑠 de symétrie géométrique de cette distribution.

Soient P et P′ deux points symétriques par rapport à Π_𝑠 (tels que 𝑃^′= 𝑠𝑦𝑚_Π𝑠(𝑃))

Plan de symétrie électrostatique 𝚷

_𝒔

d’une distribution de charge :

Si pour tout couple (P,P′) de points symétriques par rapport à Π_𝑠, les (densités de) charges sont égales :

(𝑃) = (𝑃′).

Plan d’antisymétrie électrostatique 𝚷

_𝒂

d’une distribution de charge :

Si pour tout couple (P,P′) de points symétriques par rapport à Π𝑠, les (densités de) charges sont opposées :

(𝑃) = −(𝑃′).

3) Invariances

Une distribution de charge peut présenter des invariances par des transformations spatiales telles que des translations ou des rotations.

a) Invariance par translation

Distribution invariante par translation parallèlement à un axe (noté (𝑂𝑧) ici) : lorsque la densité de charge est la même en un point P et en tout point P′ obtenu par translation de P par rapport à l’axe (𝑂𝑧).

Exemples : plaque ou fil infinis dans la direction (𝑂𝑧)

Traduction de l’invariance par translation selon (𝑶𝒛) sur la densité de charge

 :

 (𝑃) indépendante de la coordonnée 𝑧 du point 𝑃; ∀(𝑧₁, 𝑧₂),  (𝑥, 𝑦, 𝑧₁) = (𝑥, 𝑦, 𝑧₂) =  (𝑥, 𝑦) ∀(𝑧1, 𝑧2), 𝜌(𝑟, 𝜃, 𝑧₁) = 𝜌(𝑟, 𝜃, 𝑧₂) = 𝜌(𝑟, 𝜃)

Espace 5

8

b) Invariance par rotation

Distribution invariante par rotation autour d’un axe (noté (𝑂𝑧) ici) : lorsque la densité de charge est la même en un point P et en tout point P′ obtenu par rotation de P autour de (𝑂𝑧).

Exemple : cylindre d’axe (𝑂𝑧)

Traduction de l’invariance par rotation autour de l’axe (𝑶𝒛) sur la densité

de charge  :

 (𝑃) indépendante de la coordonnée 𝜃 du point 𝑃 ;

∀(𝜃1, 𝜃2), 𝜌(𝑟, 𝜃₁, 𝑧) = 𝜌(𝑟, 𝜃2, 𝑧) = 𝜌(𝑟, 𝑧)

c) Distributions à symétries multiples

• Symétrie cylindrique : (𝑟,, 𝑧) = (𝑟) (coordonnées cylindriques)

• Symétrie sphérique : (𝑟,, 𝜑) = (𝑟) (coordonnées sphériques)

L E CHAMP ELECTROSTATIQUE

A) Définition et premières propriétés du champ électrostatique

1) La force électrostatique a) Loi de Coulomb

Entre deux charges ponctuelles immobiles, il existe une interaction (dite newtonienne⁷) dont l’expression est donnée par la loi de Coulomb.

Soient 𝑀1 et 𝑀2 deux particules ponctuelles portant les charges 𝑞1 et 𝑞2, séparés d’une distance 𝑟 = 𝑀1𝑀2. On note 𝑒 12 le vecteur unitaire allant de 𝑀1 vers 𝑀2 :

𝑒 ₁₂=𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1𝑀2

𝑟

Loi de Coulomb

Force exercée par une charge ponctuelle 𝑞₁ sur une charge ponctuelle 𝑞₂ à la distance 𝑟 dans le vide : 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =12 ^𝑞1𝑞2

4𝜋𝜀₀ 1 𝑟²𝑒⃗⃗⃗⃗⃗ 12

Expression de la constante dans le système SI : 𝑘 = ¹

4π𝜀₀ = 10^-7c²  9.10⁹ m.F^-1, avec 𝑐 = célérité de la lumière et 𝜀0= 36π. 10⁹ USI permittivité diélectrique du vide.

Remarques :

• La force est attractive si les deux charges sont de signes contraires, répulsive si 𝑞₁ et 𝑞₂ sont de même signe.

• Dans un milieu autre, 𝜀₀ est remplacée par la permittivité diélectrique du milieu, 𝜀, que l’on écrit souvent 𝜺 = 𝜺_𝟎𝜺_𝒓: - 𝜀 à la même dimension que 𝜀0

- r⁸est adimensionnelle ; c’est la permittivité relative du milieu (𝜀𝑟= 80 pour l’eau, par exemple)

7 La loi donnant la force électrostatique a été établie expérimentalement en 1772-1773 par Henry Cavendish et en 1785 par Coulomb, mais selon 2 méthodes expérimentales très différentes, celle de Coulomb étant la plus directe (mesure avec une balance de torsion dite balance de Coulomb, composée d’un fil de torsion supportant une tige horizontale portant elle-même une sphère chargée soumise à l’action d’une autre charge, la torsion du fil engendrée donnant accès à une mesure de la force exercée…).

