I- Le condensateur :

(1)

E C

I- Le condensateur :

Le condensateur est un composant électrique qui peut stocker de l’énergie lorsqu’il est chargé.

Son symbole est le suivant :

La charge d’un condensateur est par convention la charge prise par l’armature vers laquelle est orienté le sens de courant électrique.

En courant contenu q est donnée pat la relation q = I. t.

Si le courant est variable i = dq dt .

Pour un condensateur pl an l’expression de sa capacité est donnée par la relation suivante : C =  S

e = 

_r

.

_o

S e .

La tension au bornes du condensateur est u

C

= q

C son énergie est E

C

= 1

2 C u

C2

= 1 2 q

²

C .

uC

q

II- Le dipôle RC :

1- Réponse du dipôle RC à un échelon de tension :

Le condensateur se charge progressivement lorsqu’on applique à ces bornes un échelon de tension E.

L’équation différentielle en q (ou en u

C

) est la suivante : dq

dt + q RC = E

R . ( du

_C

dt + 1

RC u

_C

= E RC )

La solution est de la forme : q(t) = Q

o

[1 – exp(- t

 )] ( u

C

(t) = E [1 – exp(- t

 )] avec  = RC et Q

o

= C.E

C

q² Ec

K K2

R

(2)

E



t

UG = E

; u

_C

E R

t i

2- Décharge d’un condensateur à travers un conducteur ohmique :

Le condensateur se décharge progressivement lorsqu’on déplace le commutateur en position (2).

L’équation différentielle en q (ou en u

C

) est la suivante : dq

dt + q

RC = 0 ( du

_C

dt + 1

RC u

_C

= 0)

La solution est de la forme : q (t) = Q

o

exp(- t

 ) ( u

C

(t) = E exp(- t

 )) avec  = RC et Q

_o

= C.E

E



t u

C

i (t) = -Io exp(- t

 ) avec Io= Qo



t

- E R i

Le condensateur est complètement chargé ou déchargé après une durée de temps

t = 4,6 ≈ 5

0  5 t

Q_o q

Q

o



t

q

(3)

II- Le dipôle RL :

1- Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension : Il s’établit progressivement un courant électrique contenu I

o

dans le circuit suite à l’application d’un échelon de tension aux bornes du dipôle RL.

Equation différentielle en i : di

dt + 1

 .i = E

L avec  = L r +R

La constante de temps  est une grandeur qui renseigne sur le retard avec lequel le régime permanent s’établit.

E U

R

= R.I

o

u

R

(t) = U

R

(1-exp(- t

 ))

t u

R

E

u

b

(t) = E exp(-

t



) +

r.E

R+r (1-exp(-

t



))

r.E

R+r

t ub

2- Rupture d’un courant dans un circuit RL : Equation différentielle en i :

di dt + 1

 .i = 0 avec  = L r +R

I

o

= E R+r

i(t) = I

o

(1-exp(- t

 ))

t i

Io i(t)= I

o

exp (- t

 )

t

i

R.I

o

u

R

(t)= R.I

o

exp (- t

 )

t

u

R

(4)

En régime permanent la bobine se comporte comme un conducteur ohmique.

L’énergie magnétique restituée dans la bobine lorsqu’elle est parcourue par un courant i est : E

_L

= 1

2 L.i

²

.

IV- Le dipôle RLC :

On charge un condensateur et on le connecte en série avec un conducteur ohmique de résistance R

₂

et une bobine d’inductance L et de résistance interne r.

Equation différentielle : L d

²

q

dt

²

+ R

_o

dq dt + q

C = 0 avec R

₀

= R

₂

+ r LC d

²

u

C

dt

²

+ R

o

C du

C

dt + u

C

=0

Pour des grandes valeurs de Ro. C’est le régime apériodique.

Le régime critique est un régime apériodique qui correspond au retour le plus rapide du système vers son état d’équilibre.

t

u

c

L ’énergie totale du circuit diminue au cours du temps à cause de la résistance totale du circuit qui dissipe l’énergie sous forme de chaleur par effet joule.

E = E

L

+ E

c

= 1

2 L.i

²

+ 1 2

q

²

C donc dE

dt = i( L di dt + q

c ) = - R

o

.i

²

< 0

T’= T 2 E

c

E

L

T’

^t

E

t

u

b

(t)= E(

r

R+r

–

1) exp(-

t



)

E(

r

R+r – 1)

ub

Pour des petites valeurs de R

_o

u

C(t)

c’est le régime pseudopériodique

u

R(t)

T 2T t

0 u(V)

(5)

Cas particulier R

_o

= 0.

Les oscillations dans ce cas sont libres non amorties dont l’équation différentielle est de la forme :

L d

²

q dt

²

+ q

C = 0 c.a.d d

²

q dt

²

+ w

02

q = 0 avec w

0

= 1

LC la pulsation propre des oscillations.

La période propre est T

_o

= 2 LC et la fréquence propre est N

o

= 1 2 LC q (t) = Q

_m

sin(w

₀

.t + 

_q

) avec Q

_m

= C.U

_cm

i (t) = I

m

sin(w

0

.t + 

i

) avec I

m

= w

0

. Q

m

et 

i

= 

q

+  2

Cas ou 

q

=  2 rad

T

o

t i(t) et q(t)

L’énergie totale du circuit reste constante au cours du temps donc le système est conservatif.

E = E

_L

+ E

_c

= 1

2 L.i

²

+ 1 2

q

²

C = 1

2 LI

_m²

= 1 2 Q

_m²

C dE

dt = i( L d

²

q dt

²

+ q

c ) = 0

T = T o

2 E C

E L

 ^t

0 E _c ; E _L

dE dt = dE

_C

dt + dE

_L

dt = 0 donc dE

_C

dt = - dE

_L

dt

Les oscillations libres non amorties sont dues à une transformation mutuelle et intégralle

d’énergie électrique et énergie magnétique.

(6)

Ec= 1 2

q

²

C et E

L

= 1

2C .Q

m2

– 1 2C q

²

Courbe de variation de Ec = f(q) et E

L

= g(q)

-Q

_m

Q

_m

Courbe de variation de Ec = f(q

²

) et E

L

= g(q

²

)

Q

_m²

q EL ou Ec

q² EL ouEc

1 2C .Q

m2

1 2C .Q

m2

Pente : 1 2C

Pente : - 1

2C

(7)

E

L

= 1

2 L.i

²

et Ec = 1

2 LI

m2

– 1 2 Li

²

Variation de E

L

et E

c

en fonction de i

-I

m

+I

m

Variation de E

L

et E

c

en fonction de i

²

I

_m²

i EL ou Ec

1 2 LI

m2

i² EL ouEc

Pente : 1 2 L

Pente : - 1 2 L 1

2 LI

m2

(8)

i

²

= w

02

(Q

m2

– q

²

) Variation de i

²

=f(q)

i

²

-Qm +Qm

Variation de i

²

=f(q

²

)

I

m2

Q

m2

q

²

= 1

w

₀²

(I

m2

– i

²

) variation de q

²

=f(i

²

)

Variation de q

²

=f(i)

I

m2

-I

_m

+I

_m

q

w

02

Q

m2

q

²

i

²

Pente : - w

02

1 w

₀²

I

m2

i

²

q

²

Pente : - 1

w

₀²