De la charact´erisation des mod`eles de H*

(1)

De la charact´ erisation des mod` eles de H*

Flavien BREUVART

PPS, Paris Denis Diderot; LIPN, Paris Nord

2014

(2)

Adéquation complète

Ad´equation compl`ete

C’est l’identit´eentre la congruence d´enotationnelleet la congruence contextuelle:

[[M]] = [[N]]⇔ M ≡_o N

Congruence d´enotationnelle [[M]] = [[N]]

Congruence induite parle modèle dénotationnelle: c’est l’égalité dans le modèle.

Congruence op´erationnelle M ≡_o N

Congruence induite par le langage :

∀C,O(C(|M|)) =O(C(|N|))

(3)

Divers résultats d’adéquation complète

[Abramskyet.al.2000]

[Abramsky et McCusker 2007]

[Abramskyet. al.1998]

[Hyland et Ong 2000]

[Wadsworth 1976]

[Hyland 1976]

[Plotkin 1977]

[Laird 1997]

[Laird 2003] [Paolini 2003]

[Cartwrightet.al.1994]

[Milner 1977]

[Harmer et McCusker 1997]

[Bucciarelliet.al.2011]

(4)

Caractérisation de l’adéquation complète

Théorème de Milner pour PCF [Milner 1977] : Il y a un unique domaine continu extentionnel et pleinement adéquat pour PCF.

Cette caractérisation est dégénérée puisqu’elle démontre un résultat d’unicité.

Qu’en est-il du λ-calcul ? (en appel de tˆete) Il existe de nombreux mod`eles non isomorphiques de Λ ! [Gouy 1995]

mod`eles bien stratifi´es [Manzonetto 2009]

Tout modèle bien stratifié est pleinement adéquat pour Λ

(5)

Plan : 1

^ere

partie (présentation)

Les mod`eles choisis : Les K-mod`eles

• Principale sous-classe des syst`emes de types avec intersection.

• ContientD∞,P∞,D_∞^∗ ...

• Contient les modèles stratifiés(parmi les systèmes de types avec intersection).

• Correspond aux éléments réflexifs de ScottL_! [Ehrhard ....].

R´esultat(moralement) :

Un K-mod`ele est pleinement ad´equat pour Λ ssi il est hyperimune.

Càd si les comportements mal fondé ne sont pas capturés par aucun terme récursif.

(6)

Plan : 2

^ieme

partie (preuve)

Le λ calcul avec tests Λ_τ(D)

• G´en´eralisation de [Bucciarelli&Al2011]

• Index´e par un K-modelD : langage interne de D

• Ajout de K(D) dans la syntaxe ⇒ PA deD pour Λ_τ(D) La pleine ad´equation

implique l’hyperimmunit´e

∀D non hyperimmune,

∃J_f≡_oI,[[Jf]]6=[[I]]

• Jf η∞-´etendI

• [[J_f]]6=[[I]] obtenu via Λ_τ(D)

∃C ∈Λ⁽^|.|⁾ ,C(|J |)6≡ C(|I|)

L’hyperimmunit´e implique la pleine ad´equation

∀D hyperimmune, ∀M,N [[Jf]]6=[[I]]⇒M 6≡_o N Induction sur la r´eduction d’un terme de Λ_τ(D)

(7)

Plan

Les mod`els choisis : Les K-mod`eles

• Models de Λ ^• K- mod`eles ^• ScottL! • Examples R´esultat

• Le r´esultat ^• Intuition ^• Exemples

• Idée • Sémentique opérationelle • Stratégie La pleine adéquation

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Le λ -calcul pure

mod`ele duλ-calcul

Un modèle duλ-calcul est un objet d’une catégorie cartésienne close respectant :

D⇒D D

abs

D⇒D app

Et tel queapp◦abs=id_M

Extensionalit´e

Tout modèle pleinement adéquat de Λ est extensionel (c.à.d respecte l’eta équivalence) :

(9)

Définition de la catégorie S

COTT

L

!

Un mod`ele de la logique lin´eaire :ScottL

Objets :Posets Morphisms : fct.lin´eaires deI(D) vers I(P) Exponential :Antichaˆınes finies !D =A_f(D)

I(D) represente le treillit complet des segments initiaux sur D une fonction est dite lin´eaire si elle pr´eserve tous les sups

La co-categorie de Kleisli :ScottL!

Objects :Posets Morphisms : fct.continuesdeI(D) versI(P) Identities :1_D =id_I(D)

Composition : la composition de fonction Cartesian product : ˘

i∈ID_i :={(i, α)|i ∈I, α∈A_D} Exponential object :A⇒B =A_f(A)^op×B

(10)

Définition de K-modèles

K-mod`ele :

Un K-mod`ele extentionnelle est un pr´eordre (D,≤) munie d’une bijection→:A_f(D)×D →D telle que :

• A_f(D) est muni de l’ordre v,d´efini par : avb⇔ ∀α∈a,∃β ∈b, α≤β

• (a→alpha)≤(b→β) ⇔ awb ∧ α≤β Equivalent aux pr´esentation avec P_f(D) ou M_f(D)

Elements r´eflexifs

Les K-modèles sont exactement les objets réflexifes de la catégorie ScottL!.

