MECANIQUE DU SOLIDE RIGIDE ENSEIGNEMENT DE LICENCE DE MECANIQUE UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE LA 201 SECTION B ANNEE 2006-2007

MECANIQUE DU SOLIDE RIGIDE

ENSEIGNEMENT DE LICENCE DE MECANIQUE UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE

LA 201 SECTION B

ANNEE 2006-2007

CHAPITRE I - CALCUL VECTORIEL – RAPPELS DE MATHEMATHIQUES

1 Espace vectoriel et représentation d’un vecteur.

Soit E un espace vectoriel de dimension n = 3, en fait ℜ³, de base b=( ,e e e_{1 2}, )₃ formée de 3 vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur de E peut être représenté par une combinaison linéaire des vecteurs de base de b :

1 1 2 2 3 3

v=v e +v e +v e ou bien sous la forme e

3

1 i i i

v v

=

=

∑

^.

Une autre notation peut être adoptée, appelée aussi convention de l’indice muet ou convention d’Einstein :

v =v ei i

L’indice répété i est l’indice muet sur lequel se fait l’opération. Cette convention n’est applicable que dans le même monôme.

L’espace vectoriel E est souvent représenté par un repère R possédant une origine O et une baseb=( ,e e e_{1 2}, )₃ . On notera :

1 2 2

( ; , , ) R= O e e e

2 Opérations sur les vecteurs

2 – 1 Produit scalaire

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique de ExE sur ℜ telle que la forme quadratique associée soit définie positive.

Par définition une forme bilinéaire f est une application qui à deux vecteurs de E associe le réel

et u v ( , )

f u v . Par ailleurs f est une application linéaire par rapport à chacun des arguments.

Notation :

( , ) . f u v =u v La symétrie du produit scalaire est définie par la propriété :

( , ) . . ( , ) f u v =u v =v u = f v u

Une forme est dite définie positive si le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est positif et ne s’annule que si le vecteur

. u u 0

u= . Remarques :

• On définie le produit scalaire de 2 vecteurs u et v dans une base b=( ,e e e_{1 2}, )₃ par :

3 3

1 1

. ( _{i i})( _{j j}) _{i j}( . )_{i j i i}. _{j j}

i j

u v u e v e u v e e u e v e

= =

= = =

∑ ∑

• Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul :

. 0

u v =

Cette dernière propriété nous permet d’écrire que dans le cas d’une base orthonormée nous avons :

1 si ( . )

0 si

i j ij

i j e e =δ = ⎨^⎧⎩ i⁼≠ j

D’où une autre écriture possible pour le produit scalaire :

1 1 2 2 3 3

. ( _{i i})( _{j j}) _{i i}

u v= u e v e =u v =u v +u v +u v

Norme d’un vecteur : Parmi les définitions possibles de la norme on retiendra celle de la norme euclidienne :

1/ 2 2

( . ) _i. _{i i}

i

u = u u = u u =

∑

u

On se sert de cette dernière définition pour introduire une nouvelle notation du produit scalaire impliquant l’angle entre les deux vecteurs :

. . cos( ,

u v = u v u v) 2 – 2 Produit mixte

Soit E un espace vectoriel de baseb=( ,e e e_{1 2}, )₃ . On appelle produit mixte des vecteurs de E, leur déterminant dans la base

, et

u v w b=( ,e e e_{1 2}, )₃ . On le note :

( , , )u v w =Det u v w( , , )

On démontre que le déterminant est invariant par changement de la base b.

Propriétés :

• Le produit mixte est invariant par rotation circulaire des vecteurs. Cette propriété est directement liée à celle des déterminants :

( , , )u v w =( , , )w u v =( , , )v w u

• Le produit mixte de 3 vecteurs coplanaires est nul : ( , , )u v w = ⇔0 u v w, , liés

Les autres cas de nullité du produit mixte se vérifient dans le cas où deux des trois vecteurs sont colinéaires, et lorsque un des vecteurs est nul.

2 – 3 Produit vectoriel :

Théorème :

Soient u et v deux vecteurs de E.

• l’application :

( , , )

E R

w u v w

ϕ →

est une forme linéaire.

• Il existe un unique vecteur α de E tel que :

, ( ) ( , , ) . w E ϕ w u v w α w

∀ ∈ = =

Démonstration :

• ϕ est linéaire puisque le déterminant est linéaire par rapport au dernier argument.

• unicité de la deuxième proposition :

Supposons qu’il existe deux vecteurs α et 'α tel que :

, ( ) ( , , ) . '.

w E ϕ w u v w α w α w

∀ ∈ = = =

')

alors ∀ ∈w E (α α− ').w=0 et donc le vecteur (α α− est orthogonal à tout vecteur de E. C’est un vecteur nul ⇒ α α= '

Existence :

Notons P la matrice constituée des vectrices colonnes de u v, et w :

1 1 1

2 2 2

3 3 3

u v w

P u v w

u v w

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Nous aurons ( , , )u v w =det

[ ]

P =w u v1( 2 3−u v3 2)−w u v2( 1 3−u v3 1)+w u v3( 1 2−u v2 1) Si l’on pose pour α :

2 3 3 2 1 1 3 3 1 2 1 2 2 1 3

( u v u v e ) ( u v u v e ) ( u v u v e )

α = − − − + −

Nous obtenons alors :

( , , )u v w =α.w

Le vecteur α ainsi défini est le produit vectoriel des deux vecteurs u v, et on note :

u v

α = ∧

Retour au produit mixte :

Nous pouvons donc aisément écrire le produit mixte de la manière suivante : ( , , )u v w = ∧u v w. .