8 La loi donnant la force électrostatique a été établie expérimentalement en 1772-1773 par Henry Cavendish et en 1785 par Coulomb, mais selon 2 méthodes expérimentales très différentes, celle de Coulomb étant la plus directe (mesure avec une balance de torsion dite balance de Coulomb, composée d’un fil de torsion supportant une tige horizontale portant elle-même une sphère chargée soumise à l’action d’une autre charge, la torsion du fil engendrée donnant accès à une mesure de la force exercée…).

𝐹₁₂

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑞1𝑞2

4𝜋𝜀₀𝜀_𝑟 1 𝑟²𝑢⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ₁₂

b) Principe de superposition

Soit une distribution spatiale 𝒟 de charges ponctuelles : { M1(q1), M2(q2), M3(q3)…. Mn(qn)}.

Résultante⁹ 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝒟→𝑞 des forces qu’exerce la distribution de charges 𝒟 sur une charge 𝑞 en O : 𝐹𝒟→𝑞

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑖→𝑞 𝑛

𝑖=1

= ∑𝑞_𝑖𝑞 4𝜋𝜀₀

1 𝑟_𝑖²𝑢⃗⃗⃗ 𝑖 𝑛

𝑖=1

2) Le champ électrostatique a) Définition

Préliminaire :

Un objet de masse 𝑚 placé en 𝑀 à la surface de la Terre subit une force gravitationnelle exercée par la Terre (centre 𝑂, masse 𝑀𝑇, rayon 𝑅𝑇) sur l’objet :

𝐹 𝑀_𝑇/𝑚= −𝐺𝑀_𝑇𝑚

𝑅_𝑇² 𝑒 𝑂𝑀 = 𝑚𝐺 (𝑀) où 𝐺 (𝑀) = −𝐺^𝑀𝑇

𝑅_𝑇²𝑒 𝑂𝑀 est le champ gravitationnel à la surface de la Terre, dépendant du point 𝑀, de la masse de la Terre, mais pas de l’objet qui se trouve en 𝑀.

Le champ gravitationnel régnant en 𝑀 peut être écrit : 𝑮⃗⃗ (𝑴) =^{𝑭⃗⃗⃗ 𝑴𝑻/𝒎}_𝒎

On peut prouver que ce champ existe en 𝑀 en y plaçant un objet massique : on verra les effets de la force gravitationnelle que subira l’objet placé au point 𝑀.

Électrostatique :

Le mot "électrostatique" signifie que les charges sont immobiles par rapport au référentiel de l'observateur.

On dit qu'en une région de l'espace existe un champ électrostatique si une charge électrique placée en un point de cette région est soumise à une force de nature électrostatique.

Champ électrostatique

Soit une charge 𝑞, placée en un point 𝑀, subissant une force électrostatique 𝐹 (𝑀)

Champ électrostatique en ce point 𝑀 (indépendant de la charge 𝑞, il ne dépend que de 𝑀) : 𝐸⃗ (𝑴) =𝐹 (𝑴)

𝑞

Force subie par une charge 𝑞 placée en 𝑀 où règne un champ électrostatique 𝐸⃗ : 𝐹 = 𝒒𝐸⃗

Dimension et unité de 𝑬⃗⃗

[𝐸⃗ ] = ^{[𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒]}

[𝑐ℎ𝑎𝑟𝑔𝑒] = ^{𝑀.𝐿.𝑇}

⁻²

𝐼.𝑇 = 𝑀. 𝐿. 𝑇 ⁻³ . 𝐼 ⁻¹ 𝑬 ⃗⃗ en 𝑽. 𝒎 ^−𝟏

9Résultat provenant de la linéarité des équations de Maxwell, qui exprime que l’interaction électrostatique exercée entre 2 charges n’est pas modifiée par la présence d’autres charges.

Espace 6

10

b) Ordre de grandeur du champ électrostatique

¹⁰

Ordre de grandeur

Ondes radio  10⁻¹ V. m⁻¹

Grille-pain et télévision 40 et 60 V. m⁻¹

Atmosphère par beau temps  𝟏𝟎^𝟐 𝐕. 𝐦^−𝟏

À 30 cm d’un réfrigérateur  10² V. m⁻¹

Ligne haute tension (90 000 V) à 30 m de l’axe  10² V. m⁻¹ Ligne haute tension (460 000 V) à 100 m de l’axe  2. 10² V. m⁻¹

Dans un canon à électron  10³ V. m⁻¹

Atmosphère par temps orageux  10⁴ V. m⁻¹

Champ disruptif de l’air  𝟑. 𝟏𝟎^𝟔 𝐕. 𝐦^−𝟏

Orbite de l’électron de l’atome d’hydrogène  10¹² V. m⁻¹

Comparaison force de pesanteur et force électromagnétique

Toutes les particules chargées et massives sont soumises à la fois à leur poids et aux forces électriques (et éventuellement magnétiques), mais les ordres de grandeurs de ces forces sont très différents.

Cas d’un électron : Charge e^- = - 1,6.10^-19 C ; m = 9,1.10^-31 kg.

P = mg  9.10 ^-30 N.

Si E = 1 V/m, Fél = qE = 1,6.

