2.2 PRODUIT SCALAIRE ET CALCUL D’ANGLES (SUITE)

(1)

Cours 5

2.2 PRODUIT

SCALAIRE ET CALCUL

D’ANGLES (SUITE)

(2)

Au dernier cours, nous avons vu

(3)

✓ La longueur d’un vecteur.

(4)

✓ La distance entre deux points.

(5)

✓ Le produit scalaire entre deux vecteurs.

(6)

✓ Le produit scalaire entre deux vecteurs.

✓ La façon de trouver l’angle entre deux vecteurs.

(7)

Aujourd’hui, nous allons voir

(8)

Aujourd’hui, nous allons voir

✓ Projection orthogonale

(9)

Théorème

Soit et , deux vecteurs non nuls de , alors

(10)

Théorème

(11)

Théorème

Preuve:

(12)

Théorème

Preuve:

(13)

Théorème

Preuve:

Si

(14)

Théorème

Preuve:

Si alors

(15)

Théorème

Preuve:

Si alors

et donc,

(16)

Théorème

Preuve:

Si alors

et donc,

(17)

Théorème

Preuve:

Si alors

et donc, Si

(18)

Théorème

Preuve:

Si alors

et donc, Si

(19)

Théorème

Preuve:

Si alors

et donc, Si

, mais

(20)

Théorème

Preuve:

Si alors

et donc, Si

, mais

(21)

Théorème

Preuve:

Si alors

et donc, Si

, mais

donc et

(22)

Théorème

Preuve:

Si alors

et donc, Si

, mais

donc et

d’où

(23)

Dans le cas particulier du plan,

(24)

si on cherche un vecteur perpendiculaire à un vecteur donné,

(25)

si on cherche un vecteur perpendiculaire à un vecteur donné,

(26)

si on cherche un vecteur perpendiculaire à un vecteur donné, on a l’embarras du choix!

(27)

Aussi bien en prendre un de même longueur.

(28)

(29)

(30)

Mais si on prend

(31)

Mais si on prend

(32)

Mais si on prend

(33)

Mais si on prend

donc,

(34)

Mais si on prend

donc, et

(35)

Mais si on prend

donc, et

(36)

Mais si on prend

donc, et

(37)

Mais si on prend

donc,

et de même pour

(38)

Mais si on prend

donc,

et de même pour

On note lui

(39)

Mais si on prend

donc,

et de même pour

On note lui

(40)

Propriétés du produit scalaire

(41)

Propriétés du produit scalaire 1.

(42)

(43)

(44)

(45)

2.

(46)

2.

(47)

2.

(48)

2.

(49)

3.

(50)

3.

(51)

3.

(52)

3.

(53)

3.

(54)

3.

4.

(55)

3.

4.

(56)

3.

4.

(57)

3.

4.

(58)

3.

4.

(59)

Faites les exercices suivants

p.67, # 8 et 9

(60)

Projections orthogonales

(61)

(62)

Très loin

(63)

Très loin

(64)

Très loin

(65)

Très loin La projection orthogonale de sur est

(66)

Très loin La projection orthogonale de sur est

(67)

Très loin La projection orthogonale de sur est Ce vecteur est tel que

(68)

1.

(69)

1.

2.

(70)

1.

2.

(71)

1.

2.

(72)

1.

2.

(73)

1.

2.

(74)

1.

2.

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

Vecteur unitaire

(81)

Vecteur unitaire

(82)

Vecteur unitaire

(83)

Vecteur unitaire

(84)

Vecteur unitaire

(85)

Hum... c’est presque le produit scalaire ça!

Vecteur unitaire

(86)

Vecteur unitaire

(87)

Vecteur unitaire

(88)

Exemple

(89)

Exemple

(90)

Exemple

(91)

Exemple

(92)

Exemple

(93)

Exemple

(94)

Exemple

(95)

Exemple

(96)

Exemple

(97)

Exemple

(98)

Exemple

(99)

Exemple

(100)

Exemple

(101)

Exemple

(102)

Si on est dans , on a vu qu’on pouvait trouver un vecteur perpendiculaire à un vecteur donné.

(103)

Mais dans , c’est une tout autre histoire.

(104)

(105)

(106)

(107)

(108)

Il y en a trop!

(109)

Il y en a trop!

Il faut donc être un peu plus précis.

(110)

(111)

Trouver un vecteur perpendiculaire à

(112)

et dans le plan défini par et .

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

D’où

(122)

D’où

(123)

D’où

(124)

D’où

(125)

D’où

(126)

D’où

(127)

D’où

(128)

D’où

(129)

D’où

(130)

D’où

(131)

D’où

est à et dans le même plan que et .

(132)

D’où

(133)

D’où

(134)

D’où

(135)

D’où

(136)

D’où

(137)

D’où

(138)

D’où

(139)

D’où

(140)

Faites les exercices suivants

p. 69, # 12 à 15

(141)

Devoir: p.69, # 12 à 26