Les propriétés du déterminant et la symétrie du produit scalaire permettent d’écrire : ( , , )u v w = ∧u v w. = −( , , )v u w =( , , )v w u =u v. ∧w

Expression du produit vectoriel :

Le produit vectoriel α = ∧u v peut s’écrire de divers manières, en particulier en se servant de l’expression du déterminant précédente, on aura :

2 2 3 3 1 1

1 2

3 3 1 1 2 2

u v u v u v

u v e e e

u v ⁺ u v u v

∧ = + ₃

es Propriétés du produit vectoriel :

a) L’application ∧ de E×E dans E est anticommutative, bilinéaire et non associative.

b) u∧ ⊥v u et u∧ ⊥v v c) u∧ = ⇔v 0 u v, colinéair

( ) ( . ) ( . ) u∧ v∧w = u w v− u v w

(démonstration en TD)

2 – 4 Division vectoriel :

Soient deux vecteurs v et w connus, existe-t-il un vecteur x tel que : v∧ =x w ?

Remarque :

• v doit être non nul

• v et w doivent être orthogonaux v

Si existe, alors x x+λ est aussi solution.

Recherchons maintenant le vecteur en fonction de x v et w. En multipliant vectoriellement par , on obtient : v

( )

v v∧x = ∧v w

En utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit à l’expression suivante :

2

( . )v x v ( . )v v x v w x v 1 v w λ v

− = ∧ ⇒ = − ∧

On peut démontrer, à ce niveau la deuxième remarque ci-dessus :

2

1 (

( ) v v w

v x v v v w

v v

λ ^{− ∧ ∧}

∧ = ∧ − ∧ = ₂ )

en développant ce double produit vectoriel, on obtient :

2

( . )v w w

v x w

v

∧ =− +

Cette solution n’est valable que si .v w=0 3 - Identité de Lagrange

Théorème :

Soient u et v deux vecteurs de E.

L’identité de Lagrange est définie par la relation suivante :

2 2

( . )u v 2+ ∧u v = u . v ² Démonstration :

2 ( ).( ) ( , , ) ( , , ) ( ( ). )

u∧v = u∧v u∧v = u v u∧v = v u∧v u = v∧ u∧v u

En utilisant la formule du double produit vectoriel on obtient : ( ) ( . ). ( . ).

v∧ u∧v = v v u− v u v D’où : u∧v ² = u ². v ²−( .u v)²

L’identité de Lagrange nous permet d’écrire une autre formulation du produit vectoriel : (u∧v)= u .v sin( ,u v)

Démonstration :

2 2 2 2 2 2 2 2 2

. ( . ) . (1 cos ( , )) . (sin ( ,

u∧v = u v − u v = u v − u v = u v ² u v)) et donc :

. sin( , u∧ =v u v u v)

v Orientation du produit vectoriel :

Considérant le plan passant par le point O et contenant les vecteursu et . Soient ( ,e e ) une base de ce plan. Soit e

1 2

3 un vecteur perpendiculaire à ce plan et tel que( ,e e e_{1 2}, )₃ constitue une base orthonormé directe de E : on dit que le plan est orienté pare₃. On a alors l’expression du produit vectoriel :

(u∧v)= u . v sin( , ).u v e3

4 – Applications

• u∧v est l’aire orientée du parallélogramme construit sur les vecteursu,v.

• le produit mixte ( , , )u v w est le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs , ,

u v w

w u∧v

θ

v u

u v

h θ

Aire parallélogramme :

Aire = Base * Hauteur = v h. = v .u cosθ Volume parallélépipède :

Volume = Base * Hauteur = u∧v . w .cosθ =(u∧v w). =( , ,u v w)

CHAPITRE 2 - TORSEURS

I- Applications antisymétriques.

Soit une application de l'espace vectoriel E dans E :

( ) ( )

( )

u M →L u M

L est antisymétrique ⇔ ∀ ,

(

u v

)

∈ E x E : ^{u L v}

( )

^{= - v L u}

( )

Propriété : Toute application antisymétrique est linéaire.

1 2

u , u E

∀ ∈ et α₁ , α₂ ∈ ℜ on a :

(

1 2 2

)

1

( )

1 2

( )

,

L α u + α u = α L u + α L u₂

⎟⎟

.

