MOUVEMENTS RECTILIGNES DANS UN CHAMP DE PESANTEUR OU ELECTROSTATIQUE UNIFORME

MOUVEMENTS RECTILIGNES

DANS UN CHAMP DE PESANTEUR OU ELECTROSTATIQUE UNIFORME

I - LES MOUVEMENTS RECTILIGNES 1) Définition

Le mouvement d’un système est qualifié de rectiligne lorsque la trajectoire de son centre de gravité est une droite.

Remarque :

N’étant qu’à une seule dimension, ce type de mouvement ne nécessite qu’un seul axe et un seul vecteur unitaire pour être décrit :

2) Vecteurs vitesse et accélération



Le vecteur vitesse est défini par :



Le vecteur accélération est défini par :

3) Les différents mouvements rectilignes





II – CHUTE LIBRE DANS UN CHAMP DE PESANTEUR UNIFORME 1) Chute libre

2) Champ uniforme

On peut considérer que le champ de pesanteur est uniforme (même direction, même sens, même valeur) dans une région de l’espace de dimensions petites par rapport à celles de la Terre (typiquement dans un volume de 1km de côtés).

3) Chute libre sans vitesse initiale

a) Définition du système, choix du référentiel

Toute étude de mouvement nécessite, pour commencer, de définir le système et de choisir un référentiel adapté.

Dans le cas de la chute libre :

 Système étudié : un objet de masse m

 Référentiel utilisé : le laboratoire (supposé galiléen)

O

x

y z

G

b) De la deuxième loi de Newton à l’accélération

L’application de la deuxième loi de Newton nécessite de faire l’inventaire des forces extérieures exercées sur le système.

 Force(s) extérieure(s) appliquée(s) au système : le poids

 D’après la deuxième loi de Newton :

Remarques :

 En supposant que le système est ponctuel, nous avons :

 L’accélération du système en chute libre est indépendante de sa masse.

 En considérant le vecteur champ de pesanteur comme uniforme ( ), l’accélération est alors constante : le mouvement peut être qualifié d’uniformément varié, ici accéléré.

 En utilisant le repère cartésien (O ; , , ), décomposons les vecteurs accélération et champ de pesanteur en leurs trois coordonnées ax, ay, az et gx, gy, gz :

c) De l’accélération à la vitesse

 Nous avons précédemment déterminé les coordonnées du vecteur accélération.

 Puisque les vecteurs accélération et vitesse sont liés par , leurs coordonnées sont aussi liées :

 Par intégration, nous obtenons :

 Or la dernière équation nous permet de comprendre que les constantes d’intégration k1, k2 et k3 correspondent à une valeur de vitesse à t = 0 s, c’est-à-dire aux coordonnées du vecteur vitesse initiale :

 Puisque le système est lâché (vitesse initiale nulle), les coordonnées du vecteur sont nulles, donc :

Remarques :

d) De la vitesse à la position

 Nous avons précédemment déterminé les coordonnées du vecteur vitesse.

 Puisque les vecteurs vitesse et position sont liés par , leurs coordonnées sont aussi liées :

 Par intégration, nous obtenons :

 La dernière équation nous permet de comprendre que les constantes d’intégration k’1, k’2 et k’3 correspondent aux valeurs des coordonnées x, y et z à t = 0 s, c’est-à-dire aux coordonnées du point de départ du système :

 Si le système est parti de l’origine du repère, ces coordonnées sont nulles, donc : Remarques :

 Seule la coordonnée z n’est pas nulle : le mouvement ne s’effectue que selon l’axe Oz.

 Puisque les coordonnées correspondent à des fonctions du temps, ces trois équations sont appelées

« équations horaires du mouvement ».

4) Chute libre avec une vitesse initiale non nulle a) Choix du système et du référentiel

 Système étudié : un objet ponctuel de masse m

 Référentiel utilisé : le laboratoire (supposé galiléen)

b) De la deuxième loi de Newton à l’accélération

 Force(s) extérieure(s) appliquée(s) au système : le poids

 D’après la deuxième loi de Newton : soit

 Les coordonnées du vecteur accélération s’obtiennent par projection des vecteurs sur les trois axes du repère cartésien (O ; , , ) :

O

x

y z

G

d

x y

P

S

N

c) De l’accélération à la vitesse

 Les vecteurs accélération et vitesse étant liés par , nous obtenons :

 Par intégration, nous obtenons :

 Compte-tenu de l’orientation du vecteur vitesse initiale nous avons :

Remarques :

 Au cours de la phase ascendante : vz > 0 soit - g.t + v0 > 0 soit

 Au sommet de la trajectoire, la vitesse du système est nulle : vz = 0 donc - g.t + v0 = 0 soit à la date

 Au cours de la phase descendante : vz < 0 soit - g.t + v0 < 0 soit

d) De la vitesse à la position

 Les vecteurs vitesse et position étant liés par , nous avons :

 Par intégration, nous obtenons :

 Si le système est parti de l’origine du repère, les équations horaires s’écrivent :

II - MOUVEMENT DANS UN CHAMP ELECTROSTATIQUE UNIFORME

Nous étudierons uniquement le cas dans lequel le système possède une vitesse initiale horizontale lorsqu’il rentre dans la zone sous influence d’un champ électrique.

1) Choix du système et du référentiel

 Système étudié : une particule supposée ponctuelle de masse m et de charge q

 Référentiel utilisé : le laboratoire (supposé galiléen)

2) De la deuxième loi de Newton à l’accélération

 Force(s) extérieure(s) appliquée(s) au système :

 le poids

 la force de Coulomb

Nous supposerons que le poids est négligeable devant la force de Coulomb.

 D’après la deuxième loi de Newton :

 Projetons cette relation vectorielle sur le repère cartésien (O ; , , ) :

3) De l’accélération à la vitesse

 Les vecteurs accélération et vitesse étant liés par , nous avons :

 Par intégration, nous obtenons :

Remarque :

Puisque seule la coordonnée vx n’est pas nulle, le mouvement est rectiligne et ne s’effectue que selon l’axe Ox.

4) De la vitesse à la position

 Les vecteurs vitesse et position étant liés par , nous avons :

 Par intégration, nous obtenons :

 Si le système est rentré dans le champ électrique au niveau de l’origine du repère, nous avons :