10 ^-19 N

Si B = 10 ^-4 T et v = 10 ⁴ m/s (valeur facile ☺): F B = qvB = 1,6. 10 ^-19 N

Si v très élevée, (/ex v = 10 ⁷ m/s) ; F B = 10 ³ F elec

P négligeable…

Cas d’une particule  ⁴He²⁺ : Charge 2e = 2×1,6.10^-19 C ; m = 4×6,67.10^-27 kg.

P = mg  10

^-25

N. idem

Dans l’étude du mouvement de particules chargées,

le poids est généralement négligé face à la force de Lorentz (électrique)

10 Explication des microdécharges : Lorsque notre corps est exposé à un champ électrique, il se charge d’électricité statique, tout comme cela se produit lorsque nos chaussures frottent sur un tapis par temps sec. Si nous touchons ensuite un objet, le corps élimine ce trop-plein de charges électriques et nous ressentons avec surprise une microdécharge électrique.

Dans un champ supérieur à 5 000 𝑉/𝑚, cette sensation est désagréable. À plus de 10 000 𝑉/𝑚, les microdécharges sont parfois douloureuses. Malgré leurs inconvénients, les microdécharges ne sont pas dangereuses étant donné que leur durée est extrêmement courte (quelques millionièmes de seconde) et que l’excès de charges électriques qui les provoque se limite à la surface de la peau et ne concerne pas les organes internes.

Dans une maison, le champ électrique varie peu et son intensité est faible et imperceptible. La structure des maisons constitue un écran efficace qui atténue le champ électrique produit par les équipements situés à l’extérieur – les lignes électriques par exemple.

Espace 7

c) Champ créé par une distribution de charges ponctuelles

Champ créé par une charge ponctuelle

Il s’agit de l’objet qui permet de décrire l’action des charges électrostatiques sur l’espace qui les entoure.

Considérons une charge 𝑞 située en un point M quelconque en interaction avec une charge qi

située en Pi.

La présence de cette particule chargée qiperturbe l’espace qui l’entoure, et crée un champ électrostatique 𝐸⃗ (𝑀) en 𝑀 quelconque (différent de Pi) :

𝐹 _{𝑞𝑖→𝑞}(𝑀) = 𝑞𝑞𝑖

4𝜋𝜀₀ 𝑃𝑖𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑃_𝑖𝑀³= 𝑞𝐸⃗⃗⃗ (𝑀) _𝑖

Si on repère 𝑀 par des coordonnées sphériques centrées en Pi qu’on choisit comme origine 𝑂, on peut écrire la force de Coulomb subie par la charge placée en 𝑀 :

𝐹 = 𝑞𝑞_𝑖 4𝜀₀ 𝑟² 𝑒 𝑟

Le vecteur 𝑒 _𝑟 est le vecteur radial des coordonnées sphériques, défini en fonction du point de l’espace :

𝑒 𝑟= 𝑒 𝑂𝑀 = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗

‖𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖=𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑟 Le champ électrostatique créé en 𝑀 par 𝑞0 est le quotient ^𝐹

𝑞, champ indépendant de la charge 𝑞 (charge d’épreuve).

Champ électrostatique créé en 𝑴 par une charge ponctuelle 𝒒

_𝟎

placée en 𝑷

_𝒊 = 𝑶 : 𝑬⃗⃗ (𝑴) = 𝒒_𝟎

𝟒𝜺_𝟎𝒓^𝟐 𝒆⃗ _𝒓= 𝒒_𝟎 𝟒𝝅𝜺_𝟎

𝑷_𝒊𝑴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑷_𝒊𝑴^𝟑

Résultat à connaître Dimension du champ électrique :

[𝑬 ⃗⃗ ] = ^{[𝒄𝒉𝒂𝒓𝒈𝒆]}

[𝜺

_𝟎

] 𝑳

^𝟐

Cette équation sera utile pour vérifier les résultats obtenus lors de calculs de champs électrostatiques créés par différentes distributions de charges.

Remarque : On peut retrouver l’expression de la loi de Coulomb à partir de cette expression.

Champ créé par un ensemble de charges

Le principe de superposition permet d’écrire dans le cas d’une charge q placée en M et soumise à l’action d’une distribution 𝒟 de N charges qi situées en Pi :

𝐹 𝒟(𝑀) = ∑ 𝑞𝑞_𝑖 4𝜋𝜀0

𝑃_𝑖𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑃𝑖𝑀³

𝑖

= ∑ 𝑞𝐸⃗⃗⃗ 𝑖 𝑖

(𝑀) = 𝑞𝐸⃗

Attention ! il s’agit d’une somme vectorielle ! Illustration :

Ce résultat s’étend à tout type de distribution de charges (discrète ou continue) à laquelle on peut donc associer un champ électrique 𝐸⃗ dépendant de la forme de la distribution de charges qui le génère.

d) Généralisation : champ électrostatique créé par une distribution de charges quelconque

Soit une distribution 𝒟 de charge continue de charge répartie ou discrète créant en un point M quelconque un champ 𝐸⃗ (𝑀).

Espace 8

12 Toute charge q subit une force à distance 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ de la part _𝑒𝑙 d’une distribution 𝒟 quelconque de charges immobiles dans le référentiel d’étude, dite force électrique et s’écrivant : 𝑭⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒒𝑬_𝒆𝒍 ⃗⃗

q = charge test, 𝐸⃗ étant par définition le champ électrique créé par la distribution 𝒟 en tout point M de l’espace.

