Emittance spectrale

I- Généralités

II- Conduction

III- Rayonnement

IV- Convection

V. Applications

TRANSFERTS THERMIQUES

I- Généralités

TRANSFERTS THERMIQUES

Transfert thermique

=

Énergie en transit dû à une différence de température Les modes de transfert de chaleur

La conduction

transport d’énergie dans la matière sans de déplacement de matière Transport par les électrons (conducteur) ou les phonons (isolant) nécessite un milieu solide de transmission

transmission faible dans les gaz

La convection

transport d’énergie dans la matière avec déplacement de matière

Transport par écoulement de fluide (liquides, gaz) / différence de masse volumique nécessite un milieu fluide de transmission

Le rayonnement

transport d’énergie sous forme d’ondes électromagnétiques pas de déplacement de matière

pas de contact entre les objets ou milieux qui échangent l’énergie

pas de milieu de transmission nécessaire (dans le vide, ça marche aussi !)

I- Généralités

TRANSFERTS THERMIQUES

Un flux de chaleur s'exprime donc en Joules/s, c'est-à-dire en Watt c'est une puissance.

Flux de chaleur : quantité de chaleur transférée par unité de temps

dt

= dQ Φ

Analogie avec la mécanique des fluides :

Un débit fluide est un flux de matière [m³/s]

Pour obtenir un débit de fluide, il faut force motrice:

une différence de pression ou d’énergie potentielle.

Analogie avec l’électricité :

Un débit de courant est un flux d’électrons [C/s]

Pour obtenir un débit de courant, il faut force motrice:

une différence de potentielle électrique.

Un débit de chaleur est un flux de chaleur [J/s]

Pour obtenir un débit de chaleur, il faut une force motrice:

une différence de température Une densité de flux de chaleur s'exprime donc W/m²

Densité de flux de chaleur : quantité de chaleur transférée par unité de temps par unité de surface

dt

dQ

S 1

φ =

I- Généralités

TRANSFERTS THERMIQUES

1

2

3

Déperdition d’une piscine

Capteurs solaires (production ECS) Échangeurs de chaleur

Thermique des bâtiments Rendement dans les turbines Équilibre thermique de la Terre

Changements climatiques

II.A.- Loi de Fourier

II- Conduction

TRANSFERTS THERMIQUES

A B

Dans cette barre métallique chauffée en son extrémité A, on observe un gradient longitudinal de température T(x): T(A) > T(B)

Cette différence du potentiel température T(A) - T(B) provoque un flux de chaleur Φ :

Φ = h S [ T(A) - T(B) ] en J/s

h est défini comme un coefficient de transfert de chaleur

Milieu de propagation du flux de chaleur: un solide Cause du phénomène: un écart de température

Dans le béton, la température T(M) va varie de 26°C au contact de l'eau, à 8°C au contact du sol.

Il existe donc une fonction de variation de la température

T = T(M)

dans le milieu conduisant la chaleur

Puisque la température varie dans le solide en fonction de l'endroit où on la mesure,

c'est dire que:

Lorsqu'on de déplace de: M en M + dM T(M + dM) = T(M) + dT

T est une fonction des 3 variables d'espace x, y et z:

Il existe donc un gradient de température:

La variation totale dT est la somme des 3 variations:

et la variation totale de température est égale au

produit scalaire: avec:

Cause Effet

La Loi de Fourier exprime que l'effet produit est proportionnel à sa cause provoque

Un gradient local de température

un densité de flux de chaleur locale

W/m

²

W/(m .°C) °C/m

II.B.- Champs de lignes isothermes

I- Conduction

TRANSFERTS THERMIQUES

les vecteurs densité de flux et gradient de température sont colinéaires.

qui signifie que les vecteurs densité de flux sont orthogonaux aux lignes isothermes

conduit donc à l'expression du produit scalaire:

La Loi de Fourier:

Définition du gradient:

on a:

Si:

quand M + dM Lignes de flux

orthogonales aux isothermes

Lignes isothermes

Définition de (C), une ligne isotherme: Si M ∈ ∈ ∈ ∈ (C) alors T(M) = Cte ou dT ≡ ≡ ≡ ≡ 0