Soit maintenant

[

la matrice représentant l'application par rapport à la base orthonormée

directe de E :

]

L

(

1 2 3

)

e , e , e β

[ ]

21 22^{11 12 13}23 31 32 33

l l l L l l l l l l

⎛ ⎞

= ⎜⎜

⎜ ⎟

⎝ ⎠

avec

( ) ( )

( ) ^{( )}

11 1 1 - 1 1 - 11 0

- _j -

ij i j i ji

l e L e e L e l

l e L e e L e l pour tout i j

= = = =

= = = ≠

r

r

Posons arbitrairement l₁₂ = - r₃ ; l₁₃ = r₂ ; l₂₃ = - ₁

d'où

[ ]

3 ^{3 2}1 on remarque alors que

2 1

0 - 0 -

- 0 r r

L r

r r

⎛ ⎞

⎜ ⎟

= ⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

u ε E

∀ ;

( )

L u = R ∧ u

où est appelé le vecteur caractéristique de l’application antisymétrique L .

1 1 2 2 3 3

R = r e + r e + r e

Expression du vecteur caractéristique :

Si sont les vecteurs unitaires de la base orthonormée de l’espace vectoriel E, alors on a la relation suivante :

1 32 3

e ,e ,e

3

1

1 ( )

2 i ^{i i}

R e L e

=

=

∑

∧

Démonstration : En utilisant la relation du double produit vectoriel ;

3 3 3

1 1 1

( ) ( ) ( . ) . ( . ). 2

i i i i i i i i

i i i

e L e e R e e e R e R e R

= = =

∧ = ∧ ∧ = > − =

∑ ∑ ∑

Champ antisymétrique :

Le champ α Q→α( )Q est antisymétrique, s'il existe une application antisymétrique L, telle que :

M et P ε

∀ ∈ : ^{α M}

( )

^{= P α}

( )

^{+ L}

(

^PM

)

Soit ∀ M , : Pε

ε

α

( )

M = α

( )

P + R∧MP

Propriété : Multiplions scalairement par MP :

( ) ( ) ( )

( ) ^{( ) ( )}

. . .

or . 0 . .

M MP P MP MP S PM

MP S PM M MP P MP

α α

α α

= + ∧

∧ = ⇒ =

Le vecteur α

(

M

)

a la même projection que α

( )

P sur la directionPM. Un champ antisymétrique est équiprojectif.

( )

M

α

P

( )

M

α

P

Démontrons la réciproque

( ) ( )

M . MP P . MP

α = α

En insérant un point fixé O, l’expression devient :

( ) ( )

M . (OP OM- ) P . (OP OM- )

α = α

Par ailleurs nous pouvons aussi écrire :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

. - . . - .

. - . . - .

.( - ) .( - )

M OM M OP P OM P OP

O OM M OP P OM O OP

OM O P OP M O

α α α α

α α α α

α α α α

=

⇔ =

⇔ =

On définit une application L telle que :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( - )

( ) ( -

L OP P O

L OM O M

α α

α α

=

= − )

Ce qui nous donne :

. ( ) . ( )

OM L OP = −OP L OM

L’application L est donc bien antisymétrique. De plus nous avons

( ) ( )

P = O + (L O )

α α P

( )

P

α est donc un champ de vecteur associé à une application antisymétrique.

II - Torseurs.

1 - Définition

On appelle torseur

{ }

^T l'ensemble d'un champ antisymétrique m et de son vecteur R

caractérisé en un point M (quelconque) par le vecteur m _{( )M} appelé moment du torseur et le vecteur R appelé résultante du torseur.

On a donc la relation pour tout couple de point (M, P)

( )^M ( )^P

m = m + MP ∧ R appelé formule de transport.

On écrit aussi :

{ }

M ( )

M

T R

m

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭. 2 - Invariant scalaire

Multiplions scalairement cette relation parR.

( )

^. _{( )}P ^.

( )

^.

m M R = m R + MP ∧ R R = cste or

(

^{MP ∧ R}

)

^{. R = 0}

d’où l’invariant I :

( )

^. _{( )P} ^.

I =m M R = m R Invariant vectoriel

On définit le vecteur u ; u . _{( )M} u . _{( )P}

R m m

= R = =cste

L'invariant vectoriel est le vecteur I = I u. (vecteur projection de m sur R).

3 - Opérations sur les torseurs

•Sommes

{ } { }

1

{ }

^{1 2}

1 2

2

M M M

M M

R R R

L L L

m m m _M

⎧ = + ⎫

⎪ ⎪

= + ⇔ ⎨ ⎬

= +

⎪ ⎪

⎩ ⎭

•Multiplications par un scalaire.

{ } { }

1 ¹

1

M

M M

R R

L L

m m

α α

α

= ⇔ =

=

•Produit (Comoment de deux torseurs).

Soient les deux torseurs suivants:

{ } { }

) et (

)

( ₂

2 2

1 1

1 ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

=⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

=⎧

M m T R

M m

T _M R _M

Le comoment de deux torseurs est obtenu en multipliant les éléments de réductions de deux

torseurs de la manière suivante

) . (

)

( ₂

2

1 1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

=⎧

M m

R M

m P R

C'est donc le réel P = . R₁ m_{2( )M} + R₂ . m_{1( )M} .

Il est indépendant du choix du point M. (pour le calculer il faut impérativement que les deux torseurs soient définis au même point).

Démonstration :

) ( . ) ( .

) )

( .(

) )

( .(

) ( . ) ( .

