ELECTROSTATIQUE. Chapitre I

ELECTROSTATIQUE Chapitre I

Force, champ, potentiel et énergie électrostatiques

A. Tabbi-Anneni

PLAN

I. Introduction

II. Charge et phénomènes électrostatiques III. Lois et grandeurs électrostatiques

1. Force électrostatique 𝐹

2. Champ électrostatique 𝐸

3. Relation entre force et champ électrostatiques 4. Potentiel électrostatique V(M)

5. Relation entre champ et potentiel, notion de Gradient 6. Energie potentielle électrostatique Epe

VI. Distributions continues de charges électriques 1. Charge élémentaire dQ et charge totale Q

2. Expression des champ et potentiels créés par une distribution continue

I. Introduction

Electrostatique : Etude des interactions électriques entre corps chargés, les lois qui les régissent et les applications associées.

L’interaction électrique fait partie des quatre interactions fondamentales qui sont les suivantes:

1. Force forte

2. Force électromagnétique 3. Force faible

4. Force gravitationnelle

1. Interaction forte très intense

portée : faible portée; 10−15 m (1 fm) = dimension des noyaux (fm est le femtomètre) domaine d’action : nucléaire et subnucléaire

acteurs : particules élémentaires, nucléons, quarks,…

2. Interaction électromagnétique

intensité variant avec la distance [ 10

] portée : infinie (longue portée)

domaine d’action : dominante aux échelles atomique, moléculaire et humaine

acteurs : entités électriquement chargées

3. Interaction faible intensité faible [ 10

]

portée : faible portée; 10

𝑚 (taille de l’électron => force de contact) domaine d’action : subnucléaire, réactions nucléaires

acteurs : électrons, neutrinos, quarks

4. Interaction gravitationnelle intensité très faible [ 10

] portée : infinie (longue portée)

domaine d’action : dominante au-delà de l’échelle humaine

Domaines d’application de l’électrostatique : Plasma, arc électrique, éclair (foudre), …

Biophysique (étude des molécules).

Physique nucléaire (accélérateur des particules chargées).

Electrons de charge : q_e- = -e = -1,6.10^-19c Noyau : formé de Neutrons : pas de charge

Protons de charge +e = 1,6.10^-19c

Atome

II. Charge et phénomènes électrostatiques : constituants de la matière

L’atome est neutre lorsqu’il a autant de protons que d’électrons.

Le corps devient électrisé (+) ou (-) s’il cède ou récupère des électrons.

Phénomènes électriques: électrisation par contact

(a) Lorsque nous frottons un bâton d'ébonite, celui-ci se charge en électricité négative puisqu'il gagne des électrons. Il est capable d'attirer une bille de sureau. Un corps ayant un excès en électrons va essayer de se débarrasser de ces électrons en trop

(b) Lors du contact, une partie des électrons qui étaient de trop sur le bâton passent sur la bille qui se charge négativement. Une répulsion est observée entre les deux corps. Cette répulsion est d'autant plus importante que la distance entre les deux objets est petite.

(c) Tout en ayant la bille chargée négativement, approchons un bâton de verre qui lui sera chargé positivement. Contrairement au cas précédent, la balle est attirée par ce corps positif

III. Lois et grandeurs électrostatiques

1. Force électrique (Loi de Coulomb)

Force s’exerçant entre deux charges électriques q1 (en M1) et q2 (en M2) séparées par une distance r =(M1M2)

Deux charges de signe opposé Attraction

Deux charges de même signe Répulsion

Propriétés de la force électrique

• Unité: N (Newton)

• Répulsive ou attractive

• Direction : droite (𝑀₁𝑀₂)

• Norme: 𝐹₁₂ = 𝐹₂₁ = 𝑘 ^𝑞1.𝑞2

𝑟²

(𝑘 = ¹

4𝜋𝜀₀ = 9.10⁹S.I : constante de Coulomb)

𝜀₀ = permittivité diélectrique du milieu vide (~ ou air)

