1 – Système matériel. Notion de masse
Un système matériel est un système ne perdant pas de matière au cours du temps. Pour les besoins de la modélisation mécanique un système matériel peut être considéré comme discret (ensemble de points matériels pesant par exemple), ou continu à densité de masse (un solide par exemple).
La cinématique des solides que nous venons d’étudier ne suffit pas pour décrire le mouvement d’un système matériel dans tous ses aspects (causes et conséquences). Il faut introduire une quantité extensive (croissante quand le corps croît et inversement) caractérisant l’inertie : la masse.
A chaque matériel on associe donc un scalaire m qui est la masse. Dans u système continu on définit une grandeur locale : la masse volumique :
dv M)= dm ρ( . En fait un système matériel est caractérisé par 10 constantes d’inertei :
o m, la masse
o xG,, yg, zG les coordonnées dans un référentiel donné de G, centre d’inertie du solide o A, B, C les moments d’inertie par rapport aux axes du repère de référence
o D, E, F les produits d’inertie par rapport aux plans du même repère.
Nous allons définir et mettre en évidence ces différents paramètres dans les paragraphes qui suivent.
2 – Centre d’inertie
2 – 1 Système de points discrets
On considère un système discret de n points Mi pesant de masse mi. On dit que le point G est centre d’inertie de ce système s’il vérifie la relation suivante :
i n
i
im OM OG
m
∑
=
=
1
avec m=
∑
mi2 – 2 Système continu
Dans le cas d’un système continu, il s’agit de diviser le domaine en sous-système de masse dm autour d’un point dit courant M :
∫∫∫
=
) (S
dm OM OG
Le point G est le centre d’inertie du système continu (S).
2 – 3 Recherche pratique
o Système continu homogène
Dans ce cas le centre d’inertie du système est le centre géométrique. Par exemple le centre d’inertie d’un cerceau, d’une sphère, d’un cube … sont facilement déterminables puisqu’on connaît leur centre géométrique.
o Systèmes à axe de symétrie
Le centre d’inertie est sur l’axe de symétrie. On choisit un repère dont un des axes est confondu avec l’axe de symétrie et l’on projette la relation précédente.
o Systèmes que l’on sait décomposer en petits éléments dont les centres d’inertie Mi
partiels sont alignés.
On sait alors que G est sur la droite portant les Mi, on projette la relation sur cet axe.
On calcul donc le dm associé au Mi . On calcul
∫
dm (même si on connaît le résultat, car c’est un bon moyen de vérifier le dm et les bornes d’intégration).Exemple de calcul : centre d’inertie d’un cône gauche.
O
On choisit comme volume élémentaire un petit disque de centre Mi parallèle à la base du cône. Tous les Mi sont alignés sur la droite (OA). On projette la relation sur l’axe portant cette droite :
( ) ( )
. i.
S S
OG u
∫∫∫
dv=∫∫∫
OM udvdz h
Mi
A α R
u z
2
3 - Moments d’inertie, Produits d’inertie.
3 – 1 Définitions
On appelle moment d’inertie d’un système (S) par rapport à un axe (respectivement un plan, un point) la grandeur définie par :
2 ( )S
J =
∫∫∫
r dmoù r désigne la distance de l’élément de volume de masse dm à l’axe(resp. au plan, resp. au point).
Remarque :
On mettra toujours le moment d’inertie sous la forme d’un produit d’une masse par un paramètre associé à une distance élevé au carré :
J =md2
m est la masse du système et d est le rayon de giration.
3 – 2 Expressions dans une base orthonormée.
a – Moments d’inertie
Soit un repère orthonormé. On définit les moments d’inertie par les expressions données ci-dessous.
1 2 2
( ; ,O e e e, )
2 2
b – Produits d’inertie
Par définition les produits d’inertie sont définis par les expressions ci-dessous.
1 2 1 3 2 3
Le théorème de Huyghens permet de simplifier les calculs des grandeurs liées à l’inertie d’un système. Les calculs de ces grandeurs sont relativement aisées si l’origine du repère est au centre d’inertie. Pour obtenir ces grandeurs en un autre point, on dispose d’une relation donnée par le théorème de Huyghnes.
Enoncé :
Le moment d’inertie du système par rapport à un axe ( )∆ est égal au moment d’inertie de ce système par rapport à un axe (D) passant par le centre d’inertie G du système augmenté du moment d’inertie par rapport à ( d’un point matériel de masse m (la masse total du système) situé sur (D)
∆)
Démonstration :
(D)
(∆)
G M
K H
Soit M le point courant du système (S). Soit le plan (π) normal à ( )∆ et passant par le point M.
Il coupe ( )∆ et (D) respectivement en H et K.
On écrit que :
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
/( ) 2 .