1 2 2

1

1 1

2 2

2 1 1

2 2

1

Q m R Q m R P

QM R

Q m R QM R

Q m R M m R M m R P

+

=

⇒

∧ + +

∧ +

= +

=

Le scalaire P n'est pas affecté lorsqu'on exprime les torseurs 4 - Exemples de torseur :Torseur associé à un vecteur lié.

Soit

(

A ,u

)

un vecteur lié de E. En mécanique on rencontre beaucoup de grandeurs représentées par un vecteur défini en un point de l’espace. C’est le cas d’une force appliquée en point (exemple le poids), du champ des vitesses d’un solide … A chaque point M faisons correspondre le vecteur m_{( )M} = MA ∧ u, moment du vecteur lié.

L'ensemble formé par le vecteur et le champ m forme un torseur. En effet : u

( )_P

( )

( )_M

m = PA ∧ u = PM + MA ∧ u = PM ∧ u + m

( )P

m est un champ antisymétrique donc un champ de moment de torseur.

Pour que le moment soit nul en un point M, il faut et il suffit que le vecteur lié passe par M. Il faut en effet que MA et u soient colinéaires.

5 - Torseurs élémentaires

a) Glisseur Un torseur est un glisseur s'il existe un vecteur lié dont il soit le torseur associé.

{ }

^{L u}

m

= ⎨ ⎬⎧ ⎫

⎩ ⎭ est un glisseur ⇔ il existe un vecteur lié

(

^{A , u}

)

tel que , ∀P m _P = PA ∧ u. Axe d'un glisseur non nul. Soit B point de la droite

(

^{A ,u}

)

( )^P

( )

m = PA ∧ u = PB + BA ∧ u = PB ∧ u .

{ }

^L est un glisseur associé à

(

B, u

)

ceci ∀ Bε la droite

(

^{A, u}

)

Par définition cette droite passant par A et parallèle à u est l'axe du glisseur.

Le moment d'un glisseur est donc nul en tout point de l'axe.

Réciproquement pour qu'un torseur soit un glisseur, il faut il suffit qu'il existe un point où son moment soit nul.

Donc si un torseur de résultante R, a un moment nul en A, alors c'est un glisseur associé au vecteur lié

(

^{A , R}

)

^.

On peut que l’ensemble des points P tels que m_{( )P} = 0 est un axe parallèle à la résultante R :

( )_P ( )_A +

m =m PA ∧R=0, or m_{( )A} = 0 , ce qui entraîne PA ∧ =R 0. Nous en concluons que . L’axe ainsi défini est appelé axe du glisseur.

//

PA R

Propriété

L'invariant scalaire d'un glisseur est nul.

( )

( )

. _P . 0

u m = u PA ∧ u =

b) Couples Considérons un torseur tel que son moment soit indépendant du point où on le calcule :

P

∀ M, distincts m_{( )P} = m_{( )M} + PM ∧ R = m_{( )M} ⇒ PM ∧ R ⇒ R= 0 .

Remarque : Un couple peut-être obtenu d'une infinité de façon en particulier par la somme de deux glisseurs de résultantes parallèles, de même module et de sens contraires.

6 - Décomposition

Soit

{ }

_M

M

L R

m

⎧ ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

{ }

_M

A A

R

M O

L MA R

m MA R m

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎨ + ∧ ⎬ = ⎨ ⎬ +

∧

⎨ ⎪⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ ⎩ ⎭

couple

Un torseur quelconque est donc la somme d'un glisseur associé à

(

^{A , R}

)

et d'un couple de moment m_A.

glisseur asso iAc é, R

7 - Axe centrale d'un torseur.

L’axe central d’un torseur est le lieu des points où le moment du torseur est colinéaire à la résultante

{ ( ) }

. / _P A C = P ∈ ς m = λ R

2

m^P . R

λ = R est le pas de l' A. C

CHAPITRE 3 - CINEMATIQUE DU SOLIDE RIGIDE

I – Rappels

1 – Notions de référentiel

Lors de l’étude d’un système, la formulation mathématique de certains concepts liés à ce système nécessite que l’on procède à sa description et à son repérage tout au long de son évolution.

- Définition d’un référentiel

La notion de référentiel est liée à celle d’observateur : le référentiel en quelque sorte l’espace euclidien entrainé par l’observateur. D’où la définition mathématique :

- On suppose choisie une fois pour toute la chronologie (l’axe des temps) valable pour tous les observateurs

- On appelle alors référentiel l’ensemble des points de l’espace euclidien animés d’un mouvement de corps rigide de l’observateur. Le référentiel noté R, est dit lié à l’observateur. Pour repérer les positions des points du référentiel, on utilise un repère R lié au référentiel.

Il ne fat pas confondre référentiel et repère. Un référentiel peut être associé à plusieurs repères.

2 – Repérage d’un point dans un référentiel associé à un repère R.

Soit un point M mobile par rapport à R de base ( , , )x y z et d’origine O. On peut écrire :

( ) ( ) ( ) ( )

OM t =x t x+y t y+z t z

Les fonctions x(t), y(t) et z(t) sont continues et continument différentiables par morceaux.

La trajectoire de M(t) est l’ensemble des points de l’espace occupés par M quand t varie.