Analogie avec l’interaction gravitationnelle

2. Champ électrique

2.1. Champ électrique créé par une charge ponctuelle Une charge q placée au point O crée un champ 𝐸(𝑀) qui vérifie :

𝐸(𝑀) : Direction (OM)

Si q > 0 : Sortant (orienté de M vers l’infini) Si q < 0 : Entrant (de M vers O)

Vecteur: 𝐸(𝑀)=k ^𝑞

𝑟²𝑢 (𝑢 : vecteur unitaire) 𝑢 = ^𝑂𝑀

𝑂𝑀

Norme: 𝐸(𝑀)=k ^𝑞

𝑟²

Unité: Volt/mètre (V. 𝑚⁻¹)

2.2 Lignes de champ électrique

Lignes de champ d’un dipôle électrique (+Q,-Q)

Lignes de champ d’une charge ponctuelle

Lignes de champ: droites orientées vers l’infini (q > 0)

Lignes de champ: droites

orientées vers la charge (q <0) Une ligne de champ est une courbe obtenue en traçant

la tangente aux différents vecteurs champ électrique

Les lignes de champ sont orientées en fonction du sens du vecteur champ

Lignes de champ électrique dans un condensateur plan

• Les lignes de champ sont des droites orientés de l’armature (+) vers L’armature (-).

• Le vecteur champ électrique est uniforme, même direction, même sens et même norme en tout point de l’espace condensateur.

• Une charge (+q) placée dans l’espace condensateur est soumise à une force 𝐹₊ = 𝑞. 𝐸 de même sens que le champ.

• Une charge (-q) est soumise à une force 𝐹₋ = −𝑞. 𝐸 opposée au champ.

2.3 Champ électrique créé par une distribution discrète de N charges ponctuelles Principe de superposition

Soient N charges ponctuelles q1, q2, q3,…qN, placées respectivement aux points O1, O2,…ON et un point M extérieur aux N charges.

Le champ résultant créé au point M s’écrit :

𝐸 𝑀 = 𝐸₁ 𝑀 + 𝐸₂ 𝑀 + ⋯ 𝐸_𝑁 𝑀 = 𝑘 ^𝑞1

(𝑟₁)²𝑢₁ + 𝑘 ^𝑞2

(𝑟₂)²𝑢₂ + ⋯ 𝑘 ^𝑞𝑁

(𝑟_𝑁)² 𝑢_𝑁

𝑟_𝑖 : distance entre 𝑞_𝑖 et le point d’observation M (= 𝑂_𝑖M) 𝑢_𝑖 : vecteur unitaire orienté de 𝑂_𝑖 vers M

൯ 𝐸₁(𝑀 ൯

𝐸₂(𝑀

൯ 𝐸₃(𝑀 𝑞₁>0

𝑞₃>0

𝑞₂<0 ^𝑂1

𝑂₂

𝑂₁

𝑂₃ 𝑂₂

Principe de superposition

Le principe de superposition s’applique aussi pour les vecteurs forces électriques.

Soient N charges ponctuelles 𝑞

, 𝑞

, 𝑞

… 𝑞

, un point M extérieur aux charges et une charge q placée au point M.

F M = F

+ F

+ ⋯ + F

; Tel que : F

représente la force qui s’exerce entre qi et q(M)

𝐹 𝑀 = ෍ Ԧ

𝑖=1 𝑁

𝑘 𝑞. 𝑞𝑖 𝑟

𝑢

Exemple pour 3 charges 𝑞₁, 𝑞₂, 𝑞₃ un point d’observation M sur la charge 𝑞₁.

