Chapitre 32 Formes quadratiques

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Chap 32 : Formes quadratiques

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Chap 32 : Formes quadratiques

I. Formes bilinéaires

corps commutatif, E ev

2 2

2

* *

) { ( , ) / } ( , )

( , ) ( , )

( , ) { ( , ) / ( , ) ( , ) ( , )}

( , ) { ( , ) / ( , }

,

0 (

)

bilinéaire A , on attache et

, formes symétriques

,

E E E E

B E E B E

x x x x

S E B E x y E x y y x

A E B E E x

E

x x

 

  

 

  

 

 

 

         

    

F

2

car 2 A E( , ) { B E2( , ) / ( , ) x y E , ( , )x y  ( , )}y x formes antisymétriques est désormais de dim finie

E

( )

1 2 ,

( ... )e e_n base de , E B E( , ) La matrice de dans la base  ( )e est [ ] _e [ ( , e e_i _j)]_{i j}

2

1

2

1 1 ,

1

1,

( ) ( ... , ... ) ( , ) ( , )

C'est la seule matrice _n tq : _n _n ,

n n

n

i i i j n

i i i i i i

A x x y y  x e y e A i j x y

  

^M  

 





( 2

)

( , ) ( )

( , )

[ ]ⁿ est un isomph de ev Dans ⁿ : ^t

e

B E  X Y XAY

 

   



M

( ) 2 ( ) ( )

( ),( )e f bases de E P[( )]f _e , B ( ,E ) [ ] _e  ^tP[ ] _e P

La relation de congruence : congru à A B  P GL_n( ), B ^tPAP est d'équivalence

rg([ ] ) ( )_e ne dépend pas de la base ( )e , on l'appelle rang de  detB(det ) detP 2 AdetA a priori

( ),( *) ( )

( )e base de , E e( *) sa base duale [_]_e _e ^t[ ] _e rg  rg _

rg dim ( ),det[ ]( ) 0 ( , *)

On dit que est non dégénérée lorsque   E  e  _e    _ GL E E

II. Formes symétriques, antisymétriques

car 2

2( , ) 2( , ) 2( , ) B E S E A E

( ) ( )

2 2

( )e base de E:S E( , )[ ] _e S_n( )   _ _ A E( , )[ ] _e A_n( )   _ _

2( , ) non dégénérée dim est paire (det det^t ...)

A E E A A

 

  

III. Formes quadratiques

car 2

2 2

: ( , ) , ( ) ( , )

( ) { }

est une forme quadratique s'il existe tq : formes quadratiques sur est un espace vectoriel

q E B E x E q x x x

Q E E

 

    



(2)

2

2 ( 1)

( ) ( ) dim ( )

, , On peut supposer symétrique. n n2

x E  q x  q x  Q E ^

     

2( ), ! 2( , ) tq , ( ) ( , ) est la forme polaire de

q Q E  S E x E q x  x x  q

      

1 1

( , ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ))

2 4 identité de polarisation/du parallélogramme

x y q x y q x q y q x y q x y

        

( ) 2

1 1

( ), ( ) ( , ) 2 ( , )

Calculs dans dans une base fixée :

n

I t

A n

n i i j

i j

i n

A S q X XAX A i i x A i j x x

  

  







2

( )

( ) ( )

[ ] ( , ) ( ) 1( ( ) ( ) ( ))

2 det / !\

,

La matrice de dans la base de est par définition celle de sa forme polaire

Si , Rang de : celui de

Discriminant : changement

e i j i j i j

q Q E e E

A q A i j e e q e e q e q e q A

A





     