II.C.- conduction en 1D (problème du mur) I- Conduction

TRANSFERTS THERMIQUES

x = 0 x = L

T(x = 0) = T₀ T(x = L) = T_L

Dans le cas général, T dépendra de l'espace: ce sera T(x, t)

et la Loi de Fourier se réduit à l'équation différentielle

1 D ⇒ une seule variable d’espace x

Flux de chaleur φ φ φ φ en W/m²

x = 0 x = L

T₀ > T_L T_L

Cause du phénomène de conduction dans le milieu: une différence de température

Effet: un Flux de chaleur

dx

λ dT

φ = −

Dans cette hypothèse, rien ne dépend de la variable temps t : T(x,t) ≡≡≡≡^T(x)

x x + dx

La température de cette tranche de matière de longueur dx demeure constante

φφφφ (x) φφφφ (x + dx) Par conséquent:

φφφφ (x) = φ = φ = φ = φ (x + dx) Le flux de chaleur est constant Hypothèse stationnaire

(

0

)

0 0

. )

( )

( )

( )

( x dx dT x dx T x dx L T T

dx

x dT

_L

L x

x L

x

x

−

−

=

⇔

−

=

⇔

−

=

⇔

−

= ∫ ∫

⁼

=

=

=

λ φ

λ φ

λ φ

λ φ

L T T −

_L

= λ

⁰

φ

L'écart de température T

₁

- T

₂

provoque un flux de chaleur à travers le mur:

Ecart de température: T

₁

- T

₂

= 20°C - 5°C = 15°C Epaisseur du mur: L = 0,20 m

λ pour le béton: λ = 0,92 W / (m .°C)

Flux thermique à travers le mur: φ = 0,92 x 15 / 0,20 = 69 W/m

²

Puissance pour S = 5 m x 4 m = 20 m

²

, Φ = φ S = 1,38 kW

Exemple: mur en béton

L T T

₁

−

₂

= λ

φ

ρ ρ ρ

ρ est la résistivité électrique

1/ λλλλ est la résistivité thermique, inverse de la conductivité R s'exprime en °C/W

Analogie électrique

( ⁻ ) ^{⇒ − = Φ = Φ}

Φ =

= R

S T L

T T

L T

S λ

φ λ

_{1 2 1 2}

Φ

=

− T R T

_{1 2}

S L S

L S

R L λ ρ

λ ^{= ≡}

=

1

Différence de potentiel Résistance thermique

r est la résistance spécifique

λ S L R

r = . = ^{φ λ} ( ^{T T} ) ^{T T r φ}

L

S = − ⇒ − =

= Φ

_{1 2 1 2}

r s'exprime en °C.m²/W

Mur multicouches (1D stationnaire)

Chaque couche est caractérisée par:

son épaisseur e

_i

sa conductivité λ

_i

les températures T

_i

et T

_i+1

de ses 2 faces

La densité de Flux thermique est constante tout le mur:

Loi du mur simple avec additivité des résistances spécifiques

n n n

R T T R

T

T

₁

1 2

1

− = ... = −

⁺

= Φ

1 1

1 2

1

1

...

1

+

+

= −

= −

− = Φ =

∑

n i

i

n n

n

T T

R T

T R T

T R

∑ ^{∆ =} ∑ ^∆

= Φ

i i

i i

i

e

S T R

T

λ

II.D.- équation générale de la chaleur

I- Conduction

TRANSFERTS THERMIQUES

Expression locale de la loi exprimant un lien causal entre un apport d'énergie et une variation de température – application du 1er principe de la thermodynamique

∫∫∫

= Φ

V

dV dT c dt ρ . . .

soit un apport d'énergie

1 - Flux par conduction reçu par un volume V délimité par une surface S

∫∫

−

= Φ

S

dS n W ] . .

[ r r

φ ^{= −} ∫∫

S

C

J dt n dS

Q [ ] . r . r . φ

2 - Éventuellement, apport thermique de sources de chaleur internes de densité de puissance volumique p [W/m

³

] ⁼ ∫∫∫

V

I

J dt p dv

Q [ ] . .