Une charge d’épreuve 𝑞 placée en 𝑀 subit une résultante de forces, somme vectorielle cette fois continue des forces exercées par toutes les charges de la distribution ; le champ créé en 𝑀 est le quotient de cette force résultante par 𝑞.

Principe de superposition :

Le champ créé en M par toute distribution de charges est la somme (discrète ou continue) vectorielle de tous les champs créés par les éléments de la distribution.

Illustration avec le cas de deux charges ponctuelles : chaque charge « apporte » son propre champ qui ne dépend que d’elle, le champ total correspond à la somme des deux champs.

Distribution de charges

Point de calcul 𝑴

Champ électrostatique élémentaire créé en M par la

charge 𝐝𝒒(𝑷)en P

Champ électrostatique total créé en M

volumique

quelconque 𝑑𝐸⃗ = 𝜌(𝑃)𝑑𝜏

4𝜀₀ 𝑃𝑀² 𝑒 𝑃𝑀 𝐸⃗ (𝑀) = ∭ 𝑑𝐸⃗

V

surfacique

hors de la surface

chargée 𝑑𝐸⃗ = 𝜎(𝑃)𝑑𝑆

4𝜀0 𝑃𝑀² 𝑒 𝑃𝑀 𝐸⃗ (𝑀) = ∬ 𝑑𝐸⃗

𝑺

linéique

hors de la courbe

chargée 𝑑𝐸⃗ = 𝜆(𝑃)𝑑ℓ

4𝜀₀ 𝑃𝑀² 𝑒 𝑃𝑀 𝐸⃗ (𝑀) = ∫ 𝑑𝐸⃗

𝑪

Charges ponctuelles

Charges 𝑞_𝑖 en 𝑃_𝑖 différent des points 𝑃𝑖

porteurs de charge

𝑞𝑖 en 𝑃𝑖 crée en 𝑀 𝐸⃗ 𝑖= 𝑞_𝑖

4𝜀0 𝑃𝑖𝑀² 𝑒 𝑃_𝑖𝑀

𝐸⃗ (𝑀) = ∑ 𝐸⃗ _𝑖

𝑖

Attention, ces sommes sont VECTORIELLES et le vecteur unitaire 𝑒 _𝑃𝑀 dépend a priori du point 𝑃.

Limitation : une telle méthode est souvent inutilisable en pratique, le nombre de particules chargées qu’il faudrait considérer pour calculer un champ à l’échelle macroscopique étant beaucoup trop élevé.

𝐸_𝑡𝑜𝑡

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸⃗⃗⃗⃗ + 𝐸1 ⃗⃗⃗⃗ 2

La suite du cours a pour but d’apprendre à calculer le champ créé par une distribution de charge connue en exploitant les propriétés de symétrie et d’invariance de la distribution, de manière à déterminer au préalable la direction du champ et projeter ces sommes vectorielles afin de simplifier les calculs.

Nous verrons également dans la suite du cours un théorème permettant de calcul le champ électrostatique à partir du calcul de son flux.

Remarque

Les distributions volumiques de charge correspondent à la réalité physique ; le champ 𝐸⃗ associé est alors toujours défini et continu (pas de variation brutale).

En revanche, les charges ponctuelles ainsi que les distributions surfaciques et linéiques sont des modélisations simplifiées de certaines distributions volumique, ce qui a pour conséquence que le champ électrique 𝑬⃗⃗ n’est pas défini sur une charge ponctuelle ni en un point appartenant à une distribution linéique ou surfacique, d’où des discontinuités du champ électrostatique.

B) De la distribution de charge à la direction du champ électrostatique

1) Effet d’un plan de symétrie ou d’antisymétrie de la distribution de charge

Exemples introductifs : Soient deux charges ponctuelles identiques 𝒒 ou opposées ±𝒒 situées en 𝑴 et 𝑴′.

Propriétés d’un champ éléctrostatique créé par une distribution de charges possédant un plan de symétrie 𝚷𝒔

Les champs électrostatiques 𝐸⃗ (𝑀) et 𝐸⃗ (𝑀′) en deux points 𝑀 et 𝑀′symétriques par rapport au plan Π𝑠 sont eux-mêmes symétriques par rapport à Π𝑠 :

Si 𝑀^′= 𝑠𝑦𝑚_Π𝑠(𝑀), 𝐸⃗ (𝑀′) = 𝑠𝑦𝑚_Π𝑠𝐸⃗ (𝑀), c’est-à-dire { 𝐸⃗ _∥(𝑀^′) = 𝐸⃗ _∥(𝑀) 𝐸⃗ ⊥(𝑀^′) = −𝐸⃗ _⊥(𝑀)

Conséquence : Le champ électrostatique 𝑬⃗⃗ (𝑴_𝒔) en un point 𝑴_𝒔 appartenant au plan 𝚷_𝒔 est inclus dans ce plan.

Cas particulier important : Si la distribution de charge est plane, alors ce plan est un plan de symétrie.

