III IV II IAvecunchangementdevariable TS:devoirsurfeuillen 4

I Avec un changement de variable

TS : devoir sur feuille n

4

I Avec un changement de variable Soit la fonctionf définie surR\ {1} par :

f(x)= 2

x−1e^xx+−11. 1. On poseX= 2

x−1. Montrer quef(x)=eXe^X. 2. En déduire lim

x→1 x<1

f(x) et lim

x→1 x>1

f(x).

II

Les questions sont indépendantes.

1. Soit la suite (u_n) définie pournÊ1 par : u_n=1+eⁿ¹ +eⁿ²+ · · · +eⁿⁿ⁻¹. Déterminer la limite de la suite (un).

2. Soit f la fonction définie surRpar : f(x)=1

4e^−x2¡ x²+x¢

Déterminer les limites en−∞de la fonctionf. 3. Soitgla fonction définie surR^∗par :

g(x)= x e^x−1. La limite degen 0 est-elle finie?

4. Étudier les asymptotes à la courbe représentative de la fonctionhdéfinie surR\ {−1} par :

h(x)=xe^−x+1 x+1 . III

Soit (un)nÊ1la suite définie par : un=

n

X

k=1

1

k =1+1 2+1

3+ · · · +1 n.

Le but est de trouver le plus petit entierntel queunÊ5.

1. Détermineru1,u2etu3.

2. Dans l’algorithme suivant,u_etnsont des nombres.

Le compléter pour qu’il afficheu₂₀. 1. u PREND LA VALEUR 1

2. POUR n ALLANT DE . . . À . . . 3. u PREND LA VALEUR u + . . . 4. Fin POUR

5. AFFICHER u

3. Exprimerun+1−unen fonction den.

En déduire les variations de la suite (un).

4. Soitf la fonction définie sur [0 ;+∞[ par : f(x)=e^x−x−1.

(a) Déterminer les variations def sur [0 ;+∞[.

(b) En déduire que, pournÊ1, eⁿ¹ Ên+1 n . 5. Montrer que, pournÊ1, on a e^unÊn+1.

6. En déduire la limite de la suite (u_n).

7. Compléter l’algorithme suivant pour qu’il affiche la valeur denrépondant à l’objectif.

1. u PREND LA VALEUR 1 2. n PREND LA VALEUR 1 3. TANT QUE u. . .. . .FAIRE 4. n PREND LA VALEUR n + 1 5. u PREND LA VALEUR u + . . . 6. Fin TANT QUE

7. AFFICHER n

IV

On considère la courbeC d’équationy=e^x, tracée ci- dessous.

1 2 3 4

−1

−2

1 2

−1

−2

−3

−4

−5

0 1 2 3 4

0 1 2

Pour tout réel m strictement positif, on note D_m la droite d’équationy=mx.

1. Dans cette question, on choisitm=e.

Démontrer que la droiteD_e, d’équation y =ex, est tangente à la courbeC en son point d’abscisse 1.

2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel stric- tement positifm, le nombre de points d’intersection de la courbeC et de la droiteD_m.

3. Démontrer cette conjecture.

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V

V

Soit deux courbesC_1etC₂d’équations respectivesy= e^xety= −x²−1 dans un repère orthogonal.

1 2 3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

Le but de cet exercice est de prouver qu’il existe une unique tangente (T) commune à ces deux courbes.

1. Déterminer graphiquement l’abscisse du point de contact de cette tangente avecC₁, puis avecC_2. 2. Soitaetbdeux réels,Ale point d’abscisseadeC_1et

Ble point d’abscissebdeC_2. (a) Déterminer une équation de :

— la tangente (T_A) àC_{1au pointA.}

— la tangente (T_B) àC_{2au pointB.}

(b) En déduire que (T_A) et (T_B) sont confondues si, et seulement si,aetbsont solutions du sys- tème :

(S)

½ e^a = −2b e^a−ae^a = b²−1 .

(c) Montrer que le système (S) équivaut au sys- tème :

(S’)

½ e^a = −2b

e^2a+4(ae^a−e^a−1) = 0 . 3. Le but de cette question est de prouver qu’il existe un

unique réel solution de l’équation : (E) e^2x+4(xe^x−e^x−1)=0.

(a) Montrer que pour toutxappartenant à ]− ∞; 0[ :

e^2x−4<0 et 4e^x(x−1)<0.

(b) En déduire que l’équation (E) n’a pas de solu- tion dans l’intervalle ]− ∞; 0[.

(c) Montrer que f la fonction définie surRpar : f(x)=e^2x+4¡

xe^x−e^x−1¢ est strictement croissante sur [0 ;+∞[.

(d) Démontrer que l’équation (E) admet une solu- tion uniqueadans l’intervalle [0 ; +∞[.

Donner un encadrement d’amplitude 10⁻² de a.

4. On prend pourAle point d’abscissea.

Déterminer un encadrement d’amplitude 10⁻¹ du réelbpour lequel (T_A) et (T_B) sont confondues.

VI Fonction limite d’une suite de fonctions

Pour tout entiernÊl, on considère la fonctionfndéfi- nie sur [0 ;+∞[ par :

fn(x)= 1 1+xⁿ. On noteC_nla courbe représentative defn.·

1. (a) Déterminer, pournÊ1, les variations defn. (b) Démontrer que les courbesC_n passent toutes

par deux points fixes (indépendants den) que l’on déterminera.

(c) Soient deux entiersnetmnon nuls avecn<m.

Comparerf_n(x) etf_m(x) selon les valeurs dex.

En déduire les positions relatives deC_netC_m. 2. On a représenté ci-dessous les courbesC_1,C_2,C_3,

C_10etC_60.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

−0.1

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

C₁

C₂ C₃ C₁₀

C₆₀

(a) Conjecturer, selon la valeur du réelxÊ0, la li- mite defn(x) lorsque quentend vers+∞. (b) Démontrer la conjecture émise à la question

précédente.

(c) Pour tout réelxÊ0, on notef(x)= lim

n→+∞fn(x).

On définit ainsi une fonctionf sur [0 ;+∞[.

Expliciter la fonction f .

(d) La fonctionf est-elle continue sur [0 ;+∞[?

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