1er principe : Qc+Qi= ∆ U=mc ∆ T

Apport d’énergie implique une variation d’énergie du corps Les apports peuvent être :

∫∫∫

∫∫∫

∫∫ ^{+ =}

−

V V

S

dT c dV dv

p dt

dS n

dt . φ ^r . ^r . . . ρ . .

(Formule d'Ostrogradski)

∫∫ ^{φ r}

^→

^{n ds =} ∫∫∫ ^{div } _ ^{ φ}

^→

^ _ ^{ dv =} ∫∫∫ ^{∇ φ r . dv}

Bilan thermique   = 0 ∀ V

 

∂

− ∂ +

∇

∫∫∫ −

V

t dv c T p ρ

φ ^r = 0

∂

− ∂ +

∇

− t

c T p ρ φ ^r

Loi de Fourier r = − ∇ r T λ

φ ^∇ ( ) ^{∇ + − ∂} _∂ ^{= 0}

t c T p

T ρ

λ ^r

Milieu homogène isotrope ^∇ ( ) ^{∇ + − ∂} _∂ ^{= 0 ⇒ ∆ T + − ∂} _∂ ^{= 0}

t T c p

t T c T p

λ ρ λ λ

ρ λ r

Diffusivité thermique

a c ρ

= λ ^[m

²

^s

^-1

^]

Le cuivre a une diffusivité thermique a = 1, 1 . 10^-4 m²/s)

2 2

α

∂

= ∂

∆

₂

2 2

2 2 2

2

1 1

z r

r r

r ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∆ θ

( )

2 2 2

2 2

2 2

sin sin 1

sin . 1

1

ϕ θ θ θ

θ

θ ∂

+ ∂

 

 





∂

∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∆ r r r

r r

Régime stationnaire

0 T + =

∆ λ

p 1 0

T =

∂

− ∂

∆ t

T

a ^{∆ T = 0}

Milieu inerte Régime stationnaire+milieu inerte

Équation de Poisson Équation de Fourier Équation de Laplace

Conditions aux limites

Indispensables pour la résolution de l'équation 2 grands type (Dirichlet, Neumann)

Conditions de Dirichlet :

les CL imposent la température en surface (ou en un point particulier) à chaque instant

) , ,

(

_{s s s}

S

T x y z

T =

-assez éloignées de la réalité (imposer une température ?!) -facilitent les calculs

Conditions de Neumann :

les CL imposent le flux en surface à chaque instant

) , , ,

( x

_s

y

_s

z

_s

t

S

φ

φ =

-Plus réaliste (tiens compte des flux par rayonnement par exemple) -Dans le cas stationnaire, φ_S=

φ

₀

II.E.- Modèles élémentaires

I- Conduction

TRANSFERTS THERMIQUES

Mur homogène, régime stationnaire, conductivité constante

( ) 0 0

T

₂

2

=

∂

→ ∂

=

∆ x

x T

2 1

2 1

0 ) (

T T x

T T x

C x C x

T

=

→

=

=

→

=

+

=

δ

2 1

2 1 1

T C

T C T

=

− −

= δ

( )

S R

T

T S T

dx S dT

T T x

x T T

λ δ δ λ λ

δ

∆ =

= Φ

−

=

−

= Φ

− +

−

=

R )

(

2 1 1 2

1

Mur homogène à N couches, régime stationnaire

T

₂

T

₃

φ

T

₁

T

₂

φ

T

₁

T

₂

φ

T

_n

T

_n+1

φ

On apllique pour chaque couche le modèle précédent

( ) ∑

=

∑

= + +

+

+ Φ = − Φ = − = ∆ =

− −

=

N

i i

i T

N i

i N i

i i i i

i i i

S R

T R

T T T

S T T

T x x T

T

...

1 T

...