14 En effet, pour une distribution de charge plan, en notant Π₀le plan de la distribution :

. pour deux points 𝑃 et 𝑃^′symétriques par rapport à Π0, on a bien 𝜌(𝑃) = 𝜌(𝑃^′) = 0 ;

. un point 𝑃₀ appartenant au plan Π₀ est son propre symétrique, avec de façon évidente 𝜌(𝑃₀) = 𝜌(𝑃₀) !

Propriétés d’un champ

éléctrostatique créé par une distribution de charges possédant un plan d’antisymétrie 𝚷

_𝒂

Les champs électrostatiques 𝐸⃗ (𝑀) et 𝐸⃗ (𝑀′) en deux points 𝑀 et 𝑀′symétriques par rapport au plan Π_𝑎 sont eux-mêmes antisymétriques par rapport à Π𝑎 :

Si 𝑀^′= 𝑠𝑦𝑚_Π𝑎(𝑀), 𝐸⃗ (𝑀′) = −𝑠𝑦𝑚_Π𝑎𝐸⃗ (𝑀), c’est-à-dire {𝐸⃗ ∥(𝑀^′) = −𝐸⃗ _∥(𝑀) 𝐸⃗ _⊥(𝑀^′) = 𝐸⃗ _⊥(𝑀)

Conséquence : Le champ électrostatique 𝑬⃗⃗ (𝑴𝒂) en un point 𝑴𝒂 appartenant au plan 𝚷𝒂 d’antisymétrie est orthogonal à ce plan.

Attention de bien choisir des PLANS DE SYMETRIE OU ANTISYMETRIECONTENANT LE POINT DE CALCUL 𝑴!

2) Effet d’une invariance de la distribution de charge a) Invariance par translation

Exemple introductif : Considérons la distribution ci-dessous invariante par translation suivant l’axe 𝑒 _𝑧, elle est identique vue des points 𝑀1 et 𝑀2. Selon le principe de Curie, on en déduit que le champ créé ne dépend pas de leur coordonnée 𝑧.

Conséquence d’une invariance de la distribution de charge par translation

Le champ électrique 𝐸⃗ (𝑀) créé en un point 𝑀 par une distribution de charge invariante par translation le long d’un axe (𝑂𝑧) ne dépend pas de la coordonnée 𝑧 du point 𝑀.

b) Invariance par rotation

Exemple introductif : Considérons la distribution ci-contre invariante par rotation autour de l’axe 𝑒 _𝑧, elle est identique vue des points 𝑀1 et 𝑀2. Selon le principe de Curie, on en déduit que le champ créé ne dépend pas de leur coordonnée 𝜃.

Conséquence d’une invariance de la distribution de charge par rotation

Le champ électrique 𝐸⃗ (𝑀) créé en un point 𝑀 par une distribution de charge invariante par rotation autour d’un axe (𝑂𝑧) ne dépend pas de la coordonnée angulaire 𝜃 du point 𝑀 autour de cet axe.

C) Cartes de champ

Méthode d’analyse

1) Analyse des caractéristiques de la distribution de charge

2) Choix d’un système de coordonnées adapté (cartésiennes ? cylindriques ? sphériques ?)

3) Définition d’un point de calcul 𝑴 « quelconque » tel qu’on recherche le champ créé en ce point par la distribution de charge.

4) Déterminer la direction de 𝑬⃗⃗ (𝑴) : Déterminer les plans de symétrie ou antisymétrie (plus rare) contenant 𝑴; en déduire des informations sur la direction du champ en 𝑴

5) Déterminer les variable(s) utile(s) du champ par le biais de l’étude des invariances de la distribution de charge : Invariance suivant 𝒙_𝟏  champ indépendant de 𝒙_𝟏 (principe de Curie)

Lignes de champ électrique autour de deux particules de même charges (gauche) et de charges opposées (droite).

Propriétés des lignes de champ électrostatique

• Les lignes de champ divergent depuis des sources chargées positivement et convergent vers les sources chargées négativement.

• Nous montrerons qu’elles ne sont JAMAIS fermées.

• En un point où se coupent deux lignes de champ, 𝑬 ⃗⃗⃗ est soit nul, soit indéfini.

• Carte de champ : ensemble des lignes de champ à un instant t donné.

E QUATIONS RELATIVES AU CHAMP ELECTROSTATIQUE

A) Théorème de Gauss et équation de Maxwell Gauss

1) Equation de Maxwell Gauss a) Introduction aux équations de Maxwell

Les équations de Maxwell, au nombre de quatre, sont les équations fondamentales de l’électromagnétisme, et jouent un rôle analogue au principe fondamental de la dynamique en mécanique.

Ce sont des principes non démontrables, énoncés par James Maxwell en 1865 à partir de différentes lois expérimentales¹¹, et jamais mis en défaut depuis par les expériences.

Au nombre de quatre, les équations de Maxwell portent sur la divergence et le rotationnel des champs 𝐸⃗ et 𝐵⃗ : elles constituent donc des équations locales, et permettent a priori de déterminer les champs connaissant la distribution des sources de champ (charges électriques pour 𝐸⃗ , courant et aimantation pour 𝐵⃗ .

b) Equation de Maxwell - Gauss

Une distribution (réelle, donc volumique) de charges crée un champ électrostatique 𝐸⃗ .