3 – Vitesse d’un point dans un repère La vitesse du point M est définie par :

/ ( )

0

( ) (

lim

M R R

V dOM d

OM t OM t

τ

τ

= =

τ

→ + − )

d’où V_{M R/} =x t x( ) +yy+zz avec ( ) dx x t = dt

II - Définition d’un solide – Torseur cinématique

Le mouvement du solide est étudié par rapport à un repère R O x y z( ; , , )

1 – Définition

Soient M et P deux points d’un solide (S), pour tout instant t on a la propriété suivante pour un solide :

( ) ( )2

M t P t =cste

Propriété : Soient 4 points A, B, C, D quatre points de (S) choisis tels que ; si ( , ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ))A A t B t_{0 0} A t C t_{0 0} A t D t_{0 0} est un repère orthogonal direct alors

( , ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ))A A t B t A t C t A t D t est aussi un repère orthogonal directe.

2 – Champ de vitesse des points d’un solide. Torseur cinématique

Le champ de vitesse des points d’un solide est le champ noté Vt qui à tout point P du solide associe le vecteur vitesse de la particule du solide dont la position à cet instant est le point P.

( , ) V P t

Soient maintenant deux points M et P du solide. Nous pouvons donc écrire que : ( ) ( )2

M t P t =cste et par dérivation par rapport au temps, obtenir la propriété d’équiprojectivité du champ des vitesse :

[( ) ]2 2[ ]. 0

d d

MP MP MP

dt = dt = d’où

(V_P−V_M).MP= ⇔0 V MP_P. =V MP_M.

D’où on peut conclure que le champ de vitesse d’un solide est un champ équiprojectif (voir le cours sur les torseurs). C’est donc un champ de moment d’un torseur appelé torseur

cinématique. La résultante de ce torseur est notéeΩ( / , )S R t . Nous allons montrer plus loin que la résultante du torseur cinématique est le vecteur rotation instantanée du solide. Elle indépendante du point où l’on défini le torseur et donc le moment.

Pour deux points M et P d’un même solide peut appliquer les propriétés des champs antisymétriques :

/ / ( ) /

P R M R S

V −V =PM∧ Ω _R

Notation :Le torseur cinématique est défini en un point A par ses deux éléments de réduction et que l’on représente sous la forme suivante :

{ }

( ) / A

A S R

C V _∈

⎧ Ω ⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

3 - Dérivation d’un vecteur lié au solide par rapport à un repère.

On considère le vecteur u ayant pour extrémités deux points d’un solide (S) en mouvement dans le repère R O x y z( ; , , ) tels que :

u=KL

Dérivons le vecteur dans ce repère par rapport au temps : u

( ) / ( ) /

[d ]_R [d ]_{R L K S R S R}

u KL V V KL

dt = dt = − = Ω ∧ = Ω ∧u

• Dérivation composée

On considère le mouvement d’un solide (S) en mouvement dans un repère mobil dans le repère R O x y z( ₁; ,_{1 1}, )₁ , lui-même ,en mouvement par rapport à un repère R O x y z( ; , , ). Soit le vecteur O M₁ =x x_{1 1}+y y_{1 1}+z z_{1 1}

On dérive le vecteur OM dans le repère R.

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1

( ) /

1 /

[ ] [ ( )] [ ] [ ( )]

[ ] [ ( )] ( ) ( ) (

[ ]

R R R R

R R

M S R

R R R

d d d d

OM OO O M OO O M

dt dt dt dt

d d d d d

O M x x y y z z x x y y z z x x y y z z

dt dt dt dt dt

d O M V

dt ^∈

= + = +

= + + = + + + + +

= + Ω ∧O M₁

)

M

Ce qui nous donne la composition des vitesses suivantes :

1 1 1 1

( ) / ( ) / [ / / 1 ]

M S R M S R O R R R R

V _∈ =V _∈ + V _∈ + Ω ∧O

Cette expression traduit la composition du vecteur vitesse 4 - Mouvements particuliers.

Nous allons montrer à travers quelques mouvements particuliers que la résultante du torseur cinématique est bien le vecteur de rotation instantanée du solide.

4 - 1 translation pure.

Un solide est animé d’un mouvement de translation par rapport au repère R, si à chaque instant t, tous les points du solide ont même vecteur vitesse par rapport à R :

, et (

t A B S

∀ ∀ ∈ ) ou rigidement lié à ce solide on a :

/ ( ) / ( )

A R B R

V t =V t

Dans cette relation les vecteurs vitesses sont déterminés au même instant. A un instant t’, les vitesses d’un même point A du solide peut être différente. dans ce cas le solide est animé d’un mouvement rectiligne. Si en plus la vitesse de ce point reste constante en module, on parle alors de mouvement de translation rectiligne uniforme.

Reprenons l’expression du champ des vitesses :

/ ( ) / ( ) ( ) / ( ) / 0

A R B R S R S R

V t =V t +AB∧ Ω ⇒ AB∧ Ω =

les points A et B étant des points quelconques du solide, on peut écrire que

( ) /_{S R} 0

Ω =

Inversement si ∀ Ωt, _{( ) /S R} =0, on a alors V_{A R/} ( )t =V_{B R/} ( )t .