(11)

Exemples ( D

_∞

)

Scott’s D∞ :

D0={∗}

D_n+1=D_n∪(A_f(D_n)×D_n)− {(∅,∗)}

D∞=[

n

Dn

(a, α) =a→α sia6=∅ orα 6=∗

∗ =∅ → ∗

D∞ est pleinement ad´equat pour le λ-calcul. [Hy76, Wad76]

(12)

Exemples ( D

_∞

)

Scott’s D∞ :

_∞

)

Park’s P_∞ :

P0={∗}

P_n+1=P_n∪(A_f(P_n)×P_n)− {{∗},∗}

^f

)

H^f : Soitf :N→N:

H₀^f ={∗} ∪ {αⁿ_j |n≥0, 1≤j ≤f(n)}

H_n+1^f =H_n^f ∪(A_f(H_n^f)×H_n^f)− {(∅, αⁿ_j)|j 6=f(n)}∪{({αⁿ⁺¹₁ },∗)}

H^f =[

n

H_n

(a, α) =a→α si (a, α)∈H^f αⁿ_j =∅ →α_jⁿ₊₁ 1≤j <f(n) αⁿ_f_(n) ={αⁿ⁺¹₁ } → ∗

l’adéquation complète pour le λ-calcul de U_∞^f dépend des propriétés de calculabilité de f.

(22)

Exemple ( H

^f

)

H^f : Soitf :N→N:

H₀^f ={∗} ∪ {αⁿ_j |n≥0, 1≤j ≤f(n)}

H_n+1^f =H_n^f ∪(A_f(H_n^f)×H_n^f)− {(∅, αⁿ_j)|j 6=f(n)}∪{({αⁿ⁺¹₁ },∗)}

H^f =[

n

H_n

(a, α) =a→α si (a, α)∈H^f

αⁿ₁ = ¯∅^f⁽ⁿ⁾⁻¹→ {αⁿ⁺¹₁ } → ∗

l’adéquation complète pour le λ-calcul de U_∞^f dépend des

(23)

Plan

(24)

Le résultat

Mod`ele hyperimmune

Un K-modèleD est hyperimmunelorsque pour toute séquence (αn)n≥0 ∈D^N,il n’existe pasde fonctionrécursiveg :N→N satisfaisant pour toutn :

α_n=a_n,1→ · · · →a_n,g_(n)→α⁰_n and α_n+1∈ [

k≤g(n)

a_n,k.

Théorème Principal (Caractérisation) :

Un K-modèle extensionel qui commute avec les arbres de Böhmest pleinement adéquatssi il est hyperimmune.

Th´eor`eme secondaire

Un K-mod`ele extensionel qui commute avec les arbres de B¨ohmest

(25)

Que se passe-t-il ?

α1 =a1,1→ · · ·a_1,i₁· · · →a_1,g₍₁₎ →α⁰₁

∈

α₂=a_2,1 → · · ·a_2,i₂· · · →a_2,g₍₂₎→α⁰₂

∈

α3=a3,1 → · · ·a_3,i₃· · · →a_3,g₍₃₎→α₃⁰ . ..

IsD hyperimmune ?

Ifg is computable, then theD is not hyperimmune (even if (i_n)_n may not be computable).

(26)

Exemples (bien stratifiés)

La complétion présèrve l’hyperimmunité Un complété ¯E est hyperimmune ssiE l’est.

K-mod`eles bien stratifi´es :

SoitAun ensemble non vide et σ une permutation de A: U₀^A,σ=A ∀α∈A, α=∅ →σ(α)

Les mod`eles stratifi´es (et donc D∞) sont hyperimmune : pour toutα1 ∈Aet toutg,

α1 =∅→ · · · →∅→σⁿ(α1)

(27)

Exemple (Norm)

Norm :

N₀ ={p,q} q ={p} →q p ={q} →p

Norm is not hyperimmune g = (n 7→1)

(α_n)_n= (p,q,p,q, ...)

p ={q} →p

∈

q ={p} →q

∈

p={q} →p . ..

(32)

Le λ -calcul avec D-tests : principe

Λ_τ(D) : une extension duλ-calcul SoitD (qui commute avec les arbres de Böhm), Λ_τ(D₎étend Λ et vérifie :

• Λ_τ(D) est confluent,

• D est pleinement ad´equat pour Λ_τ(D).

Int´eret

• Contexts explorant inductivement l’arbre de B¨ohm

• Discrimination des comportements infinis non d´ecidable !

(33)

Syntaxe de Λ

_τ(D)

Grammaire (termes) M,N : := P

iτ¯_α_i(Q_i) | x | λx.M | M N (tests) P,Q : := τα(M) | P

iPi | Q

iPi

o`u les α sont des points deD.