11 Leur formulation a prédit l’existence des ondes électromagnétiques, qui n’avaient pas encore été observées, fait rare en physique.On peut également noter l’exploit mathématique de Maxwell : l’analyse vectorielle, et donc les notions de divergence et rotationnel d’un champ, n’ont été formalisées qu’au tout début du XXe siècle.

16

Équation de Maxwell-Gauss :

𝐝𝐢𝐯(𝑬⃗⃗ (𝑴))

=

^𝝆(𝑴)

𝜀_𝟎 Avec 𝜀0= 36π. 10⁹ USI permittivité diélectrique du vide.

Equation locale, vérifiée en tout point M (pour une distribution de charge physiquement raisonnable), dans le cadre des régimes stationnaires ET variables.

En coordonnées cartésiennes :

𝜕𝐸 _𝑥

𝜕𝑥 + 𝜕𝐸 _𝑦

𝜕𝑦 + 𝜕𝐸 _𝑧

𝜕𝑧 = 𝝆(𝑴) 𝜀 _𝟎

L’équation de Maxwell-Gauss est donc une équation aux dérivées partielles sur les composantes du champ électrique.

Dans certains cas simples (haute symétrie + conditions aux limites connues), le champ électrique peut être déterminé directement par intégration de l’équation de Maxwell-Gauss.

2) Théorème de Gauss

Ce théorème constitue la forme globale de l’équation de Maxwell-Gauss ; il permet un calcul relativement simple du champ électrostatique créé par des distributions à haut degré de symétrie. Dans les autres cas, il reste toujours valable mais devient inefficace.

Soient Σ une surface fermée quelconque

𝒱 le volume délimité par la surface fermée Σ

En intégrant l’équation de Maxwell Gauss sur la volume considéré, on obtient :

∭ div(𝐸⃗ ) 𝑑𝜏

V

= ∭ 𝜌 𝜀 ₀ 𝑑𝜏

V

= 1

𝜀 ₀ ∭ 𝜌 𝑑𝜏

V

= 𝑄 _𝑖𝑛𝑡 𝜀 ₀

Or, d’après le théorème d’Ostrogradski, en orientant la surface Σ vers l’extérieur :

∯ 𝐸⃗ . 𝑑𝑆

Σ

= ∭ div(𝐸⃗ ) 𝑑𝜏

V

Soit finalement

∯ 𝑬 ⃗⃗ ∙ 𝒅𝑺⃗⃗

Σ = ^𝑸

^𝒊𝒏𝒕

𝜀

_𝟎

Cette équation, qui exprime le flux sortant du champ électrostatique créé par une distribution (discrète ou continue) de charges à travers une surface FERMÉE, constitue le théorème de Gauss.

Théorème de Gauss (énoncé admis, à connaître)

Le flux du champ électrostatique 𝐸⃗ à travers une surface de GAUSS (Σ) (FERMÉE et orientée vers l’extérieur) est égal au quotient par 𝜀0 de la charge totale 𝑄𝑖𝑛𝑡 contenue dans le volume 𝒱 délimité par la surface (Σ) :

∯ 𝐸⃗ ∙ d𝑆

(Σ)

=𝑄𝑖𝑛𝑡

𝜀₀

Remarques :

• Tout comme l’équation de Maxwell-Gauss, le théorème de Gauss restera valable dans le cadre d’un régime variable.

• Attention ! Les charges situées à l’extérieur de la surface de Gauss n’ont aucun effet sur le flux sortant de cette surface de Gauss ... mais cela ne veut pas dire qu’elles n’ont aucun effet sur le champ ! En particulier, l’étude des symétries et des invariances (donc de la direction et des variables dont dépend le champ) se fait obligatoirement en considérant la totalité de la distribution, dont ces charges « extérieures » qui ont donc bien un effet sur le champ.

Espace 9

Espace 10

• De la même manière, les positions des charges à l’intérieur de la surface de Gauss n’influent pas le flux sortant, qui ne dépend que de la charge intérieure totale, mais vont avoir un effet sur le champ par le biais de la direction et des variables dont dépend ce champ.

Animation pouvant aider à se convaincre de la validité du théorème et à mieux appréhender la notion de flux.

http://uel.unisciel.fr/physique/elecstat/elecstat_ch04/co/simuler_ch04_02.html

3) Utilisation du théorème de Gauss

Méthode : choisir une surface de Gauss adaptée

Surface sur laquelle le flux est constant par morceaux

• passant nécessairement par le point M étudié, si possible d𝑆⃗⃗⃗⃗ colinéaire à 𝐸⃗ (𝑀) en M, et contenant une partie au moins de la surface sur laquelle ‖𝐸⃗ (𝑀)‖= cte ;

• éventuellement complétée, notamment avec des portions sur lesquelles le champ est tangent à la surface (d𝑆⃗⃗⃗⃗

orthogonal au champ, flux nul)

Méthode : utiliser le théorème de Gauss

. Faire un schéma de la distribution de charges et y indiquer un point M arbitraire¹² où l’on va déterminer le champ 𝐸⃗ (𝑀).