𝑭 𝑴 = 𝑭_𝟐/𝟏 + 𝑭_𝟑/𝟏

𝐹 𝑀 = 𝐹Ԧ ₂₁ + 𝐹₃₁

par analogie avec le schéma à droite

3. Relation entre champ 𝑬 et force 𝑭

Soient une distribution discrète de N charges ponctuelles (𝑞₁, 𝑞₂, 𝑞₃ … 𝑞_𝑁) et un point d’observation M extérieur aux charges. On place au point M une charge q. La charge q sera donc soumise à une force 𝐹Ԧ d’expression:

𝐹 𝑀 = 𝑘Ԧ ^𝑞1𝑞

𝑟₁² 𝑢₁ + 𝑘^𝑞2𝑞

𝑟₂² 𝑢₂ + ⋯ + 𝑘^𝑞𝑁𝑞

𝑟_𝑁² 𝑢_𝑁

= 𝑞. (𝑘 ^𝑞1

𝑟₁²𝑢₁ + 𝑘 ^𝑞2

𝑟₂²𝑢₂ + ⋯ + 𝑘 ^𝑞𝑁

𝑟_𝑁² 𝑢_𝑁) 𝐹 𝑀 = 𝑞. 𝐸 𝑀Ԧ

Conclusion:

une charge q placée dans un champ extérieur 𝐸 sera soumise à une force électrique donnée par :

Vecteur : 𝐹 𝑀 = 𝑞. 𝐸 𝑀Ԧ Norme : 𝐹 𝑀 = 𝑞 . 𝐸 𝑀

4.1-Circulation du vecteur champ électrique 𝐸

Soit une charge q placée au point P, cette charge crée en tout point M un champ électrique 𝐸(M) qui s’écrit 𝐸 𝑀 = 𝑘 𝑞

𝑃𝑀²𝑢_𝑟 La circulation de 𝐸(M), le long de la courbe AB est :

𝑪 𝑬 = න

𝑨 𝑩

𝑬. 𝒅𝒍

4. Potentiel électrostatique V(M)

Sachant que 𝑢_𝑟 𝑢_𝑟 = 1 et 𝑢_𝑟 𝑢_𝜃 =0 =>

𝑪 𝑬 = ׬

𝑨

𝒓_𝑩

𝑬. 𝒅𝒓

𝐸 = 𝑘

𝑟²

,

𝒓_𝑨 − 𝒌 ^𝒒

𝒓_𝑩

= V(A) – V(B) ( La circulation ne dépend donc pas du chemin suivi)

En posant le potentiel au point A : 𝑉 𝐴 = 𝑘

𝑟_𝐴

et le potentiel au point B: 𝑉 𝐵 = 𝑘

𝑟_𝐵

𝐶 𝐸 = ׬_𝐴^𝐵 𝐸. 𝑑𝑙 = ׬_𝐴^𝐵 (𝐸_𝑟 𝑢_𝑟 + 𝐸_𝜃 𝑢_𝜃)(𝑑𝑟 𝑢_𝑟 + r dθ𝑢_𝜃 ) = _׬𝐴^𝐵 (𝐸_𝑟 𝑢_𝑟 )(𝑑𝑟 𝑢_𝑟 + r dθ 𝑢_𝜃)

M’

r

Vecteur déplacement élémentaire en coordonnées polaires (ρ ,θ)

Un déplacement élémentaire 𝒅𝒍 quelconque à partir d’un point M vers M’

se décompose en un déplacement radial dρ suivant 𝑢ρ et un déplacement orthoradialρdθ suivant 𝑢_𝜃.

𝒅𝒍 = dρ 𝑢ρ ⁺ ρdθ 𝑢_𝜃 (𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒) Pour la suite, soit r = ρ

=> 𝒅𝒍 = 𝒅𝒓 𝒖_𝒓 + r dθ𝒖_𝜽

4.2 Potentiel créé par une charge ponctuelle au point M

Une charge q placée au point O crée en tout point de l’espace un potentiel d’expression

𝑉 𝑀 = 𝑘 𝑞

𝑂𝑀 = 𝑘 𝑞 𝑟 Le potentiel est une grandeur scalaire qui s’exprime en 𝑉 (Volt).