1

1 1

1

1

R

)

( λ

δ δ

λ δ

T

₁

T

_n+1

Cylindre creux homogène, régime stationnaire, conductivité constante

) 0 ( 1 ) 0 (

T

₂

2

=

∂ + ∂

∂

→ ∂

=

∆ r

r T r r

r T

2 2

1 1

ln

1

ln ln

0

T T r

r

T T r

r

C r

u

r u dr du dr

u dT

=

→

=

=

→

=

= +

= +

→

=

( )

2 1

1 2

1 1

2

2 1

2 1 1

2 1

ln ln ln

ln )

(

r r T r

T T

C

r r

T C T

C r C r

T

−

−

=

= −

+

=

( )

( )

λ π

λ π φ

λ λ

. . 2 R ln

ln 2 ) 1

(

ln ) ) (

(

ln ) ln

(

1 2

1 2

1 2

2 1

1 2 2 1

1 1

L r r

r rL r T r

R T r

S

r r

T T r

r S dr

r dT S

r r r T r

T T

r T

=

∆

=

∆

=

= Φ

= −

−

= Φ

−

−

= r

₁

r

₂

T

₁

T

₂

-ΦΦΦΦ er R sont indépendant de r

- On utilise souvent une puissance linéaire linéique Φ_l=Φ pour 1 m de tuyau (L = 1 m)

L

Cylindre creux homogène à N couches, régime stationnaire, conductivité λ_i constante

r

₁

r

₂

r

₃

On apllique pour chaque couche le modèle précédent

( )

( )

( ) ( )

∑

∑

=

+

+

=

+

+ +

+ + + +

=

∆

= Φ

= −

= −

− = Φ =

= − Φ

− +

−

=

N

i i

n n T

T

N N

i i

n n

n n n

n n i

i i i i

i i

i

i i

i

L r

R r R T

T T

L r

r T

T L

r r T

T L

r r

r r

T L T

T r

r

r r T

T r

T

..

1

1

1 1

..

1

1

1 1

2 1 1

1 2

1 1 1 1

2 1 ln

2 ln

2 ... ln 2

ln 1

2 ln

ln ln

ln ln )

(

λ π

λ π λ

π λ

π λ π

ΦΦ

ΦΦ est indépendant de r il se conserve au passage de N couches

Exemple : canalisation calorifugées

Mur homogène, régime stationnaire, conductivité constante, CL Dirichlet + Neumann

2 1

2 1

) ( 0

) (

φ δ

φ

δ → =

=

=

→

=

+

= x

T T x

C x C x

T

λ λ φ

λ φ

δ

2 1

1 2

1 2

)

(  = − ⇒ = −



 





∂

− ∂

=

=

=

C x C

x T T

C

x

S R

T

T T T

T T

T x x

T

λ

δ λ

φ δ λ

φ δ λ δ

δ φ λ

φ

∆ =

= Φ

−

=

−

=

− + ⇒

−

=

= + ⇒

−

=

R

) ( )

(

² _{1 2} ² _{1 2 1 2}

T

₁

T

₂

φ

Cylindre plein, régime stationnaire, conductivité λ constante

Idem cylindre creux avec r1 0

T ( r ) = C

₁

ln r + C

₂



^r

 →

^→



⁰

∞

Physiquement inacceptable, sauf si C₁=0

T(r)=constante, donc Φ = 0 W

Mur composite, régime stationnaire

) 0 0 (

T

₂

2

=

∂

→ ∂

=

∆ x

x T

T

₁

T

₂

φ

T

₁

T

₂

φ

T

₁

T

₂

φ

Problème a priori 2D, mais l'approximation 1D permet cependant une bonne modélisation de la réalité

Mur composite de N couches caractérisées par:

son épaisseur e

_i

sa conductivité λ

_i

sa surafce S

_i

les températures T

₁

et T

₂

de ses 2 faces

T

₁

T

₂

i i

i i

N

i i

T

S

R e R

T R

T

= λ

= ∆

= ∆

Φ ∑

=1..