Ceci traduit que dans le cas du mouvement de translation, le torseur des vitesses est un couple.

Pour qu’un solide soit animé d’un mouvement de translations, il faut et il suffit que les axes d’un repère lié au solide garde des directions constantes : (deⁱ)_R

dt =0, puisque la résultante est calculée par la formule :

3 ( ) /

1

1 0

2

i

S R i

i

e de

= dt

Ω =

∑

∧ = (démonstration donnée ci-dessous)

4 - 2 Rotation autour d’un axe fixe.

On dit qu’un solide (S) est animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe si deux points distinct A et B ont une vitesse nulle. Il s’ensuit :

( )∆ =( ; )O z

- tous les points de l’axe ( )∆ =( ; )O z ont une vitesse nulle,

- le torseur cinématique est un glisseur d’axe ( )∆ parallèle à la résultante du torseur cinématique Ω (voir cours sur les torseurs)

- tous les points du solide dessinent des trajectoires circulaires autour de l’axe fixe appelé axe de rotation.

( )∆

Nous définissons le repère R O x y z₁( ; ,_{1 1}, )₁ lié au solide tel que z₁=z et

1 1

( , )x x =( ,y y)=θ angle mesuré autour ( ; )O z .

z

y1

La variation des vecteurs du solide R O x y z₁( ; ,_{1 1}, )₁ sont déterminés par les relations établies précédemment :

1 ( ) /

1 ( ) /

1 ( ) /

[ ]

[ ]

[ ]

R S R

R S R

R S R

d

1

1

1

x x

dt

d y y

dt

d z z

dt

= Ω ∧

= Ω ∧

= Ω ∧

1 [d 1]_R 1 [d 1]_R 1 [d 1]_R 1 ( ( ) /_{S R} 1) 1 ( ( ) /_{S R} 1) 1 ( ( ) /_S

1)

x x y y z z x x y y z R z

dt dt dt

⇒ ∧ + ∧ + ∧ = ∧ Ω ∧ + ∧ Ω ∧ + ∧ Ω ∧

D’où en utilisant la formule du double produit vectoriel, on aboutit à :

1 ( ) / 1 1 ( ) / 1 1 ( ) / 1 1 1 ( ) / 1 ( ) / 1

1 1 ( ) / 1 ( ) / 1 1 1 ( ) / 1 ( ) / 1

( ) / ( ) / ( ) /

( ) ( ) ( ) ( . ) ( . )

( . ) ( . ) ( . ) ( . )

3 2

S R S R S R S R S R

S R S R S R S R

S R S R S R

x x y y z z x x x x

y y y y z z z z

⇒ ∧ Ω ∧ + ∧ Ω ∧ + ∧ Ω ∧ = Ω − Ω

Ω − Ω + Ω − Ω

= Ω − Ω = Ω

+

Dans le cas du mouvement de rotation autour d’un axe fixe nous cette relation devient :

1 [d 1]_R 1 [d 1]_R 2 1( ) /_S

x x y y

dt dt

∧ + ∧ = Ω _R car [d ₁]_R 0

dt z =

Dans le repère R O x y z( ; , , ), les vecteurs de base de R1 s’expriment en fonction de l’angle θ : θ

θ y x

x1

1 cos sin et 1 sin cos

x =x θ +y θ y = −x θ +y θ et leurs dérivées par rapport au temps sont données par :

1 1 1

[ ] sin cos et [ d ] cos sin

dt d

x x y x y y x y 1

dt = − θ θ + θ θ =θ = − θ θ − θ θ θ= x d’où le résultat :

( ) /S R

θ

z

Ω =

4 - 3 Mouvement hélicoïdal

Un solide est animé d'un mouvement hélicoïdal si une droite du solide glisse sur un axe fixe

)

;

(O z₀ et si une particule du solide non située sur cette droite a un mouvement hélicoïdal d'axe

)

; (O z₀ .

H

A O

P

Calculons la vitesse du A, point du solide animé d'un mouvement hélicoïdal.

Ω

∧ +

= V AH

V

_{A/R H/R} qui est la formule du champ des vitesses champ antisymétrique.

Par ailleurs, on a :

R P R H R

A

V V

V OP OH HA OH

OA = + = + ⇒

_/

=

_/

+

_/

Le point P étant la projection du point A sur le plan (O;x,y), il décrit une trajectoire circulaire dans ce plan. De ce fait, et en vertu des expressions obtenues pour le mouvement de rotation autour d'un axe fixe on a :

θ z

= Ω

z

⇒

V

_P/R

= θ

D'où le résultat pour le vecteur vitesses du point A :

z AH z AH

V

V_A/R = _H/R + ∧ Ω ⇒ λ + ∧θ

4 - 4 Mouvement quelconque.

Nous analysons le mouvement quelconque d’un solide (S) par rapport à un repère donné R.

Axe instantané de rotation : Le torseur cinématique peut être décomposé en un couple et un glisseur.

