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1) Démonstration de la transformation spéciale de Lorentz.

Soient deux référentiels galiléens R(Oxyz, t) et R'(O'x'y'z', t'), d'axes parallèles et de même sens, R' se déplaçant avec la vitesse u=ui par rapport à R.

Un signal lumineux (ou un photon) est émis en O, dans la direction Ox, à un instant choisi pour origine dans R et R', les points O et O' coïncidant à cet instant.

a. D'après la propriété de linéarité de la transformation des coordonnées x' et t' et la propriété de réciprocité (R est animé de la vitesse −u par rapport à R'), démontrer les relations: x '=ax−u t ; t '=atλx.

a et λ sont deux constantes liées par : a²1λu =1.

b. Déterminer a et λ à partir de l'invariance de la vitesse de la lumière dans R et R'.

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2) Deux particules P₁ et P₂ se déplacent par rapport à un référentiel galiléen R avec des vitesses constantes respectives v₁=c

2i et v₂.

A la date t =0, P₁est en O origine deRet P₂ est en B(0,2,1), l'unité de longueur étant le mètre.

Les deux particules se rencontrent au point C(3,0,0).

a. Déterminer v₂.

b. Déterminer les coordonnées de la rencontre dans R' lié à P₁et en déduire la vitessev '₂de P₂par rapport à P₁.

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3) Une fusée s'éloigne de la Terre avec une vitesse constante u en émettant un éclair lumineux toutes les T secondes, lues sur les horloges à bord de la fusée.

a. Calculer la durée T ' séparant la réception de deux éclairs successifs pour un observateur terrestre.

b. En déduire la variation relative de la période des signaux T '−T

T , expression que l'on développera au second ordre en u

c.

c. Que deviennent les résultats précédents lors du retour de la fusée vers la Terre avec la même vitesse ? d. Comparer les résultats obtenus avec ceux de la mécanique classique.