1

R₁=e₁/(λ₁S₁) R₁=e₁/(λ₁S₁)

R₁=e₁/(λ₁S₁)

II.F.- Modèle du milieu semi-infini

I- Conduction

TRANSFERTS THERMIQUES

T, Φ

Milieu semi infini = milieu dont les dimensions sont suffisamment grandes pour que les perturbations (T

ou ΦΦΦΦ) appliqueés sur l'une des faces ne se fassent pas ressentir sur l'autre

Description réaliste du sol

Résolution de l'équation de la chaleur

⇓

Transformée de Laplace d'une fonction Méthode de séparation des variables

Théorème de superposition (décomposition de Fourier) Fonction de Green

Calcul numérique

Tranformée de Laplace

∫

∞

−

=

=

0

) ( ) exp(

)]

( [ )

( p L f t pt f t dt

F

dⁿF(p)/dxⁿ

∂ⁿT(x,t)/∂xⁿ

1/p² t

1-erf[x/(4at)^1/2] (1/p)exp(-qx) q²=p/a

1/p² t

non définie 1/t

1/p 1 (Heaviside)

F(p) f(t)

f continue bornée sur [0, +∞[ (même par morceaux)

∃α 0<α<1 / t^α

|f(t)|

→ 0 si t→0

Si f est définie sur |R, f est nulle sur |R^- F(p) définie pour p>0 (majoration à l’∞)

Si p complexe c'est la transformée de Fourier

Linéarité : L[af(t)+bg(t)]=aL[f(t)]+bL[g(t)]

Dérivée : L[f

ⁿ

(t)]=pF(p)-f(0

⁺

)]

Similitude : L[f(kt)]=(1/k)F(p/k) Dérivation : F

⁽ⁿ⁾

(p)=L[(-1)

ⁿ

t

ⁿ

f(t)]

voir cours méthématiques

les tables de tranformées de Laplace permettent un passage relativement aisé f(t)F(p) l'inverse n'est pas toujours très simple !

) 0 , ( 1 ) , (

2

2

=

∂

− ∂

∂

∂

t t x T a x

t x T

Exemple : équation de la chaleur unidimensionnelle sans source (soit Π(x,p) =L[T(x,t)]

[ ^{( , ) T ( , 0 )} ] ⁰

1 ) , (

2

2

Π − Π −

₊

=

x p

x a p

dx p x d

a p T

a x p dx

p x

d

₀

2 2

) , ) (

,

( − Π =

Π

Eq. Diff. Conventionnelle à résoudre, puis inversion F(p)f(t) pour la solution finale

[ ]

a k p

kx B

kx A

p x p

a x p dx

p x d

p a x

p p p

a x p p

x a p

p T (x,p)

*(x,p) T

(x,t)

*(x,t)

= +

+

−

= Π

= ⇒ Π

Π −

Π

 =



 



 Π −

=

− Π

− Π

= Π

− ⇒

=

2 2

2

0 0

0 0

) exp(

) exp(

) , (

* 0

) , ( ) *

, (

*

) , ( T *

) , ( T

) , 1 (

T T

Équation de la chaleur

Transformée de Laplace

Changement de variable

Conditions initiales détermination des constantes d’intégration A et B

Application : mur semi-infini à température T₀, λ constant, soumis à un saut de température T₁

z

T

₀

T

₁

appliquée « brusquement »

 













=

=

∂ =

− ∂

∂

∂

1 0 2

2

) , 0 (

) 0 , (

) 0 , ( 1 ) , (

T t

T

T z

T

t t z T a z

t z T

 













= − Π

= Π

= Π

Π −

p T p T

z

p a z

p dz

p z d

0 1 2

2

) , 0 (

*

0 ) 0 , (

*

0 ) , ( ) *

, (

*

 













−

=

=

∂ =

− ∂

∂

∂

0 1 2

2

) , 0 (

*

0 ) 0 , (

*

) 0 , (

* 1

) , (

*

T T t

T z T

t t z T a z

t z T

Π * ne peut pas → ∞ (majoration) : B=0

 

 



= 

 →







 



 −

= at

erfc x t

p f a x

p p

F ( ) 4

exp )

(

A p A

T p T

x

x = 0 ⇒ Π * ( , ) =

¹

−

⁰

= exp( 0 ) =

 





 



 −

= −

Π z

a p p

T p T

x , ) exp

(

*

^{1 0}

 





 



 +

 +







 



 −

=

Π z

a B p

a z A p

p

x , ) exp exp

(

*

( ) ( ) ^



 



−  +

=

⇒

 

 



− 

= z

erfc at T

T T

t x T at z

erfc T

T t

x

T 4

1 4

1

0 1 0

0

1

( , )

