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On note n un entier naturel, n> 2, ^B = ^(ê1, ..., ên)la base canonique de lRn,I I'identité de lFln, et f I'endo- morphismedelRndéfiniparf(e*) = 2k- ^1en-k+ i,pourtoutentierktelque 1< k< n. _St.3t{

1 . ^{a) Exprimer I o f en fonction de I et de n.}

b) En deduire que f est un isomorphisme de I'espace vectoriel ^lRn sur lui-même, et calculer f- ¹

en fonction de f.

Écrire la matrice de f relativement ^{à B.}

Dans cette question uniquement, on supposê o = 5. Déterminer les valeurs propres et les sous- espaces propres ^de f ; f est-il diagonalisable ^?

On revient ^au cas général.

a) Pourioutentierkdel'intervalle[1 tgâ1]ettoutréel \,calculerf ^(e1+ tren- t* t).

b) Montrer que, pour chaque entier k de I'intervalle [ ¹ tO* [, ^{il existe deux} réels distincts a1 etbs,quel'onCalCulera,telsqueê1 *a3ên-k.'1€t€s+b*en-k+lSOientdesveCteurS

propres de f. Examiner le cas ou 2k = ⁿ + 1' c) Montrer ^{que f} est diagonalisable.

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