Interrogation de cours n˚2

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Interrogation de cours n˚2

Nom : Pr´enom :

Question 1 (7 points) :Soit (−→ i ,−→

j ,−→

k) une base de l’espace et soient−→u₁,−→u₂,−u→₃les vecteurs de l’espace d´efinis par :

−→

u₁(1,−1,1) ; −→u₂(1,2,−1) ; −→u₃(2,3,1).

D´emontrer que les vecteurs−→u₁,−→u₂,−u→₃sont lin´eairement ind´ependants. Que peut-on en d´eduire quant `a la famille (−→u1,−→u2,−→u3) ?

On r´edigera avec soin et on citera les r´esultats de cours utilis´es.

1

Question 2 (3 points) :Soit (O;−→ i ,−→

j ,−→

k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace.

• Enoncer la formule donnant la longueur´ ABen fonction des coordonn´ees (xA, yA, zA) de A et des coor- donn´ees (xB, yB, zB) deB.

• On suppose ici que les points AetB sont donn´es par :

A(2,−1,3) ; B(5,−5,8).

Calculer la longueurAB.

2

Question 3 (7 points) :Soit (O;−→ i ,−→

j ,−→

k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace. SoientP₁le plan de repr´esentation param´etrique :







x= 1−t1+t2

y=t2

z= 2 +t1

de param`etrest₁, t₂∈R. SoitP₂ le plan d’´equation cart´esienne : x−y+z−3 = 0.

Donner une ´equation cart´esienne de P1 puis montrer queP1=P2. On r´edigera avec soin.

3

Question 4 (3 points) :Soit (O;−→ i ,−→

j ,−→

k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace.

• Donner la formule donnant la distance du pointA(xA, yA, zA) au planP d’´equation cart´esienne : ax+by+cz+d= 0.

• SoitP le plan d’´equation cart´esienne :

2x−3y−z+ 1 = 0.

Calculer la distance du point A(2,8,−3) au planP.

4