( )( ) 0

de base q non dégénéréedis_e q   non dénégérée

1( ( ) ( ) ( )) 2

Pour reconnaître une forme quadratique et trouver sa forme polaire, on peut étudier , et voir si elle est bilinéaire

q xy q x q y

IV. Orthogonalité et isotropie

^//HP//

car 2, E ev de dim finie n1, qQ E2( ), sa forme polaire

( , ) 0 { / , ( , ) 0}

et sont orthogonaux lorsque , on note _q y A E :

x y q  x y  x  A^  y E  x A x y 

|| || || 1{ }

est un sev de ,

A^ A A B B^ A AA^ A^ A^ A^  _^ A

dim dim

Si est non dégénérée, q _ est un isomphA sev, A^  n A A, ^ A

{ / , ( , ) 0} { / (

ker ) 0}

Noyau de : q N_q  _  x E  y E x y  Cône de : q xE q x 

( ) , en général différents

q q q q x

N C x C x x  x ^

V. Bases orthogonales, réduction

^//HP//

1 0

( ) 0

Il existe des bases orthogonales pour (ou ), c'est à dire des bases de tq [ ]

n

q E e



  ^^^ ^^^

 

 



Changement de basechangement de VP

( )

0

: ( ) , , [ ] ( , )

0 0

base de tq : ne dépend que de , c'est la signature de

r s e

I

e E r s q I r s q q

 

 

     

 

 

( ' '

) '

0

1 1

( ') [ ] ( ... ), ( ' ... ' )

, 0, ( ) 0, , ( ) 0 ,dim dim '...

Unicité : autre BO tq ^r _r ,

I

e Is r n

e q F Vect e e H Vect e e

x F x q x x G q x F G F G n r r

 

 

  

 



 

  

             

1 ( )

: ( ... ) [ ] 0 rg

0 0 base _n de tq _e I^r ,

e e E q   r q

    

 

(3)

1 1

( ) , ( )

( ), _n( ), ( _A ^t ^t _r ^t _r ( _r ))

n

t q X XAX PAP I

A  P M A PP    A P I^ I P^

2 2

2 11

11

2 2

1,2

1 ,

11 1 2

( ... )

0 ( ) ( ... )

2 4

0 ( ) ( ) 4

Méthode de Gauss : , on le décompose en carrés : Si possède un carré, ,

Sinon, p.ex , on utilise

n i j i j

n

q x x a x

s x x a s

q a q x a x r x x

a u v u

x

v uv



 

       

    



VI. Formes quadratiques positives

: , ( ) 0

\ {0} ( ) 0

( ) ( )

On dit qu'une forme quadratique est positive lorsque : Elle est définie positive lorsque : ,

On note (cône convexe) et (cône strictement convexe) les ensemb

q E E x E q x

x E q x

Q E^ Q^ E

   

  

les associés

( ) _q _q (CS)

qQ E^ C N

( ) , ,

( )e base de , E A[ ]q _e (a_{i j})_{i j}

positive symétrique positive définie positive symétrique définie positive

q A q A

, , ,

max | | max (C

posit vi e S)

A i j

i j i

i i

q a  a

, ,

( ) [ ] ,det 0

Jacobi-Sylvester : AS_n , A_i_i  a_{k l k l i}_ A def_  i A_i_i  (avec signature, ineg et signe)

VII. Formes quadratiques en espace euclidien

eve de dim finie 1

E  n A uS E( ), on attache q_u:x u x( ) |x

2 2

( ) ( )

( ) de forme polaire ( , ) ( ) | : est un isomph de -eve

u

S E Q E

q Q E x y u x y

u q

 ^ ^

   



1

1 2

2 1

1

( ) ( ) 1... ( ... )

( ... ) , 0 , 0

, BON et tq : , , ce sont les valeurs d'inertie de

La liste ne dépend (à l'ordre près) que de

n n

i i

n

n n i i i i

n i i

q Q E e x x q x q

q q Q i q Q i

e x

  

   

 



 

 

      

 

       

 

( ), max ( ), ( ) { / ( ) 2} est un sev de qui possède un vecteur à coordonnées positives

t n n

ASn  spec A q X  XAX F X q x  x

( ), ( ) ( ) ,

Congruence simultanée : AS_n^ BS_n  P GL_n tq A ^tPP B ^tP P

| ( , | )

On prend X Y _A ^tXAY, on réduit dans ⁿ  _A eve

1 1

est diagonalisable A B^ P^P

1/ 1/ 1/

, n( ) det( ) ⁿ (det ) ⁿ (det ) ⁿ (si A def ok, sinon, )

A BS^ AB  A  B _ AI