) , (

*

tables

Fonction erreur erf(u) et fonction erreur complémentauir erfc(u)

( )

( ) ( )

 



 

 −

 =





 

 −

=

−

=

−

=

−

=

∞

=

−

=

−

=

∫

∫

2 2

0

2 2

2 0

2

2 1

2

1 2 0

0

1 2

β β α π

β α π β

π ξ

π ξ

u u du

d d u

u du u

u d u

u u

d u

u u

. exp )

erf(

exp )

erf(

exp )

erf(

) erf(

) erf(

erf )

erf(

) erf(

) erfc(

exp )

erf(

Fonction tabulée (pas de solution analytique)

( ) ( ) ( ) ^



 



− 

−

=

 

 



−  +

=

⇒

 

 



− 

= z

T at T T

at z T

T T

t x T at z

T T t

x

T 4

1 4

1 4

1

0 1 1

0 1 0

0

1

erfc ( , ) erfc erf

) , (

*

( )

( ) ( ) ( ) ( )

t T bS T

t T T S c c t

T T S at

T T S

at z at

T T S dz

t z S dT

z z

. .

) exp ,

(

π π

λρ ρ λ

π λ π

λ

π λ λ

0 0 1

0 1 1 0

1

0 0 2

1

0

4

1 4

2

= −

= −

= −

= −

 

 



 



 −

= −

 

− 

= Φ

= =

( ) ^c

¹²

b = λρ

On peut donc également calculer la densité de flux qui traverse le plan (la surface) z=0

Effusivité thermique du matériau. Le flux pénétrant dans le matériau est proportionnel à son effusivité !

Mise en contact de deux milieux semi-infinis Milieu 1, température initiale T₁, effusivité b₁ Milieu 2, température initiale T₂, effusivité b₂

Si T₁>T₂

ϕ₁=b₁(πt)^-1/2(T-T₁)<0 et ϕ₂=b₂(πt)^-1/2(T-T₂)>0 Conservation du flux ϕ₁=-ϕ₂

2 1

2 2 1

1

b b

T b T

T b

+

= + ^{Si b}

¹

^{≈ b}

²

^{alors T ≈ (T}

¹

^+T

²

^)/2

Si b

₁

>>b

₂

alors T ≈ T

₁

Explication de la sensation

physiologique des températures (cf. TD)

Méthode de séparation des variables

On cherche s’il existe une solution particulière à variables séparées satisfaisant le système d’équation (chaleur + CL) : T(x,t)=X(x).Y(t)

 













=

=

∂ =

− ∂

∂

∂

2 0

0 0

1 2

2

0 1 0

CL t

z y x T

CL z

y x T

t t z T a z

t z T

) , , , (

) , , , (

) , ( )

, (

 













=

=

∂ =

− ∂

∂

∂

2 0

1 2 2

0

0

CL t

x T

CL x

T

t t Y a

z X z

z t X

Y

) , (

) , (

) ( ) ( )

). ( (

 













=

=

=

2 0

0

1

1

CL t

x T

CL x

T

t Y

t Y a z

X z X

) , (

) , (

) (

) ( ' )

( ) (

"

( ^{ak t} )

t Y

t k Y

t Y a

z k X

z X

2 2 2

1

−

=

−

=

=

−

=

=

exp )

( ) (

) ( '

) (

) (

"

δ α α

) exp(

) (

) (

) ( '

) (

) (

"

t i t

Y t i Y

t Y

z i X

z a X

ω η

ω β

ω β

=

=

=

=

=

α > 0 car sinon T ∞ pour t ∞

Modèle adaptée pour les phénomènes qui tendent vers une distribution de la température constante àl’équilibre

Modèle adaptée pour les phénomènes périodiques en fonction du temps

La solution élémentaire = X(z).Y(t) + Ci les conditions aux limites sont essentielles

Application : mur semi-infini à température T₀, λ constant, soumis à une variation périodique de sa température en surface (modèle du sol sous rayonnement solaire)

z

T

₁

  











=

=

∞

∂ =

− ∂

∂

∂

t A

t

t t z a

z t z

ω θ

θ

θ θ

cos )

, (

) , (

) , ( )