Choisissons de passer par un point P dont la vitesse est parallèle au vecteur résultante . Nous avons alors la décomposition suivante :

Ω

{ }

( ) / ( ) /

0

A

A S R P S R

C V_∈ V _∈ λ AP

⎧ ⎫

⎧ ⎫

⎧ Ω ⎫ Ω

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

=⎨ ⎬ ⎨= = Ω⎬ ⎨+

⎪⎬

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∧ Ω⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Ce mouvement quelconque se décompose donc un mouvement de translation parallèle à un axe (∆) (parallèle à la direction de la résultante Ω) plus un mouvement associé au glisseur d’axe parallèle à la résultante Ω.

Nous avons donc un mouvement qui s’apparente à un mouvement hélicoïdal d’axe parallèle à la résultante Ω. La direction de étant variable dans le temps, on appelle cet axe l’axe instantané de rotation.

Ω

Cet axe (∆) est un axe parallèle à Ω et passant par un point P défini par :

2

1 ( _A

AP= Ω ∧V

Ω ) . Nous avons aussi à calculer la valeur du pas λ= ^Ω.V_2A Ω . Pour cela il suffit d’écrire _{( ) /} 1_{2 ( ) /}

. .

A S R A S R

V_∈ Ω = Ω Ω ⇒ =λ λ V _∈ .Ω Ω

5 - Composition des vitesses

Ici nous reprenons les calculs précédents pour exprimer le vecteur vitesse par rapport à un repère R₁ lorsqu’on la connaît dans un repère de départ R.

Par définition, on peut écrire :

1 1

/ ( 1 1 ) / /

M R O R M R

R R

d d

V OM OO O M V V O

dt dt

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢⎣ ⎥⎦ =⎢⎣ + ⎥⎦ = + + Ω ∧ ¹M

1 1 avec

1 1

/ / / ( ) / 1

/ / ( ) / 1

( )

M R M R O R S R

M R R O R S R

V V V O M

V _∈ V O M

⇒ = + + Ω ∧

= + Ω ∧

D’où :

1 1

/ / / et on peut écrire

M R M R M R R

a r e

V V V

V V V

⇒ = + ∈

= +

avec Va la vitesse absolue, Vr la vitesse relative et Ve la vitesse d’entraînement.

La signification physique de cette compostions des vecteurs vitesse peut être imagée par le voyageur dans le train observé par une personne sur le quai.

L’observateur mesure la vitesse du voyageur, c’est la vitesse absolue. La vitesse du voyageur par rapport au wagon du train, c’est la vitesse relative. Le wagon est donc lié au repère relatif.

Enfin la vitesse du wagon par rapport à l’observateur sur le quai est la vitesse d’entrainement du voyageur. Elle s’interprète comme étant la vitesse du voyageur lié au wagon mais entrainé dans son mouvement.

6 - Composition des rotations

Nous allons montrer que la composition des vitesses de rotation instantanée se compose de la même manière que les vitesses de translation des points d’un solide.

Pour cela on considère un solide (S) en mouvement par rapport au repère R O x y z1( 1; 1, 1, 1), repère qui est lui-même en mouvement par rapport à un repère fixe R O x y z( ; , , ).

Nous considérons le mouvement de deux points M et P du solide (S) :

1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

/ / /

/ / /

/ ( ) / / ( ) / / /

( ) / ( ) / /

et et donc

On obtient alors le résultat :

M R M R M R R

P R P R P R R

M R S R M R S R M R R R R

S R S R R R

V V V

V V V

V MP V MP V

MP MP MP

∈

∈

∈

= +

= +

+ Ω ∧ = + Ω ∧ + + Ω ∧

Ω ∧ = Ω ∧ + Ω ∧

MP

Le produit vectoriel étant distributif, on obtient :

1 1

( ) /S R ( ) /S R R R/

Ω = Ω + Ω

Généralisation à un n repère pour le torseur cinématique.

Pour un solide en mouvement par rapport à n repères, nous écrivons

{

( ) / 1

} {

( ) /

} {

/ 1

}

...

{

/

}

n n n

S R A S R A R R A R R A

C C C C

= + − + +

2 1

7 – Composition des accélérations

Nous allons reprendre l’expression du vecteur vitesse obtenu par dérivation composée. Nous écrivons alors :

1 1

/ / ( / ( ) / 1 )

M R M R O R S R

V =V + V + Ω ∧O M Par dérivation nous avons :

1 1

1 1 1 1

1 1

/ / / ( ) / 1

/ / ( ) / / / ( ) / 1 ( ) / 1

/ / / ( ) / 1 ( )

[ ( )] [ ( ( ))]

[ ( )] [ ( )] [ ( ))]

[ ( )]

M R R M R O R S R R

M R M R R S R M R O R S R R S R R

M R M R O R S R R S

d d

V V V O M

dt dt

d d

V V O M O M

dt dt dt

d O M

dt

= + + Ω ∧

⇒ Γ = + Ω ∧ + Γ + Ω ∧ + Ω ∧

Γ = Γ + Γ + Ω ∧ + Ω

d

/_R∧ Ω( ( ) /_{S R} ∧O M1 )+ Ω2 ( ) /_{S R}∧V_{M R}/ 1

/ M R

Γ représente l’accélération absolue,

/ 1

ΓM R est l’accélération relative,

1/ [ ( ( ) / )] 1 ( ) / ( ( ) / 1

O R S R R S R S R

d O M O M

Γ + dt Ω ∧ + Ω ∧ Ω ∧ ) représente l’accélération

d’entraînement,

( ) / / 1

2Ω_{S R} ∧V_{M R} est l’accélération complémentaire ou de Coriolis Exemple de l’effet de la force de Coriolis

Considérons un disque horizontal tournant à la vitesse angulaire constante , et un objet (par exemple un glaçon) glissant sans frottement, lancé à l'instant du bord du disque vers son centre à une vitesse V

Ω

0 dans le référentiel du laboratoire. Nous allons observer le mouvement dans le référentiel fixe du laboratoire (galiléen), puis dans le référentiel du disque (non galiléen).

