Contrôlecontinun 1 ,Statistiques Prénom: NOM:

NOM :

Prénom :

2009/2010

Contrôle continu n

1, Statistiques

Exercice 1 : Une série de données est représentée par la boite à moustache suivante :

−10−505101520

Questions Réponses

1.Quelle est la valeur maximale de la série ? r3 20

r 15 r 10 r 0

2.Pensez-vous que la moyenne est plus grande ou plus petite que la médiane ? r3 Plus grande

r Plus petite r Elles sont égales 3.Y-a-t-il plus de valeurs dans les moustaches ou dans la boite ? r Dans les moustaches

r3 Dans la boite r3 Il y en a autant

Exercice 2 : Soit(Xi)une suite de variables aléatoires i.i.d. (indépendantes, identiquement distribuées), d’espérancesE(Xi) =µet de variance Var(Xi) =σ². On poseX = ¹_n(Xi+X2+. . .+Xn).

Questions Réponses

1.L’espérance deXest r ^µ_n

r3 µ r ^√µ_n

2.La variance deXest r σ²

r3 ^σ_n² r ^x−µ_σ √

n r ^√σ2_n 3.Le théorème centrale limite nous apprend que lorsquentend vers l’infini la

variable aléatoireZnsuit une loi proche d’une loi normale centrée réduite. r Zn =^X−µ√_nσ r3 Zn=√

n^X−µ_σ r Zn =^X−_σ^√nµ r Zn =^X−nµ√_nσ

1

Exercice 3 : Voici les trois coefficients de corrélation des nuages de points suivants :r1= 0,23,r2= 0,95etr3=−0,83

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

x

y

(a) Nuage I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

x

y

(b) Nuage II

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.6−0.4−0.20.0

x

y

(c) Nuage III

Questions Réponses

1.Le coefficient de corrélation linéaire du nuage I est : r3 0,23 r 0,95 r -0,83 2.Le coefficient de corrélation linéaire du nuage II est : r 0,23

r3 0,95 r -0,83 3.Le coefficient de corrélation linéaire du nuage III est : r 0,23

r 0,95 r3 -0,83

Exercice 4 : SoitXune variable aléatoire de loi normale d’espérance3et de variance9,X ∼ N(3,9).

Questions Réponses

1.la variable aléatoireY =X−9suit une loi normale r N(0; 9)

r N(0; 3) r3 N(−6; 9) 2.la variable aléatoireY = ¹₃X suit une loi normale r N(0; 3)

r N(0; 1) r N(1; 3) r3 N(1; 1) 3.la variable aléatoireY = ^X+b_c suit une loi normale centrée réduite r b= 3etc= 3

r b= 3etc= 9 r b=−3etc= 9 r3 b=−3etc= 3 Exercice 5 :

Questions Réponses

1.Un estimateurKnd’un paramètreθest convergeant si r3 ∀ε >0, limn→∞P(|Kn−θ|> ε) = 0

r E(Kn) =θ r var(Kn) = 0

2.Un estimateurK_nd’un paramètreθest sans biais si r ∀ε >0, limn→∞P(|Kn−θ|> ε) = 0

r3 E(K_n) =θ r var(Kn) = 0 3.Un estimateurKnd’un paramètreθest plus efficace qu’un estimateurHn

si ils ont même espérance et si r3 varKn ≤varHn

r varKn≥varHn

r E(Kn)≥E(Hn) r E(Kn)≤E(Hn)

2

NOM :

Prénom :

2009/2010

Contrôle continu n

1, Statistiques

Exercice 1 : Une série de données est représentée par la boite à moustache suivante :

−20−15−10−50510

Questions Réponses

1.Quelle est la valeur maximale de la série ? r 20

r 15 r3 10 r 0

2.Pensez-vous que la moyenne est plus grande ou plus petite que la médiane ? r Plus grande

r3 Plus petite r Elles sont égales 3.Y-a-t-il plus de valeurs dans les moustaches ou dans la boite ? r3 Dans la boite

r Dans les moustaches r3 Il y en a autant

Exercice 2 : Soit(Xi)une suite de variables aléatoires i.i.d. (indépendantes, identiquement distribuées), d’espérancesE(Xi) =µet de variance Var(Xi) =σ². On poseX = ¹_n(Xi+X2+. . .+Xn).

Questions Réponses

1.L’espérance deXest r3 µ

r ^µ_n r ^√µ_n

2.La variance deXest r3 ^σ_n²

r σ² r ^x−µ_σ √

n r ^√σ2_n 3.Le théorème centrale limite nous apprend que lorsquentend vers l’infini la

variable aléatoireZnsuit une loi proche d’une loi normale centrée réduite. r3 Zn=√ n^X−µ_σ r Zn =^X−µ√_nσ

r Zn =^X−_σ^√nµ r Zn =^X−nµ√_nσ

3

Exercice 3 : Voici les trois coefficients de corrélation des nuages de points suivants :r1= 0,23,r2= 0,95etr3=−0,83

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

x

y

(d) Nuage I

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.20.40.60.81.0

x

y

(e) Nuage II

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

−0.6−0.4−0.20.0

x

y

(f) Nuage III

Questions Réponses

1.Le coefficient de corrélation linéaire du nuage I est : r -0,83 r 0,95 r3 0,23 2.Le coefficient de corrélation linéaire du nuage II est : r -0,83

r3 0,95 r 0,23 3.Le coefficient de corrélation linéaire du nuage III est : r3 -0,83

r 0,95 r 0,23 Exercice 4 : SoitXune variable aléatoire de loi normale d’espérance3et de variance9,X ∼ N(3,9).

Questions Réponses

1.la variable aléatoireY =X−9suit une loi normale r N(0; 9)

r3 N(−6; 9) r N(0; 3) 2.la variable aléatoireY = ¹₃X suit une loi normale r N(0; 3)

r3 N(1; 1) r N(0; 1) r N(1; 3) 3.la variable aléatoireY = ^X+b_c suit une loi normale centrée réduite r b= 3etc= 3

r3 b=−3etc= 3 r b= 3etc= 9 r b=−3etc= 9 Exercice 5 :

Questions Réponses

1.Un estimateurKnd’un paramètreθest sans biais si r ∀ε >0, limn→∞P(|Kn−θ|> ε) = 0

r3 E(Kn) =θ r var(Kn) = 0

2.Un estimateurK_nd’un paramètreθest convergeant si r3 ∀ε >0, limn→∞P(|Kn−θ|> ε) = 0

r E(K_n) =θ r var(Kn) = 0 3.Un estimateurHnd’un paramètreθest plus efficace qu’un estimateurKn

si ils ont même espérance et si r varHn ≥varKn

r3 varHn≤varKn

r E(Kn)≥E(Hn) r E(Kn)≤E(Hn)

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