TD 1

1

Université de Tunis ESSEC

3

^ème

Année Finance

Année Universitaire 2014/2015

Recherche Opérationnelle Série n°1

Exercice n°1 :

Lesquelles des contraintes suivantes (ou leurs équivalentes) peuvent êtres utilisées dans un programme linéaire :

2 20

1 x

x ; 3x₁ 7x₂ 5 ;

x

₁²

x

₁

x

₂

15

; 2x₁ x₂ 40 ; 3x₁ 2x₂ 12 ;

5 4

2 1

1

x x

x

Exercice n°2 :

Soit une entreprise qui fabrique deux types pièces P1 et P2 usinées dans deux ateliers A1 et A2. Les temps d’usinage sont pour P1 de 3 heures dans l’atelier A1 et de 6 heures dans l’atelier A2 et pour P2 de 4 heures dans l’atelier A1 et de 3heures dans l’atelier A2.

Le temps de disponibilité hebdomadaire de l’atelier A1 est de 160 heures et celui de l’atelier A2 est de 180 heures.

La marge bénéficiaire est de 1200 Dinars pour une pièce P1 et 1000 Dinars pour une pièce P2.

Formuler le problème à l’aide d’un programme linéaire dont l’objectif est de maximiser la marge hebdomadaire de cette entreprise.

Exercice n°3 :

Un menuisier fabrique trois types de chaises. Le processus de fabrication de chaque chaise passe par trois opérations différentes. Chaque opération nécessite un certain temps (en heures) par unité de produit.

Pour chaque opération, la capacité en temps par jour est limitée. D’autre part, on réalise un profit unitaire de chaque type de chaise sachant que toute la production est vendue.

Les données du problème sont consignées dans la table suivante : Temps par

unité (h)

Capacité

Opération Chaise A Chaise B Chaise C

1 1 2 4 4

2 3 1 5 9

3 1 3 1 2

Profit unitaire

2 1 1

Formuler le problème à l’aide d’un programme linéaire dont l’objectif est de maximiser le profit du menuisier.

Exercice n°4 :

Pour fabriquer deux produits P1 et P2, on doit effectuer des opérations sur trois machines M1, M2 et M3, successivement mais dans un ordre quelconque. Les temps unitaires d’exécution sont donnés par le tableau suivant :

M1 M2 M3

P1 11 mn 7 mn 6 mn

P2 9 mn 12 mn 16 mn

On supposera que les machines n’ont pas de temps d’inactivité.

2

La disponibilité pour chaque machine sont :

165 heures (9900 minutes) pour la machine M1 ; 140 heures (8400 minutes) pour la machine M2 ; 160 heures (9600 minutes) pour la machine M3.

Le produit P1 donne un profit unitaire de 900 dinars et le produit P2 un profit unitaire de 1000 dinars.

Formuler le problème qui permet de maximiser le profit sous la forme d’un programme linéaire.

Exercice n°5 :

Une entreprise fabrique trois produitsP₁,P₂,

P

₃. La fabrication de chaque produit passe nécessairement par quatre départements

D

₁

, D

₂

, D

₃etD₄. On dénote par a_ijle nombre d’heures nécessaires dans le processus de fabrication d’une unité du produit

P

_i dans le départementD_j. Le profit unitaire de chaque produit

P

_i est

c

idinars et le temps disponible de chaque département D_jest b_jheures.

Formuler le problème à l’aide d’un programme linéaire dont l’objectif est de maximiser le profit total de cette entreprise.

Exercice n°6 :

Le directeur financier d’une firme désire investir une somme d’argent totale de 100 (exprimée en unités monétaires) de manière à maximiser le revenu. Il considère les six possibilités suivantes :

Type A₁ A₂ B₁ B₂ C₁ C₂

Intérêt 3% 2,5% 3,5% 4% 5% 4,5%

Somme

investie x¹ x₂ y₁ y₂ z₁ z₂

Ce directeur n’est pas totalement libre de son choix, car selon la règle de conduite de la firme au moins 40% de la somme totale doit être investie en des valeurs du type A, et pas plus de 35% dans l’une quelconque des autres valeurs.

Formuler le problème qui permet de maximiser le revenu de ce directeur sous la forme d’un programme linéaire.

Exercice n°7 :

Trois types de machines peuvent être utilisées pour fabriquer quatre produits selon les durées d’occupation suivantes (par unité produite) :

Machine 1 Machine 2 Machine 3

Produit 1 1 h 1 h 1 h

Produit 2 0 h 30 mn 1 h 30 mn 1 h

Produit 3 1 h 30 mn 1 h 1 h

Produit 4 0 h 45 mn 1 h 30 mn 1 h 15 mn

Ecrire, en fonction des durées d’utilisation maximales des trois types de machines et des prix de vente des quatre produits, le problème d’optimisation qui maximise les recettes.

Exercice n°8 :

Une entreprise de châssis qui envisage la production de deux nouveaux modèles au moyen des capacités résiduelles de ses trois ateliers.

Le premier produit nécessite le passage dans le premier atelier pour une heure et dans le troisième atelier pour 3 heures, tandis que le second produit nécessite le passage dans le 2^ème atelier pendant 2 heures et dans le 3^ème atelier pendant aussi 2 heures.

Le profit unitaire est de 3$ pour le premier produit et 5$ pour le second produit.

Les capacités hebdomadaires de ces ateliers 1, 2 et 3 sont respectivement 4heures par semaine, 12 heures par semaine et 18 heures par semaine.

Combien faut il produire de châssis de chaque type par semaine pour maximiser le profit net ?