On d´enote 0 la somme vide et le produit vide

Intuitions Q∈Λô_τ(D) est une réusite ⇓ou un échec⇑

τ_α(M)⇓ ⇔α∈[[M]] [[¯τ_α(⇓)]] =↓α [[¯τ_α(⇑)]] =∅

Exemples

¯

τ∅→α(Q) M →τ¯α(Q) τ∗→∗(λx.x)→τ∗(¯τ∗())→

(34)

Somme, produit, et convergence

May/must non-d´eterminisme ΣiQi⇓iff ∃i,Qi⇓ ΠiQi⇓iff ∀_i,Qi⇓

M⇓iff (M→_hN ⇒N⇓) τα(M)⇓iff (τα(M)→_hQ ⇒Q⇓)

Exemples

τ_α(x)+Q⇓ τ_α(Ω)·Q⇑

τ_α(¯τ_α())⇓ τp=((p→q)→p)(Θ(λuxy.x (u y)))⇑

Int´eret 2 causes de divergence :

• τα(M) diverge effectivement : ^• τα(M)→^∗0·Q, i.e. erreur :

(35)

Plan

(36)

Non hyperimmunité implique non pleine adéquation

SiD n’est pas hyperimmune alors il existeg recursive et (α_n)_ntel que α_n=a_n,1→ · · · →a_n,g_(n)→α⁰_n and α_n+1∈ [

k≤g(n)

a_n,k.

Contre exemple J_g On peut alors construireJ_g tel que :

τ_α₀→α₀(J_g) diverge J_g ≡_o I

(37)

Cas H

^f

pour f récursive

Gf U n →^∗ λex1...x_f_(n).e x1· · ·x_f(n)−1 (U n+1 x_f_(n)) Un telGf existe bien car la suite

(λuex1...x_f_(n).e (u x1 n+ 1)· · ·(u xn n+ 1))n

est une suite calculable de termes clos.

Jⁿ_f = Θ G_f n

Jⁿ_f z →^∗ λx₁x_f_(n).z x₁· · ·x_f_(n)−1 (J_fⁿ⁺¹ x_f_(n))

(38)

Réduction

· · ·

αn∈[[v]]`αn∈[[J_fⁿ v]]

· · ·

α2 ∈[[v]]`α2 ∈[[J_f² v]]

· · ·

α₁ ∈[[v]]`α₁ ∈[[J_f¹ v]] ∗ ∈[[u⁰⁰]]` ∗ ∈[[u⁰⁰]]

{α₁} → ∗ ∈[[u⁰]], α₁∈[[v]]` ∗ ∈[[u⁰ (J_f¹ v)]]

α0 ∈[[u]], α1 ∈[[v]]` ∗ ∈[[u x1· · ·x_f(n)−1 (J_f¹ v)]]

α₀∈[[u]]` {α₁} → ∗ ∈[[λx_f₍₀₎.u x₁· · ·x_f_(n)−1 (J_f¹ x_f₍₀₎)]]

α₀∈[[u]]`α₀∈[[λx₁...x_f₍₀₎.u x₁· · ·x_f_(n)−1 (J_f¹ x_f₍₀₎)]]

α₀∈[[u]]`α₀ ∈[[J⁰_g u]]

`α0 →α0 ∈[[J⁰_g]]

(39)

Réduction de τ

_α₀_→α₀

(J

⁰_g

)

τα0→α0(J⁰_g)

→ τα0(J⁰_g ¯α0)

→^∗ τα0(λx1...x_f₍₀₎.¯α0 x1· · ·x_f_(n)−1 (J_f¹ x_f₍₀₎))

→^∗ τ∗(¯α0 0· · ·0 (J_f¹ ¯α1))

→^∗ τ∗(¯τ∗(τ_α₁(J_f¹ ¯_α₁)))

→ τ_α₁(J_f¹ ¯_α₁)

→^∗ τα2(J_f² ¯α2)

· · · ·

→^∗ τ_α_n(J_fⁿ ¯_α_n)

· · · ·

(40)

Plan

(41)

Correction

Pleine adequation de Λ_τ(D)

L’interpretation d’un terme closM peut ˆetre d´ecrite via convergence dans un contexte avec tests :

α∈[[M]] ⇔ τ_α(M)⇓

G´en´eralisable aux termes non clos

La correction : un th´eor`eme maintenant syntaxique SiD est hyperimmune :

α∈[[M]]−[[N]] ⇒ M6v_oN

Par induction sur la longueur de r´eduction de τ_α(M).

(42)

Hypothèse d’hyperimmunicité

Lemme cl´e Si ({α} →α)6∈[[M]] alors :

• soit I6v_o M

• soit il existe ((α_i)_i,f) qui contredit l’hyperimmunit´e.

Cr´eation de ((αi)i,f) par co-induction le long deτ_{α}→α(M).

(43)

Conclusion et intérogations

Th´eor`eme final

Pour tout K-modèle D extentionel qui commute avec les arbres de Böhm, ces propositions sont équivalentes :

• D est hyperimmune,

• D est inequationellement pleinement ad´equat pour Λ,

• D pleinement ad´equat pour Λ.

Interpretation ?

• La classe de mod`eles est mal choisie ? Probablement pas [Ehrhard 2012]

• Le lambda calcul pur est un “mauvais” langage ?

• Une conséquence de l’expressivité de la classe de modèles ? Il y aurait 2^ω théories entre H et H^∗...