. Choisir un repérage adapté à la « forme » de la distribution de charges et le représenter sur le schéma.

. Étudier les invariances de la distribution de charges pour en déduire des coordonnées du point M dont le champ électrostatique ne dépend pas.

Attention ! Cette étude n’apporte aucune information sur la direction du champ 𝐸⃗ .

. Étudier les symétries de la distribution de charges pour en déduire la direction du champ électrique au point M.

Attention ! Seuls les plans de symétrie ou d’antisymétrie de la distribution passant par M renseignent sur la direction de 𝐸⃗ . Attention ! Cette étude n’apporte aucune information sur les coordonnées de M dont dépend 𝐸⃗ .

. Choisir une surface de Gauss adaptée (cf. ci-dessus).

. Déterminer la charge intérieure à la surface de Gauss, sans oublier de distinguer les éventuels cas selon que le point M est à l’intérieur ou à l’extérieur de la distribution de charges.

. Appliquer le théorème de Gauss

. Vérifier la validité du résultat (cohérence du signe, homogénéité)

4) Exemples d’utilisation du théorème de Gauss

Champ électrostatique créé par une sphère chargée uniformément en surface

• 𝑬⃗⃗ présente une discontinuité finie ^𝛔

𝜺_𝟎 à la traversée de la surface chargée 𝝈, pas de calcul du champ sur la sphère.

• Le champ électrostatique créé à l’extérieur de la sphère chargée est le même que si toute la charge était concentrée au centre 𝑶 de la sphère.

Champ électrostatique créé par une boule chargée uniformément en volume

• 𝐸⃗ est continu à la limite du volume chargé, calcul possible en 𝑟 = 𝑎.

• Le champ électrostatique créé à l’extérieur de la boule chargée est le même que si toute la charge était concentrée au centre 𝑂 de la boule.

Champ électrostatique créé par un fil infini chargé uniformément

12Cette étape est l’analogue du « soit ∈ ℝ » des démonstrations mathématiques : on commence la démonstration en se fixant un point M, mais celui-ci n’a aucune propriété particulière.

18

• 𝐸⃗ devient infini au voisinage du fil, pas de calcul sur le fil.

• Le calcul du champ créé par un cylindre infini (chargé en surface ou en volume) nécessite le même type d’approche que le calcul du champ créé par un fil infini.

Champ électrostatique créé par un plan infini chargé 𝐸⃗ présente une discontinuité finie ^σ

𝜀0 à la traversée de la surface chargée 𝜎, pas de calcul du champ sur le plan.

Résumé : Surfaces de Gauss adaptées aux distributions de charge classiques

Géométrie de la distribution de charge Surface de Gauss

Sphérique

Sphère de même centre O que la distribution de charge, passant par le point M étudié, de rayon 𝑟 = 𝑂𝑀

Cylindrique

Cylindre de même axe (𝑂𝑧) que celui de la distribution de charge, passant par le point M étudié, de rayon 𝑟 = 𝑂′𝑀 avec O’ projeté de M sur l’axe (𝑂𝑧), de hauteur 𝐻 quelconque.

Plane

Cylindre ou parallélépipède de surface 𝑆 quelconque, d’axe perpendiculaire à la surface étudiée, dont l’une des faces supérieure ou inférieure passe par le point M étudié, et dont l’autre face passe par le point M’ symétrique du point M par rapport au plan étudié.

B) Problèmes de continuité du champ électrique – relations de passage

Charge volumique (physiquement raisonnable) : Le champ électrostatique est défini partout, il est continu.

Charge linéique ou ponctuelle (modélisation) : Le champ électrostatique est défini hors des charges, il devient infini à leur voisinage.

Charge surfacique (modélisation)

Le champ électrique subit une discontinuité finie à la traversée d’une surface chargée : 𝑬⃗⃗ _𝟐− 𝑬⃗⃗ _𝟏= 𝝈

𝜀₀𝒆⃗ _𝟏𝟐 Lors de la traversée d’une surface chargée :

• La composante tangentielle du champ électrique est continue

• La composante normale du champ électrique est discontinue.

• Remarque sur l’écriture : 𝐸⃗ ₂ − 𝐸⃗ ₁= 𝑙𝑖𝑚

𝑀₁𝑀₂→0(𝐸⃗ (𝑀₂) − 𝐸⃗ (𝑀₁))

C) Equation de Maxwell-Faraday de la statique - potentiel électrostatique

1) Équation de Maxwell-Faraday de la statique

Équation de Maxwell-Faraday en régime statique :

𝐫𝐨𝐭⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑬⃗⃗ (𝑴)) = 𝟎⃗⃗

Equation locale valable seulement en régime stationnaire.

Attention : L’équation de Maxwell-Faraday énoncée ainsi n’est pas valable dans le cadre des régimes variables (cf. EM7).

Passage de la formulation locale à la formulation intégrale à l’aide du théorème de Stokes Soient Γ une courbe fermée orientée quelconque

𝑆 une surface s’appuyant sur Γ, orientée par celle-ci.