S S S S
J ∆ =
∫∫∫
HM dm=∫∫∫
HK dm+∫∫∫
KM dm+ HK∫∫∫
KM dm2 2
( ) ( ) ( )
0
/( ) 2 . ( )
S S S
J HK dm KM dm HK KG GM
=
⇔ ∆ =
∫∫∫
+∫∫∫
+∫∫∫
+ dm2 2
2
( ) ( )
/( ) /( )
S S
J HK dm KM dm J D m
⇒ ∆ =
∫∫∫
+∫∫∫
= + d4 – Opérateur d’inertie
4 – 1 Construction de l’opérateur d’inertie
Nous allons mettre en évidence un opérateur d’inertie sous forme de matrice dont les composantes sont les moments et les produits d’inerties précédemment définis.
Nous plaçons dans un repère orthonormé( ; ,O e e e1 2, )3 . Calculons le moment d’inertie d’un système matériel (S) par rapport à un axe ( )∆ passant par O et de vecteur directeur
1 2
i =αe +βe +γe3 dans cette base.
Nous avons écrit que par définition le moment d’inertie par rapport à l’axe s’écrit comme ci-dessous :
( )∆
2 ( )
/( )
S
J ∆ =
∫∫∫
r dmOn remarque d’abord que :
sin
Donnons les composantes des grandeurs vectorielles utilisées :
1
Cette expression peut être exprimée sous forme vectorielle : /( ) . O( )
IO est une application linéaire symétrique de matrice : changent si le point O change ou si la base change.
Théorème de Huyghens pour l’opérateur I O
Supposons que le changement de repère ( ; ,G e e e1 2, ) tel que OG3 =a e1 1+a e2 2+a e3 3
4 – 2 Valeurs principales, directions principales.
Rappels :
Nous rappelons que uvecteur unitaire est vecteur propre de la matrice
[ ]
IO associé à la valeur propre λsi l’on peut écrire :[ ]
IO .u=λu Ce qui équivaut au système d’équations :( ) On a des solutions non triviales si :
0
A chaque valeur propre correspond un système d’équation dont les solutions
( ,α β γi i, )i donnent les composantes d’un vecteur propre. La matrice étant symétrique, les 3 vecteurs propres unitaires sont orthogonaux. Les supports des vecteurs propres sont les axes
Dans le repère( ; ,O u u u1 2, 3), la matrice d’inertie s’écrit :
Cas particulier d’une racine double :
Soit λ λ1= 2. Choisissons l’axe l’axe principal correspondant à la racine simple. On a
donc
[ ]
coordonnées de ce vecteur sont :
i ( ; )O e3 du plan pasant par O sont axes principaux d’inertie. L’opérateur possède une symétrie de révolution. C’est le cas des solides cylindriques a section droite circulaire.
1 2
( ; ,O e e )
Cas particulier d’une racine triple.
Soit λ λ1= 2 =λ3=λla racine triple.
[ ]
0 0 00. Quelque soit l’axe de vecteur
unitaire et passant par le point O est axe principale. i
Exemple de calcul d’opérateur d’inertie.
Soit le cône d’axe ( ; )O e3 , de hauteur h, de rayon de la base R et d’angle au sommet α .
(2 )
3dm = ρ πη η d dx
O
On peut aisément montrer que ce solide a une symétrie axiale. De ce fait l’opérateur est représenté par une matrice dite diagonale.
[ ]
0 0 00Les trois composantes A, B, C sont calculés à partir de leur définition :
2 2
Le calcul de C doit être fait en premier afin de faciliter le calcul de A et B.
2 2 2
Nous choisissons comme élément de volume une petite couronne de rayon moyen η et comme épaisseur dx3 :
La matrice d’inertie du cône est alors donnée par :
[ ]
II –grandeurs associées aux vitesses.
1 – Torseur cinétique
1 – 1 Résultante cinétique, quantité de mouvement
Soit (S) un système matériel en mouvement dans un repère fixe R O e e e( ; ,1 2, )3 . On considère un élément de volume autour d’un point M courant de (S).
On définit la quantité de mouvement de (S) dans le repère fixe ( ; ,O e e e1 2, )3 par la quantité :
Nous pouvons développer cette expression en nous servant de la définition du centre c’inertie donnée précédemment :
/ /
La résultante cinétique d’un système est égale à la quantité de mouvement d’un point matériel, portant la masse totale du système et qui serait confondu avec le centre d’inertie.
On appelle repère propre d’un système, un repère dans lequel sa quantité de mouvement est nulle à chaque instant.
Si en plus son origine est en G, il est appelé alors repère barycentrique. Si en plus les axes gardent une direction fixe, c’est alors le repère de Koenig.
1 – 2 Moment cinétique – Torseur cinétique On définit le moment cinétique par la grandeur :
/