Dans le référentiel galiléen, comme il n'y a pas de frottement, le glaçon n'est soumis à aucune force, et donc sa vitesse est uniforme et le glaçon décrit une ligne droite, comme prévu par le principe d'inertie. Mais si notre mobile a laissé une trace d'eau sur le disque, celle-ci n'est clairement pas rectiligne : le point de sortie A' du glaçon n'est pas diamétralement opposé à A.

Ω Ω

III – Angles d’Euler

1 – définition

Le mouvement quelconque d’un solide (S) dans l’espace peut toujours être considéré à chaque instant comme la somme d’un mouvement de translation pure et d’une rotation autour d’un point de l’espace. Nous allons uniquement analyser le mouvement de rotation que nous allons décomposer en 3 rotations possibles qui sont associées aux angles d’Euler.

2 - Repérage

On définit d’abord un repère R lié à (S) d’origine A particule de (S) et de base( , , )x y z . Ce repère est construit en tenant compte des propriétés géométriques de (S).

On note R0 définit par ( ;O x y z₀, ₀, ₀)le repère de référence.

On introduit un vecteur unitaire tel que u u z. 0 =0 et u z. =0

On construit les repères intermédiaires Rv er Rw d’origine O, de bases orthonormées respectives :

( , ,u v z0) et ( , , )u w z

On introduit ( )ψ t pour repérer dans le plan u ( ;O x y₀, ₀)orienté par z : ₀

0 0

( )t (x u, ) (y v, )

ψ = = mesuré autour de z ₀

z

0

De même on introduit ( )θ t pour repérer zdans le plan ( ; ,O v z0) orienté par u. ( )t (z z0, ) ( , )v w

θ = = mesuré autour de u

( ) t ψ

0

u x

y

0

Enfin on introduit ( )ϕ t pour repérer xdans le plan ( ; , )O u w orienté par . z ( )t ( , )u x ( , )w y

ϕ = = mesuré autour de z. Repères obtenus :

0( ; 0, 0, ₀) R O x y z

( ; , , 0) R O u v zv

( ; , , ) R O u w zw

( ; , , )

R A x y z lié à (S).

( ) t ψ

z

0

z

Pour réaliser les projections et le calcul des rotations, il est souvent préférable de donner les figures planes de calcul qui permettent d’obtenir les angles de rotations dans différentes bases.

0

u x

y

0

( )t

θ

( )t

ϕ

x

v

y

Les angles ( )ψ t , ( )θ t , ( )ϕ t sont appelés les angles d’Euler. Ces angles définissent toutes les possibilités de rotation d’un solide dans l’espace.

z

0

x

0 0

u

v

( )t

ψ

u

z

0

w z

( )t

θ

z

u

w

y

x

( )t

ϕ

III – Mouvement plan sur plan

1 Définition

Le solide (S) est animé d’un mouvement plan sur plan par rapport au repère R0 si un plan (π) lié au solide (S) glisse sur un plan (π0) du repère R0.

Exemples de tels mouvements :

• Mouvement d’une échelle en contact constant sur le sol et le mur

• Mouvement d’un fer à repasser

• Mouvement d’une table d’une machine à fraiser.

2 Propriétés

- Un point M quelconque du solide (S) a le même mouvement que sa projection m sur le plan (π).

Il suffit donc d’étudier le mouvement des points du plan (π) du repère R O x y z( '; , , ₀) en mouvement par rapport au repèreR O x y z₀( ; ₀, ₀, ₀).

Nous choisissons le plan ( ;O x y₀, ₀) comme étant le plan (π0). L’axe est donc un axe perpendiculaire au plan (π).

( ;O z0)

– Le vecteur vitesse instantané de rotation est orthogonal au plan (π) et (π₀).

En se reportant à la définition du mouvement de rotation autour d’un axe fixe, et pour un mouvement paramétré par l’angleθ, nous pouvons en déduire que la vitesse de rotation instantanée est donnée par :

( ) /(_{π π}0) θz0

Ω = .

Cette propriété peut être aussi démontrée si l’on écrit la formule de transport pour le champ de vitesse de deux points du plan (π) M et A :

0 0

/ ( ) / ( ) (

A M

V t V t AM

) /( 0)

π = π + ∧ Ωπ _π

Avec et deux vecteurs appartenant au plan (π). Ce qui implique que le vecteur

/ 0( ) VA_π t

/ 0( ) VM _π t

( ) /( 0)

AM ∧ Ω_{π π} appartient aussi au plan (π). Or quand le point M décrit le plan (π), le