, (

0 2

2

0

0 0

1 0

 













+

=

=

∞

∂ =

− ∂

∂

∂

t A

T t T

T T

t t z T a z

t z T

ω cos )

, (

) , (

) , ( )

, (

0 1

1 2

2

0 0

1 0

( ) ( )

( ) ( )

[ ^{exp exp} ] ^{exp( )}

) , (

exp exp

) ) (

( ) (

"

) exp(

) ) (

( ) ( '

t i ikz

ikz t

z

ikz ikz

z X k

a i i a z

X z X

t i t

Y t i

Y t Y

ω η

µ κ

θ

µ ω κ

β

ω η

ω β

× +

+

−

=

+ +

−

=

= ⇒

=

=

=

= ⇒

=

2 2

θ : fluctuation de température

la solution doit être finie si x ∞ : µ = 0

θ (0,t)=A

₀

cos ω t : κη =A

₀

( , ) exp z exp( i t ) a

A i t

z ω ω

θ _ ^





 



 −

=

₀

( ) ( ) ( ) ⁱ

a a

i i i

i  +



 



=  + ⇒

=

− +

=

= 1

1 2 1 2

2 2 1

or

²

1

2

ω ω

ω ω ω

β

) exp(

exp )

,

( z i t

a A i

t

z ω ω

θ _ ^





 



 −

=

₀

( )

 

 



 −

 







 







 

 



− 

=

 







 







 

 



− 

 







 







 

 



− 

=

 





 





 

 



− 

 







 







 

 



− 

=

 







 







+

 

 



− 

=

D z t a

A

a z t a

A

t a i a z

A

t i z

a i A

t z

exp cos

exp cos

) exp(

exp

) exp(

exp )

, (

2 1 0

2 1 2

1 0

2 1 2

1 0

2 1 0

2

2 2

2 2

2 1

ω ω

ω ω ω

ω ω ω

ω ω θ

L’amplitudes oscillations décroît rapidement si on s’éloigne du plan z=0

pour des fréquences croissantes

Il existe un déphasage temporel des oscillations entre deux profondeurs

D : profondeur d'amortissement (à cette profondeur la variation cyclique de T est atténuée par le facteur 1/e = 37% (86% à 2D, 98% à 4D) T est à peu près constante (=T₁) pour z=4D.

2 1

2 



 



= 

ω

D a

La diffusivité thermique des sols est dans la gamme a=0,5.10

^-6

m

²

s

^-1

. Cas de l’ensoleillement journalier : période du signal 24h D=0,1173 m Cas de l’ensoleillement annuel : période du signal 365 jr D=2,2411 m

Cas d’une période glaciaire : période du phénomène 1000 ans D=224,11 m les bonnes caves sont toujours à quelques mètres sous terre !

le permafrost (sol gelé en profondeur lors de la dernière glaciation) ne dégèle que très superficiellement pendant l’été

a =0,5.10

^-6

m

²

s

^-1

D= 0,12 m (4D = 0,48)

w = (2 π )/(24.3600)

T

₀

= 15 °C, A

₀

= 5 °C

II.A.- Loi de Newton

II- Convection

TRANSFERTS THERMIQUES

C'est le transfert de chaleur par des courants de fluides, liquides ou

gazeux.

Ce phénomène peut se développer naturellement, les différences de potentiel motrices étant des

différences de densité: c'est la CONVECTION NATURELLE.

On peut aussi le générer

mécaniquement à l'aide de pompes ou de ventilateurs: c'est la

CONVECTION FORCEE.

Coefficient d'échange de chaleur par convection

convection = transfert de chaleur par déplacement de fluide mécanisme de transfert décrit par la loi de Newton

S

Φ Φ Φ Φ

T

_P

fluide

T

_∞

( −

∞

)

=

Φ hS T

_P

T

loi de Newton

Φ Flux de chaleur transmis par convection [W]

h coefficient de transfert [W.m^-2K^-1]

TP température de la surface d'échange [K, °C]

T∞ température du fluide loi de la surface d'échange [K, °C]

S aire de la surface d'échange solide/fluide [m²]

La valeur du coefficient de transfert de chaleur par convection h est fonction de la nature du fluide

de la température du fluide

de la vitesse de déplacement du fluide

des caractéristiques géométriques de la surface de contact

( −

∞

)

=

Φ hS T

_P

T ∆ = Φ = R

_th

Φ S

T h

. ^{R h S}

conv

th

.