Théorème de Stokes appliqué à 𝐸⃗ : ∮ 𝐸⃗ ∙ d𝑀⃗⃗

Γ = ∬ rot⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐸⃗ ) ∙ d𝑆

S

Équation de Maxwell-Faraday :

rot ⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐸⃗ ) = 0⃗

On en déduit :

∬ rot ⃗⃗⃗⃗⃗ (𝐸⃗ ) ∙ d𝑆

S = 0

Et donc pour toute courbe fermée 𝜞 :

∮ 𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑀 ⃗⃗

Γ = 0

Circulation du champ électrostatique

Il s’agit d’un champ à circulation conservative ; sur toute courbe fermée 𝜞 :

∮ 𝑬⃗⃗ ∙ 𝒅𝑴⃗⃗⃗

𝚪

= 𝟎

2) Potentiel électrostatique

Le champ électrostatique étant un champ à rotationnel nul, soit à circulation conservative,

c’est un champ de gradient ; il existe une fonction scalaire dont 𝐸⃗ est le gradient.

Définition du potentiel électrostatique

Le potentiel électrostatique 𝑉 est défini par les deux relations : 𝑬⃗⃗ = −𝐠𝐫𝐚𝐝⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑽) et

𝑬⃗⃗ ∙ 𝐝𝑴⃗⃗⃗ = −𝐝𝑽

Unités : potentiel V en volts : 𝑽 d’où l’unité du champ électrostatique : 𝐕. 𝐦^−𝟏

Remarque : d’après la relation 𝐸⃗ = −grad⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑉), une discontinuité du potentiel impliquerait un champ électrique donc une force infinie, ce qui n’a pas de sens physiquement : le potentiel électrostatique est une grandeur continue.

3) Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle

Soit une charge ponctuelle 𝑞0 placée en un point 𝑂.

Champ électrostatique créé en 𝑀 par la charge 𝑞₀ placée en 𝑂 :

𝑬 ⃗⃗ (𝑴) = _4𝜀 ^𝒒

^𝟎

0

𝒓

^𝟐

𝒆 ⃗ _𝒓

Le vecteur 𝒆⃗ 𝒓 est le vecteur radial des coordonnées sphériques, défini en fonction du point de l’espace : 𝑒 𝑟=^{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀}

𝑂𝑀=^{𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗}

𝑟

Méthode de recherche du potentiel créé en 𝑴 par la charge 𝒒

_𝟎

:

Intégration de la relation :

d𝑉 = −𝐸⃗ ∙ 𝑑𝑀⃗⃗ (*) Attention à la rigueur dans l’intégration de (*) pour trouver 𝑉 !

Espace 12

Espace 13

Espace 14

20

d𝑉 = − _4𝜀 ^𝑞

⁰

0

𝑟

²

𝑒 _𝑟 ∙ d𝑀 ⃗⃗ avec 𝑑𝑀 ⃗⃗ = 𝑑𝑟 𝑒 _𝑟 + ⋯ 𝑒 _𝜃 + ⋯ 𝑒 _𝜑 D’où 𝑑𝑉 = − _4𝜀 ^𝑞

⁰

0

𝑟

²

𝑑𝑟 = _4𝜀 ^𝑞

⁰

0

(− ^𝑑𝑟

𝑟

²

) = _4𝜀 ^𝑞

⁰

0

𝑑 ( ¹

𝑟 )

On en déduit l’expression du potentiel

𝑉 = 𝑞₀

4𝜀₀𝑟 + 𝑐𝑡𝑒

Choix de la constante d’intégration : telle que le potentiel créé loin de la charge soit nul :

𝑉(∞) = 0  𝑐𝑡𝑒 = 0

Potentiel électrostatique créé en 𝑴 par une charge ponctuelle 𝒒

_𝟎

placée en 𝑶 :

𝑽(𝑴) = 𝒒_𝟎

𝟒𝜺𝟎𝒓

Résultat à connaître Remarques :

• Contrôle de l’homogénéité du potentiel : [𝑽] =^{[𝒄𝒉𝒂𝒓𝒈𝒆]}

[𝜺_𝟎] 𝐿

• Le potentiel créé par une charge ponctuelle a le signe de cette charge.

4) Exemples de calcul du potentiel

Conclusions sur les continuités du champ et du potentiel électrostatiques

Charge ponctuelle Courbe chargée Surface chargée  Volume chargé Champ non défini (∞)

sur la charge ponctuelle

non défini (∞) sur la ligne chargée

non défini sur la surface chargée discontinuité finie ^σ

ε0

défini partout continu Potentiel non défini (∞)

sur la charge ponctuelle

non défini (∞) sur la ligne chargée

défini et continu sur la surface chargée

défini et continu (et à dérivée continue)

D) Lignes de champ et équipotentielles

1) Généralités

⃗⃗ = −𝑬 𝐠𝐫𝐚𝐝⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑽), donc, d’après les propriétés de l’opérateur gradient :

• Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.

• Le champ électrique a le sens des potentiels décroissants.

• Conséquence : Les lignes de champ électrostatique ne peuvent être fermées.

2) Voisinage des charges électriques

Diagramme d’une charge ponctuelle

Charge positive Charge négative

Espace 15

Espace 15