4.3 Potentiel créé par N charges charges ponctuelles au point M 𝑉 𝑀 = 𝑘^𝑞1

𝑟₁ + 𝑘 ^𝑞2

𝑟₂ + ⋯ + 𝑘 ^𝑞𝑁

𝑟_𝑁

•

Application

Calculer les potentiels électriques V(O) CO=BO=AO

𝐶𝑂 + 𝑘 ^𝑞𝐵

𝐵𝑂 + 𝑘 ^𝑞𝐴

𝐴𝑂

𝑉 𝑂 = −𝑘 ^𝑞

𝑎 − 𝑘 ^𝑞

𝑎 + 𝑘 ^𝑞

𝑎

𝑉 𝑂 = −𝑘 ^𝑞

𝑎

Volt

5. Relation entre champ et potentiel-Notion du gradient

La circulation du champ électrique sur un trajet quelconque AB donne:

𝑪 𝑬 = ׬_𝑨^𝑩𝑬. 𝒅𝒍 = V(A) – V(B) = -׬_𝑨^𝑩𝒅𝑽 𝑬. 𝒅𝒍 = - 𝒅𝑽 (*)

Dans le cas d’une fonction potentiel V(x,y,z) en coordonnées catésiennes, on a :

𝐸 𝐸_𝑥 𝐸_𝑦 𝐸_𝑧

et 𝑑𝑙 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

et la différentielle de la fonction V est : 𝑑𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝜕𝑥

𝑑𝑥 +

𝜕𝑦

𝑑𝑦 +

𝜕𝑧

𝑑𝑧 L’équation (*) s’écrira donc : 𝐸

. 𝑑𝑥 + 𝐸

. 𝑑𝑦 + 𝐸

. 𝑑𝑧 = −

𝜕𝑥

𝑑𝑥 +

𝜕𝑦

𝑑𝑦 +

𝜕𝑧

𝑑𝑧

on identifie :

𝐸

= −

𝜕𝑥

𝐸

= −

𝜕𝑦

𝐸

= −

𝜕𝑧

; On pose : 𝑔𝑟𝑎𝑑

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

Ce qui donne : 𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑉)

Composantes de l’opérateur gradient dans différents types de coordonnées

Coordonnées Cartésiennes Polaires Cylindriques Sphériques

Variables

(x, y, z) (r, θ) (r, θ, z) (r, θ, φ)

Vecteur opérateur gradient





































z y x

























 r

r 1





































z r

r

 1









































 ) sin(

1 1

r r r

Rappel sur les coordonnées cylindriques et sphériques dans l’espace :

Les coordonnées cylindriques du point M sont (ρ, θ, z) Les coordonnées sphériques du point M sont (r, θ, φ )

Application sur l’opérateur gradient : Dipôle électrique

On considère un dipôle (-q,+q) de dimension AB = a. Le potentiel créé en un point quelconque M(r,θ) est :

𝑉(𝑟, 𝜃) = 𝑘qa. cos(𝜃) 𝑟

1-

Utiliser la relation champ potentiel pour en déduire les composantes du champ électrique 𝑬(M) .

𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑉)

Voir le slid d’avant pour les composantes du gradient dans la base polaire : 𝑔𝑟𝑎𝑑

𝜕

𝜕𝑟 1 𝑟

𝜕

𝜕𝜃

⇒ 𝐸_𝑟 = - ^𝜕𝑉

𝜕𝑟 et 𝐸_𝜃 = - ¹

𝑟

𝜕𝑉

𝜕𝜃

𝐸 = 𝐸_𝑟 𝑢_𝑟 + 𝐸_𝜃𝑢_𝜃 ⇒ 𝐸 = 2𝑘qa.cos(𝜃)

𝑟³ 𝑢_𝑟 + ^{𝑘qa.𝑠𝑖𝑛(𝜃)}

𝑟³ 𝑢_𝜃 𝐸_𝑟 = - ^𝜕𝑉

𝜕𝑟 = 2𝑘qa.cos(𝜃) 𝑟³

𝐸_𝜃= - ¹

𝑟

𝜕𝑉

𝜕𝜃 = ^{𝑘qa.𝑠𝑖𝑛(𝜃)}

𝑟³

Déduction de l’opérateur gradient dans la base polaire

Soit 𝑉 𝑟, 𝜃 le potentiel créé en un point quelconque M(𝑟, 𝜃) :