= 1

conduction pure conduction + convection

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ Φ Φ

T

₁

T

₂

∑

∑

=

=

+

=

= ∆

= − Φ

N

i i

i

T N

i

i N

S R

T R

T T

...

1 ...

1

1 1

λ δ R

T

T

₂

T

₁

S h S e S

h

R T S

h S e S

h

T T

N B

i i

i A

T N B

i i

i A

N

. 1 .

1

. 1 .

. 1

...

1 ...

1

1 1

+ +

=

= ∆ +

+

= − Φ

∑

∑

=

=

+

λ λ R

T

interface A interface B

Les lois relatives à la conduction s'appliquent également pour la convection (série, parallèle)

Cylindre 2πrL

II.B.- Mécanismes de convection / régimes d'écoulement II- Convection

TRANSFERTS THERMIQUES

Convection = transfert de chaleur par déplacement de matière (fluide) différents mécanismes de tranfert

le type d'écoulement est important dans la description du problème

Tranferts de chaleur et transferts de masse liés mécanique des fluides + transferts Convection libre

Fluide en mouvement par les différence de masse volumique en son sein dues à ∆T et gravité Convection forcée

Fluide en mouvement par une cause extérieure à la flottabilité (ventilateur, pompe…) Écoulement laminaire

Écoulement directionnel (ou irrotationnel) lignes de fluide parallèles (lignes de courant) conduction dans une direction ⊥ aux lignes de courant

convection + conduction (négligeable) pour toute autre direction Écoulement turbulent

Pas de direction privilégiée (pas unidirectionnel), mais déplacement d'ensemble possible convection + conduction (négligeable) dans toutes les directions

Chaque situation fait intervenir un certain nombre de paramètres déscriptifs de la situation

Problème majeur pour calculer le flux de chaleur par convection la détermination de h !!!!!!

Nombreux paramètres descriptifs

Analyse dimensionnelle

Théorème de VASCHY-BUCKINGHAM

Groupes adimensionnés (combinaisons des paramètres)

Mesures expérimentales lois de corrélation entre groupes

Détermination du coefficient h par connaissance des caractéristiques du fluide

II.C.- Analyse dimensionnelle appliquée à la convection forcée II- Convection

TRANSFERTS THERMIQUES

Le problème consiste à préciser l'expression du flux thermique ΦΦΦΦ échangé entre le fluide extérieur à la température T_∞∞∞∞ et une longueur unité de la surface du tuyau à la température T_P

( )

Φ = h T - T D _{p ∞} π

Surface d'échange par m de tuyau, en m² Ecart de température

entre paroi extérieure et fluide à l'infini, en K Flux transféré,

en Watt

en W/(m

²

.K)

8 Grandeurs physiques et 4 dimensions: M, L, T et θ

Le théorème de VASCHY-BUCKINGHAM permet donc de prévoir que la forme la plus générale de la loi physique décrivant le phénomène étudié s'écrira:

π_i :groupements sans dimension de la forme:

0 ) , , ,

( π

₁

π

₂

π

₃

π

₄

=

F (

P

)

ⁱ

g f e d c b

a

U C h T T

D

_∞

−

_∞

= λ ρ µ π

Toute fonction G de p variables indépendantes x_i mesurée par q unités fondamentales (avec p > q) s’exprime nécessairement sous la forme :

les variables x₁, x₂, …,x_q étant choisies dimensionnellement indépendantes. Les fonctions π_i sont des groupements adimensionnels des variables x₁, x₂, …,x_p.. Dans la pratique, on choisit pour x₁, x₂, …,x_qles paramètres que l’on considère comme essentiels pour le problème considéré et que l’on veut voir figurer explicitement dans l’expression de G.

( x

1

^, x

2

^,..., x

_q

) = x

1^a

x

2^b

^... x

_q^q

F (

_q+1, _q+2,

^...,

_p

) = ⁰

G π π π