𝑑𝑉(𝑟, 𝜃) = 𝜕𝑉

𝜕𝑟 𝑑𝑟 + 𝜕𝑉

𝜕𝜃 𝑑𝜃

𝐸_𝑟 𝑑𝑟 + 𝐸_𝜃r dθ = - ( ^𝜕𝑉

𝜕𝑟 𝑑𝑟 + ^𝜕𝑉

𝜕𝜃𝑑𝜃 ) ⇒ 𝐸_𝑟 = - ^𝜕𝑉

𝜕𝑟 et 𝐸_𝜃 = - ¹

𝑟

𝜕𝑉

𝜕𝜃

L’équation (*) s’écrira donc :

Doù les composantes de l’opérateur gradient dans la base polaire: 𝑔𝑟𝑎𝑑

𝜕

𝜕𝑟 1 𝑟

𝜕

𝜕𝜃

On a vu que: 𝑪 𝑬 = ׬

𝑬. 𝒅𝒍 = V(A) – V(B) = -׬

𝒅𝑽

En multipliant l’équation par une charge q, on obtient:

׬

𝒒𝑬. 𝒅𝒍 = ׬

𝑭. 𝒅𝒍 = - q׬

𝒅𝑽

En utilisant les théorèmes de la mécanique: 𝑊

(𝑭) = ∆𝐸

et ∆𝐸

= −∆𝐸

(Pour un système isolé), on retrouve: ∆𝐸

= q׬

𝒅𝑽

Ce qui donne : 𝐸

= 𝑞. 𝑉 + 𝑐𝑠𝑡𝑒

Si on pose l’énergie potentielle nulle à l’infini, on obtient : cste = 0

L’énergie potentielle électrique d’une charge q placée dans un potentiel V s’écrit :

𝐸

= 𝑞. 𝑉

6. Energie potentielle électrique: 𝐸

Application: Atome d’hydrogène :

Calcul de l’énergie totale de l’électron

e- 𝑉 r

𝑉

1proton

1- a) Exprimer le potentiel Ve- de l’électron en fonction de k, e et r .

b) En déduire l’expression de l’énergie potentielle électrique de l’électron.

Ve− = 𝑘 ^𝑒

𝑟 ; e : charge du proton (cf. paragraphe 4.2)

L’énergie potentielle électrique d’une charge q placée dans un potentiel V s’écrit :

𝐸_𝑝 = 𝑞. 𝑉 (s’exprime en Joule: J)

𝐸_𝑝 = −𝑒.Ve− (−e charge de l′electron)

= − 𝑘 𝑒² 𝑟

Distribution linéaire 𝑑𝑄 = λ dL

Distribution surfacique 𝑑𝑄 = σdS

Distribution volumique 𝑑𝑄 = ρdτ

𝑑𝐸 𝑀 = 𝑘 𝑑𝑄

(𝑃𝑀)² 𝑢 dV(M) = k ^𝑑𝑄

𝑃𝑀

IV. Distributions de charges continues

1- Expression de la charge Q d'une distribution continue

Nature de la distribution

Linéique Surfacique Volumique

Densité de charges λ (en C/m) σ (en C/m²) ρ (en C/m³)

Charge élémentaire dQ

λ.dl σ.dS ρ.dτ

Charge totale

Q න

𝑙

λdl ඵ

𝑆

σdS ම

τ

ρ. dτ

2- Champ créé par une distribution continue

Distribution discrète Distribution continue

Charge élémentaire 𝑞_𝑖 𝑑𝑄

Champ élémentaire 𝑑𝐸 = 𝑘𝑑𝑄

𝑟²

Champ résultant 𝐸 = ෍

𝑖

𝐸_𝑖

Distribution de charges linéaire 𝐸 = න

𝐿

𝑑𝐸

Distribution de charges surfacique 𝐸 = ඵ

𝑆

𝑑𝐸

Distribution de charges volumique 𝐸 = ම

τ

𝑑𝐸 𝐸_𝑖 = 𝑘 𝑞_𝑖

𝑟_𝑖²